朱雪龙-应用信息论基础-习题答案.朱雪龙《应用信息论基础》习题答案.互信息凸性互信息函数
的性质2的证明。
对于确定的条件概率矩阵
互信息函数
是概率矢量空间
上的上凸函数。
（其中
={
：
=（
,
…,
）,
而
}）
证明：首先由定义知：
=
-
其中
=
=
=
=
EMBED Equation.3
=
可知对于确定的
，
和
都是
上的函数，且
关于
是线性的。
...
互信息函数
的性质2的证明。
对于确定的条件概率矩阵
互信息函数
是概率矢量空间
上的上凸函数。
（其中
={
：
=（
,
…,
）,
而
}）
证明：首先由定义知：
=
-
其中
=
=
=
=
EMBED Equation.3
=
可知对于确定的
，
和
都是
上的函数，且
关于
是线性的。
下面将证明
是
上的上凸函数。即对(
EMBED Equation.3 ，
EMBED Equation.3 (
，及
，
，
成立
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 （1）
事实上，首先看不等式左边：
=
=
（2）
而不等式右边：
-
=
（3）
因为
关于
的分布是上凸函数，则成立下面不等式：
所以，综合（2），（3）式，（1）式成立。即
是
上的上凸函数，又知
关于
是线性的，所以
=
=
-
是概率矢量空间
上的上凸函数。
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