北京市历年高考题03春季高考(北京理)

2003年普通高等学校春季招生考试 数 学（理工农医类）（北京卷） 参考 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 三角函数的积化和差公式 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合 A． B． C． D． 2．若 ，则方程 的根是 A． B．－ C．2 D．－2 3．设复数 A． B． C． D．－ 4．函数 的最大值是 A． B． C． D． 5．在同一坐标系中，方程 的曲线大致是 6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且 ，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 7．椭圆 为参数）的焦点坐标为 A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0） C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0） 8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 A．90° B．60° C．45° D．0° 9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 A．42 B．30 C．20 D．12 10．已知直线 相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形 A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 11．若不等式 的解集为（－1，2），则实数a等于 A．8 B．2 C．－4 D．－8 12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为 ，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 A．95 B．91 C．88 D．75 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上. 13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有 适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水 面高度恰好升高r，则 . 14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf . 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内. 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88 15．如图，F1，F2分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是 . 16．若存在常数 ，使得函数 EMBED Equation.3 的一个正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解不等式： 18．（本小题满分12分） 已知函数 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. 19．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为 ，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G. （Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d； （Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V. 20．（本小题满分12分） 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元. （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 21．（本小题满分13分） 如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为 . （Ⅰ）证明 是等比数列； （Ⅱ）求 的值. 22．（本小题满分13分） 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线 相切，点C在l上. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程； （Ⅱ）设过点P，且斜率为－ 的直线与曲线M相交于A，B两点. （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围. 2003年普通高等学校春季招生考试 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13． 14．（140）（85） 15． 16． 注：填 的正整数倍中的任何一个都正确. 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12 分. 解：原不等式变形为 .所以，原不等式 . 故原不等式的解集为 . 18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和解决问题的能力. 满分12分. 解：由 . 所以 的定义域为 因为 的定义域关于原点对称，且 是偶函数. 当 ， 所以 的值域为 19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分. （Ⅰ）证法一： 连结AC. ∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形， ∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1. ∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 证法二： ∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D1D ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H. ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G， ∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H. 解法一： 在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H. ∵ ， ∴ 解法二： ∵△D1HB1～△B1BG， ∴ ， ∴ 解法三： 连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半， 即 ， （Ⅲ） 20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为 ，所以这时租出了 88辆车. （Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 ， 整理得 . 所以，当x=4050时， 最大，最大值为 ， 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元. 21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. （Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则 所以 故 成等比数列. （Ⅱ）解：因为 所以 22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能 力. 满分13分. 解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为 . （Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得 所以A点坐标为 ，B点坐标为（3， ）， 假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由①－②得 但 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解. 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）解法一： 设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形， 由 ， 即当点C的坐标为（－1， ）时，A，B，C三点共线，故 . 又 ， ， . 当 ，即 ， 即 为钝角. 当 ，即 ， 即 为钝角. 又 ，即 ， 即 . 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是 . 解法二： 以AB为直径的圆的方程为 . 圆心 到直线 的距离为 ， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G . 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为 . 过点B且与AB垂直的直线方程为 . 令 . 又由 ，所以，当点C的坐标为（－1， ）时，A，B，C三点共 线，不构成三角形. 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是 y y � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� 正棱台、圆台的侧面积公式 � EMBED Equation.3 ��� 其中� EMBED Equation.3 ���、c分别表示上、下底面周长 l表示斜高或母线长 球体的体积公式 � EMBED Equation.3 ��� 其中R表示球的半径 y y x x x x A B C D � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� （1） （2） � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Equation.3 ��� (3，� EMBED Equation.3 ���) � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ① ② PAGE 03春季高考(北京理)第6页(共9页) _1104127949.unknown _1104134797.unknown _1104136841.unknown _1104137805.unknown _1104147048.unknown _1104215512.unknown _1104219684.unknown _1104219819.unknown _1106313145.unknown _1104219887.unknown _1104219717.unknown _1104219643.unknown _1104151169.unknown _1104215464.unknown _1104147091.unknown _1104151152.unknown _1104147180.unknown _1104147079.unknown _1104138027.unknown _1104138199.unknown _1104138506.unknown _1104138620.unknown _1104138718.unknown _1104138788.unknown _1104138651.unknown _1104138574.unknown _1104138267.unknown _1104138160.unknown _1104138181.unknown _1104138114.unknown _1104137874.unknown _1104137927.unknown _1104137844.unknown _1104137415.unknown _1104137636.unknown _1104137726.unknown _1104137759.unknown _1104137684.unknown _1104137545.unknown _1104137607.unknown _1104137497.unknown _1104137230.unknown _1104137383.unknown _1104137400.unknown _1104137334.unknown _1104136880.unknown _1104137065.unknown _1104136866.unknown _1104135237.unknown _1104136585.unknown _1104136767.unknown _1104136797.unknown _1104136620.unknown _1104136390.unknown _1104136548.unknown _1104136356.unknown _1104135059.unknown _1104135166.unknown _1104135225.unknown _1104135120.unknown _1104134880.unknown _1104134953.unknown _1104134820.unknown _1104132714.unknown _1104133537.unknown _1104134385.unknown _1104134588.unknown _1104134625.unknown _1104134464.unknown _1104133659.unknown _1104134337.unknown _1104133592.unknown _1104133101.unknown _1104133150.unknown _1104133487.unknown _1104133110.unknown _1104132965.unknown _1104133032.unknown _1104132840.unknown _1104129653.unknown _1104129889.unknown _1104132694.unknown _1104132702.unknown _1104132646.unknown _1104129721.unknown _1104129793.unknown _1104129691.unknown _1104128806.unknown _1104129145.unknown _1104129202.unknown _1104129013.unknown _1104128719.unknown _1104128768.unknown _1104128338.unknown _1104127074.unknown _1104127411.unknown _1104127487.unknown _1104127779.unknown _1104127866.unknown _1104127502.unknown _1104127465.unknown _1104127475.unknown _1104127456.unknown _1104127161.unknown _1104127176.unknown _1104127183.unknown _1104127169.unknown _1104127108.unknown _1104127117.unknown _1104127088.unknown _1104126871.unknown _1104126958.unknown _1104126981.unknown _1104127063.unknown _1104126968.unknown _1104126919.unknown _1104126936.unknown _1104126885.unknown _1065163106.unknown _1104126838.unknown _1104126860.unknown _1104126479.unknown _1104126762.unknown _1104126642.unknown _1104126408.unknown _1065162975.unknown _1065163050.unknown _1065162888.unknown