第四章 配方均匀设计
配方设计在化工、橡胶、食品，材料工业等领域中十分重要，设某产品有种s原料，它们在产品中的百分比分别记作。显然。
EMBED Equation.3欲寻找最佳配方，需要做配方试验或混料试验，由于之间不独立，前三章所介绍的各种试验设计
方法
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均不适用于配方试验，在文献中可以查到许多有用的方法，如单纯形格子点设计（Simplex-lattice design)，单纯形重心设计(Simplex-centriod design),轴设计(axial design)等，Cornell[27]对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论，本章先简单介绍文献中推荐的这些方法，然后指出这些方法的缺点，并推出配方均匀设计。
4.1 配方试验设计
Scheffe于1958和1963创造了单纯形格子点设计和单纯形重心设计，其方法如下：
1、 单纯形格子点设计
先确定一个正整数m ，然后让每个原料取值
例如当s=3，m=1时，只有3个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），当s=3，m=2时，有6个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），当s=3，m=3时，有10个试验点：（1，0，0，），（0，1，0），（0，0，1），（1/3，2/3，0），（1/3，0，2/3），（0，1/3，2/3），（2/3，1/3，0），（2/3，0，1/3），（0，2/3，1/3），（1/3，1/3，1/3），一般记为{s，m}设计，一个{s，m}设计有
个试验点。
2、 单纯形重心设计
一个s维的单纯开重心设计共有个试验点，其中s个单一成分的点，。()个二种相等成分的试验点，即个s种相等成分的试验点：当s=3时，共有7个试验点，它们为:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),
除上述两种设计外，还有许多其他方法，如Cornell建议的轴设计。
3、轴设计
单纯形的重心和它各顶点的联线称为轴，轴设计取s个试验点，每个轴上一个点，使这些点到重心有相等的矩离d，通常0
设计方案
关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案
可用如下步骤获得：
1） 给定s和n，根据附录的使用表查到生成向量，并由这个生成向量产生均匀设计表或，用{qik}记或中的元素。
2） 对每个i，计算
(4.1)
3） 计算
(4.2)
由就给出了对应n,s的配方均匀设计.并用记号示之。
表26对n=11,s=3时给出了产生的过程.这时计算公式(4.2)有如下简单形式
(4.3)
表26 及其生成过程
No.
C1
C2
X1
X2
X3
1
1/22
13/22
0.787
0.087
0.126
2
3/22
5/33
0.631
0.285
0.084
3
5/22
19/22
0.523
0.065
0.412
4
7/22
11/22
0.436
0.282
0.282
5
9/22
3/33
0.360
0.552
0.087
6
11/22
17/22
0.293
0.161
0.546
7
13/22
9/22
0.231
0.454
0.314
8
15/22
1/22
0.174
0.788
0.038
9
17/22
15/22
0.121
0.280
0.599
10
19/22
7/22
0.071
0.634
0.296
11
21/22
21/22
0.023
0.044
0.993
公式(4.2)可以用递推方法以节省计算量，其算法如下：
(a) 令
.
(b) 递推计算
(c) 计算
则即为所求，用这个算法便于写计算程序。
由于编写产生表的程序极其简单，因此无需列出各种配方均匀设计表，有关的软件已经形成，读者可以直接使用，而节省研制时间。
用配方均匀设计安排好试验后，根据试验的目的，获得反应变量Y的值进一步的
分析
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和以前一样也是用回归分析，当因素间没有交互作用时，用线性模型，当因素间有交互作用时用二次型回归模型，或其他非线性回归模型，现用下例来说明之。
例6 在一个新材料研制中，选择了主要三种金属的含量作为因素.根据试验条件的允许和精度的要求，选择了表来安排试验，其试验
方案
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和Y值列于表27.由于，故表中仅仅列出和。利用二次型回归模型和逐步回归最终选定回归方程为
相应的R=0.90,
=0.289.由于，回归方程中仅有和出现，我们看到和有交互作用。限于篇幅，有关寻求最优配方的
内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
就不详尽叙述了，有兴趣的读者请参考方开泰和王元[16]，张金廷[13]。
表27 试验方案和结果
No.
