现代分析习题答案

1“现代 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 引论及其应用”第二次作业解答提要本解答提要并非完整的详细解答.考试时需要提供完整的详细解答第一章代数结构基础定义1.1设G是非空集合,在集合G上定义了一个二元运算,记为.该运算满足以下条件：(1)运算满足结合律：对,,abcG，()()abcabc;(2)存在单位元：存在eG,使得对aG,有aeeaa.e称为G的单位元;(3)每个元素存在逆元：对aG,存在bG,使得abbae.b称为a的逆元;则称G关于这个二元运算是一个群,称这个二元运算为群运算.注：我们说在集合G上定义了一个二元运算就意味着运算的结果还在集合G中.定义1.3设G是一个群,H是G的非空子集,若H关于G的群运算也构成群,则称H为G的子群.注：子群H中的二元运算与G中的二元运算相同.练习1：设{1,1}G及1{|1}SzCz（C的复数集合）,关于普通乘法都分别构成交换群.解答提要：因为{1,1}G以及1{|1}SzCz都是数的集合，所以运算的结合律和交换律是自然满足的.因此本题要证明的是：2（1）集合关于二元运算（数的乘积运算）是封闭的；（2）集合中有单位元；（3）集合中的每个元素有逆元素.注意：这意味着逆元素还在该集合中.练习2：同余等价类构成的群qZ，这里q是一个大于1的整数.考虑整数的集合Z.将Z中整数进行分类.两个整数a,b属于同一类当且仅当ab能被q整除，或者a除以q得到的余数与b除以q得到的余数相同.用[]a表示整数a的同余等价类，定义同余类的加法为[][][]abab，则该定义不依赖于同余类代表元的选取，且{[]|}qZaaZ按照该运算构成一个加法群.qZ是一个有限群，含有q个元素.解答提要：（1）qZ中有q个元素是因为一个整数被q除的余数有且仅有q种情形.(2)注意到[]a是表示一个同余类，所以首先要证明这样定义的加法运算[][][]abab的合理性，即[][][]abab不依赖于代表元a,b的选取.其意思是：若[][']aa（即'modaaq），[][']bb（即'modbbq），则[]['']abab（即('')modababq）.证明如下：设','aamqbbnq，则''()ababmnq[]['']abab所以，(3)运算的加法结合律可以数的运算的加法结合律得到(4)元素的加法逆[][]aa练习3：证明定理1.1设G为群,H为G的非空子集,则以下三条彼此等价(1)H是G的子群;(2)对,abH,有abH及1aH;（对乘法和求逆运算封闭）(3)对,abH,有1abH.3解答提要：（1）=>(2).H是G的子群意味着H关于加法运算和求逆运算是封闭的.因此若H是G的子群，则（2）是成立的.（2）=>(3).若（2）成立，则对,abH，有1aH，bH.因此有1abH.（3）=>(1).在（3）的假设下，可以推出（i）G中单位元在H中.H中的单位元就是G中的单位元(取abH即得)（ii）H中元素a的逆仍然在H中.（取b为单位元即得）（iii）H关于乘法运算封闭.若,abH，则1aH（由（ii）得到），bH.因此11()ababH（由假设得到）.H中的结合律自然成立.练习4：证明定理1.2设12:fGG为群同态.1H为1G的子群，2H为2G的子群，则（1）1()fH为2G的子群；（2）12()fH为1G的子群.注意：同态不一定是单射,2H中一个元素的原像不一定是惟一的.解答提要：（1）利用练习3中等价条件（2）.（i）1,()xyfH,存在1,abH使得(),()xfayfb.因为1abH（因为1H为子群），所以1()()()()xyfafbfabfH（ii）1()xfH，存在1aH使得()xfa.因为11aH（因为1H为子群），所以11()faH.由于111()()()()()xfafafafaafee,4111()()()()()faxfafafaafee所以，111()()xfafH（2）利用练习3中等价条件（2）.(i)12,()abfH,2(),()fafbH，所以2()()()fafbfabH（因为2H为子群）.从而12()abfH.(ii)12()afH,2()faH.12(())faH（因为2H为子群）.1112()(())()fafafH.由此得到112()afH.练习5：试证群作用下的两个轨道或者重合，或者不相交.解答提要：若()()ab非空，则存在()()cab，则存在12,ggG，使得12cgagb.1112,agcbgc任取()xa，则1111112()()()()xgaggcggcgggbb.所以()()ab.同理可证()()ab练习6：设M为平面2R上的集合，2{(,)|||1,||1}TMxyRxy.试求一个群作用GMM：.(要求群G中的元素个数大于1)解答提要：要求给出群G中的元素.元素可用2阶矩阵表示.答案不唯一.比如群G可以取为含有两个元素的群1010{}0101，，群作用由矩阵与向量的乘积给出.练习7：（1）设群(,)GGLnR，集合M为所有的n阶实矩阵.