x1
x2
Y
1
0.817
0.055
8.508
2
0.684
0.179
9.464
3
0.592
0.340
9.935
4
0.517
0.048
9.400
5
0.452
0.210
10.680
6
0.394
0.384
9.748
7
0.342
0.592
9.698
8
0.293
0.118
10.238
9
0.247
0.326
9.809
10
0.204
0.557
9.732
11
0.163
0.809
8.933
12
0.124
0.204
9.971
13
0.087
0.456
9.881
14
0.051
0.727
8.892
15
0.017
0.033
10.139
4.3 有约束的配方均匀设计
上两节我们讨论的配方设计对各个因素是一视同仁的，但是在许多配方中，有些成分的含量很大，有些则很小，这种配方称为有约束的配方，这时上两节所介绍的方法均不能直接运用，本节介绍有约束的配方均匀设计。
设在一配方中有s个成分，它们有约束条件如下：
(4.4)
当某个因子没有约束时，相应的
例7 若一配方有三个成分和，它们目前按70%，20%，10%组成配方，为了提高质量，希望寻求新的配比，这时我们希望设计一个试验，使
(4.5)
这时如何用均匀设计来给出试验方案呢？
本例由于的含量较高，我们可以将和在试验范围内按独立变量的均匀设计去选表，然后用给出的比例，若和都在试验范围内取11个水平，并用来安排和，得表28之试验方案.该方案并不十分理想，因为只有三个水平:0.64,0.70,0.76.若选用表，其试验方案列于表29，这时不仅和有11水平，也有11水平。
上述的两个方案重点在考虑和，而似乎是一种“陪衬”，不得已而变之，而且的变化范围和原设计并不十分吻合.故这种方法所设计的试验均匀性有时不一定很好.能否将,,同时来考虑，其中没有一个是陪衬呢？目前尚没有特别好的方法，我们仍以例7来讨论，令
为中的一组分散均匀的点集，由变换(4.3)我们可获得单纯形上的一组点因此，
应满足约束(4.5)，即
上式的约束成为
由它们所决定的区域D如图13所示，不难求得，区域D落于矩形R=[0.04,0.16][1/6,0.5]之中，于是，我们若在矩形R之中给出一个均匀设计，其中落在D的点可以视为在D上的一个均匀设计，然后再利用（4.3)便可获得我们要求的均匀设计方案。
表28 之试验方案
No.
1
0.76
0.15
0.09
2
0.70
0.16
0.14
3
0.76
0.17
0.07
4
0.70
0.18
0.12
5
0.76
0.19
0.05
6
0.70
0.20
0.10
7
0.64
0.21
0.15
8
0.70
0.22
0.08
9
0.64
0.23
0.13
10
0.70
0.24
0.06
11
0.64
0.25
0.11
表29 之试验方案
No.
1
0.74
0.15
0.11
2
0.77
0.16
0.07
3
0.69
0.17
0.14
4
0.72
0.18
0.10
5
0.75
0.19
0.06
6
0.67
0.20
0.13
7
0.70
0.21
0.09
8
0.73
0.22
0.05
9
0.65
0.23
0.12
10
0.68
0.24
0.08
11
0.60
0.25
0.15
设取n=21，由附录I中的A1.25 ，查到应当用的第1和第5列，由它们生成的均匀设计（见表28前两列）再通过变换(3.6)变到单位正方体之中（见表28，第3，4列），记变换后的点为其次将这些点通过线性变换到矩形R上去,其变换为
它们的值列于表30的最后两列，其中在试验点编号上加了“*”的表示该点落在区域D之内，未加“*”的表示落在D之外，我们看到编号为4，6，7，8，9，10，11，13，16，18的点落在D内.由这些点通过变换(3.6)获得落在(4.5)所规定的区域的10个试验点，它们列在表31之中.用上述方法所获得的试验方案布点均匀，但试验数不易预先确定。例如若我们希望做12次试验，用上述方法只能获得10个试验的配方，为此，我们可以尝试开始时n>21，比如n=24，再用类似办法看看最后有多少个点落在D之 中，该方法已经纳入中国均匀设计学会所推荐的软件包之中。
表30 有限制的配方设计
No.