定义5GMM：，1(,)gAgAg.试证为一个群作用.并证明同一个轨道中的元素具有相同的秩，相同的特征值.解答提要：根据定义直接验证为一个群作用.由于在同一个轨道中的元素（矩阵）是相似的，而相似矩阵有相同的秩和特征值.(2)设群(,)GGLnR，集合M为所有的n阶实对称矩阵.定义GMM：，(,)TgAgAg.试证为一个群作用.并证明在该群作用下，轨道的个数是有限的,同时写出每个轨道中的一个代表元.解答提要：根据定义直接验证为一个群作用.由于在同一个轨道中的元素（实对称矩阵）是 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 的，它们合同于某个标准形srsIIO此标准形即为轨道中元素的代表元.这里r表示矩阵的秩.考虑形如srsIIO的矩阵的个数.它们是有限多个.练习8：试从群作用的观点分别刻画映射（函数）3:fRR关于z轴的对称性以及关于xy平面的对称性.解答提要：(i)取群G为11{11}11，，群作用为矩阵与向量的乘法.3:fRR关于z轴对称当且仅当()()fgxgx对任意的gG成立.(ii)取群G为11{11}11，，群作用为矩阵与向量的乘法.3:fRR关于xy平面对称当且仅当()()fgxgx对任意的gG成立.6定义2.1设R是一个非空集合,在R上定义了两个二元运算,常分别称为加法和乘法(R关于两个二元运算都必须封闭),并且满足一下条件：(1)R是一个加法群,即R关于加法的二元运算成为一个交换群；(2)乘法运算满足结合律：对,,abcR,()()abcabc(3)乘法对于加法的左右两个分配律都成立,即()abcabac()bcabaca则称R为一个环.定义2.5设S为环R的一个子集.如果S本身对于R的两种二元运算来说成为一个环，则称S为环R的一个子环.练习9：证明环R的子集S成为R的一个子环的充分必要条件是：对于Sba,,有SabSba,.解答提要：“”若S是R的一个子环，则S对加法和乘法运算是封闭的.且关于加法构成一个交换群.所以对Sba,有SabSba,.结合律和分配律自动成立.“”任取Sba,，abS.我们得到零元属于S(取ab).取a为零元，则得到b的加法逆（负元）属于S.()ababS.加法交换律自动成立.所以S构成一个加法群.因为Sba,,abS,所以S对加法运算和乘法运算封闭，从而乘法结合律以及分配律自动成立.练习10：证明若p为一个素数，则pZ构成一个域.7解答提要：关键证明(i)pZ中乘法定义的合理性.即证明[][][]abab不依赖于代表元的选择.证明如下：若[]['],[][']aabb，则'0modaap，'0modbbp','aampbbnp，''''ababanpbmp所以''modababp即[]['']abab(ii)[1]为乘法单位元.pZ中每个元素都有乘法逆.这里用到关于整数的一个结论：对任意整数a,b,存在整数u,v,使得gcd(,)abuavbgcd表示最大公因子(greatestcommondivisor)对于任意一个非零元素[]a（即a不是p的倍数），则a与p互素.因此存在整数u,v,使得1uavp从而我们得到[][][][][1]uaau练习11:*V是一个线性空间，它也有对偶空间，记为**V.证明当V时有限维时，**V与V同构.(注：当V是有限维时，*V也是有限维的，且与V同构.由此可得**V是有限维的，且与*V同构.其同构映射𝑓:V→𝑉∗∗可以这样构造：𝑓(𝑣)(𝑤∗)=𝑤∗(𝑣)，𝑤∗∈𝑉∗注：两个数域K上的向量空间称为同构的的定义是：两个向量空间之间存在一个一一对应的线性映射.解答提要：如上定义的𝑓(𝑣)是𝑉∗上的一个线性函数.（i）f是线性映射.对任意的,uvV以及𝑤∗∈𝑉∗，****()()()()()fuvwwuvwuwv(因为*w是线性的)8***()()()()(()())()fuwfvwfufvw所以()()()fuvfufv因为****()()()()()()fkuwwkukwukfuw所以()()fkukfu.(ii)f是一一对应的映射.取V中的一组基，12{,,,}nvvv，它的对偶基为***12{,,,}n（*V中的基）,***12{,,,}n的对偶基为******12{,,,}n（**V中的基）单射：若()()fufv，则对任意的𝑤∗∈𝑉∗，**()()wuwv，即对任意的𝑤∗∈𝑉∗，*()0wuv.设1122nnuvcvcvcv，取*1122nnwccc，则得到*222111()||||||0wuvccc，从而120nccc.由此得到0,uvuv即.满射：任取𝑤∗∗∈𝑉∗∗，欲证存在vV使得**()fvw.设********1122}nnwccc，令令1niiivcv则对任意的*****1122nnzzzzV****1111()()()()(())()nnnniiiiiiiiiiiifvzfcvzzfcvczvcz**********112211()()=nnnniiiiiiwzccczcz（）由此我们得到，对任意的**zV，****()()()fvzwz.因此，**()fvw.