1
5
1
1
13
0.0238
0.5952
0.0429
0.3651
2
2
4
0.0714
0.1667
0.0486
0.2222
3
3
17
0.1190
0.7857
0.0543
0.4286
4*
4
8
0.1667
0.3571
0.0600
0.2587
5
5
21
0.2143
0.9762
0.0657
0.4921
6*
6
12
0.2619
0.5476
0.0714
0.3492
7*
7
3
0.3095
0.1190
0.0771
0.2063
8*
8
16
0.3571
0.7381
0.0829
0.4127
9*
9
7
0.4048
0.3095
0.0886
0.2698
10*
10
20
0.4524
0.9286
0.0943
0.4762
11*
11
11
0.5000
0.5000
0.1000
0.3333
12
12
2
0.5476
0.0714
0.1057
0.1905
13*
13
15
0.5952
0.6905
0.1114
0.3968
14
14
6
0.6429
0.2619
0.1171
0.2540
15
15
19
0.6905
0.8810
0.1229
0.4603
16*
16
10
0.7381
0.4524
0.1286
0.3175
17
17
1
0.7857
0.0238
0.1343
0.1746
18*
18
14
0.8333
0.6429
0.1400
0.3810
19
19
5
0.8810
0.2143
0.1457
0.2381
20
20
18
0.9286
0.8333
0.1514
0.4444
21
21
9
0.9762
0.4048
0.1571
0.3016
表31 试验方案
No.
X1
X2
X3
1
0.7551
0.1750
0.0700
2
0.7327
0.1739
0.0933
3
0.7223
0.2204
0.0573
4
0.7122
0.1691
0.1188
5
0.7024
0.2173
00803
6
0.6929
0.1608
0.1462
7
0.6838
0.2108
0.1054
8
0.6662
0.2013
0.1325
9
0.6414
0.2447
0.1138
10
0.6258
0.2316
0.1425
4.4 均匀设计在系统工程中的应用
设有一个复杂的系统（如图14），有一批输入参数，当这些参数给定后，需要进行复杂的计算（如上百个微分方程），求得输出参数，用它们来控制该系统。由于计算过于复杂，计算时间较长，很难做到载线控制，或者已经推动了控制时机。因此，希望在输入参数和输出参数间建立一种简单的关系，通过这个关系，由输入可以极其快速地算出输出，这样图14中的“系统”部分可以视为“黑箱”，在应用中不必去过问。由于输入参数的范围可能很大，要建立输入和输出之间的关系并能达到要求之精度，在如此大的范围内并不容易。国外一批学者对此作了大量研究，并将这个研究方向称为“计算机试验设计”（design of computer experiments).许多研究将问题弄得很复杂，失去了应用价值。我国早在70年代末就已成功地将均匀设计用于系统工程中（参见黄树山、丁常福、赵蓉华[36]、张建舟、潘乃强、申宗鹤[40]、张炳辉[41]等），并且比国外的方法先进，其思想大体如下：
将输入参数分成较多的水平（通常大于20），然后在其范围内给出一个均匀设计，设计给出了n组不同的输入参数.然后按系统的模型精确地算出（比如系统模型是微分方程组）输出参数。利用多元统计分析中的许多方法（比如利用回归分析），可以建立输入参数和输出参数之间的关系，如果试验数足够多，模型精心选择，由输入估计输出的精度可以达到预期的要求，由于这方面的应用涉及到许多知识，这里难以详尽介绍。有关计算机试验的文献，读者可以从文献[16]的第五章第六节的介绍中找到。
结 束 语
本书的目的是向广大读者介绍均匀设计的方法和应用，在文字上尽量简洁，略去了所有的数学证明，考虑于已有相应的软件包，因此在数据分析方面也没有做到面面俱到，这样对于初学者易于领会均匀设计的思想和运用中的主要技巧，如果内容介绍太多，容易毛了西瓜拣芝麻，不久，王元教授和我将撰写一本有关均匀设计的专著，该书将包含有关的数学证明，并且包含更多的内容。
正交设计已有几十年历史，至今还在发展，均匀设计才有十几年历史，尚有许多总是有待去研究，例如拟水平的表还可以发现更多更好的表，有约束的配方设计给出更方便的设计方法，有多个试验指标（Y）时的数据分析方法，如第三章介绍，U*表比U表在均匀度方面有显著地改进，能否找到比U*更均匀的设计呢？这些都是值得研究的问题，我们特别欢迎使用者提出各种应用课题与我们讨论，实践是理论的源泉，均匀设计产生是来自实际问题的刺激，它的发展和完善仍然要依靠实际的推动。
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第四章 配方均匀设计 共10页
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