微积分论文微积分教学中应该注意的一些问题

微积分教学中应该注意的一些问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 费祥历 数学与计算科学学院 当代科学技术的一个显著特点是定量化和信息化，实际上就是数学化和计算机化，而计算机化的基础是数学化。因此，数学术语、数学思想、数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 必然要渗透到各门学科中去，数学成为各门学科必备的基础知识和基本工具，经济、管理类学科也不例外。 在高等教育本专科经济、管理类专业中，经济数学类基础课程是必修课。该课程体系程包括《微积分》、《线性代数》、《概率与数理统计》三门独立设置的课程。《微积分》是一门 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 丰富、课时量大,对后继课程的学习和今后的发展有重要影响的公共基础课，也是经济类、管理类专业的核心课程之一。 要较好地掌握微积分的基本思想、方法和基本知识，需要认真阅读教材，勤于思考，多做练习。我们用提问题和解答的方式对微积分教学中应该注意的一些问题提出参考意见，供大家参考。 问题1 微积分有怎样的内容体系？ 在第一次课中，应该对微积分这门课的基本内容体系做一个宏观地介绍。微积分的基本研究对象是函数，研究函数用的基本方法是极限方法。因此微积分的内容体系是： 第一部分，认识对象、掌握方法。主要内容有：函数的概念（特别是认识常用的经济学函数）、初等性质、初等运算、一些具体函数的认识（基本初等函数、初等函数、分段函数）；数列极限和函数极限的概念、性质、计算方法。这部分内容基本上是复习性质，大部分内容在中学数学阶段都学习过。 第二部分，函数的微观机理研究。主要内容有：函数的连续性和间断性概念；连续性的判断和连续函数的性质；函数的导数（变量的变化率）和微分的概念（近似表达）、性质和导数及微分的计算方法；微分学基本定理，导数在研究函数性质中的应用（特别是在经济学中的应用）。这部分内容主要是函数的连续、可导和微分的概念,可导的计算和应用。 第三部分，函数的宏观机理研究。主要内容有：导数的逆运算即不定积分的概念和计算；定积分的概念、性质和计算；不定积分和定积分的应用（几何应用、经济学应用）。 第四部分，无穷求和与函数的无穷和表达。主要内容有：数项级数和幂级数的概念、性质、敛散性判别法，幂级数的收敛区间的求法，简单函数的幂级数展开。 第五部分，多元函数的微积分。主要内容有：多元函数的概念、偏导数与全微分的概念与计算、隐函数的导数计算、二重积分的概念和简单区域上简单函数的二重积分的计算。 第六部分，简单微分方程与差分方程。主要内容有：微分方程与差分方程的概念，简单一阶、二阶微分方程与差分方程的解法。 上述内容中，第六部分是选学内容，不做考试要求。第五部分内容对专科学员是选学内容，不做考试要求。 问题2 如何理解函数的概念？ 函数概念是高等数学的最基本的概念，要准确理解。函数的记法 ,包含了函数概念的重要信息： 1．函数建立了两个变量 和 之间的关系， 是自变量， 是函数的定义域，表示自变量的变化范围， 是因变量，它随着 的变化根据对应关系 而变化。 2．函数的两个要素是定义域和对应关系,就是说，如果 和 是两个函数，则他们两个是相等的函数的充分必要条件是：定义域相等，即 ，且对应关系相同，即对每个 EMBED Equation.3 。 可举例说明：1. 函数 和函数 不是相等函数，因为，前者定义域为 ，后者的定义域为全体实数 ，定义域不同。 3. 与 是相等的函数，因为二者定义域都是全体实数 ，且对每个实数 ， 。 问题3 如何求函数的定义域和计算函数值？ 对于一个用数学解析式子表示的具体的函数求定义域，通常指求使得解析是有意义的自变量的变化范围，称为函数的自然定义域。其基本原则是：零不能作除数，即分式的分母不能为零；由于微积分是在实数范围内讨论问题，因此负数不能开偶次方；对数函数 的真数要大于零，并且对数函数和指数函数 的底数 要大于零不等于1；反正弦 和反余弦函数的自变量u绝对值不能超过1。 当一个函数是由几个较简单函数的四则运算构成时，其定义域是各部分定义域的公共部分，当一个函数由几个函数复合而成时，其定义域是使得函数能够完成复合的过程且函数最终有意义的自变量的变化范围。 例如 求函数 的定义域，并求 . 注意，由于 不存在，因此 实际上不存在！ 问题4 什么是函数的初等性质与初等运算？ 函数的初等性质指函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性，这些性质可直接借助函数的定义说清楚，而函数的有些性质必须借助极限的概念才能定义好，如连续、导数、积分、级数的敛散性等。单调性可以借助导数来判断，对周期性只要知道三角函数类的周期性即可，函数的有界性和奇偶性要求会根据定义来判断。函数的初等运算指函数的四则运算（ ）、取反函数运算和复合运算，这些运算也可直接借助函数的定义说清楚，而求导数、级数求和等必须用极限来完成。初等运算是用已知函数构造新函数的常用方法，后续内容如极限运算、导数运算都与初等运算有关。 可举例，判断函数 的奇偶性和有界性，并求 。 问题5 什么是基本初等函数和初等函数？ 客观现象多种多样，描述这些现象的函数也必然呈现出各种各样的模式。在长期的实践中，人们逐渐在众多的函数中筛选出最基本的六类函数，称为基本初等函数。有：常数函数 ；幂函数 ；指数函数 ；对数函数 ；三角函数 ， ， ， ， ， ；反三角函数 。在学习过程中，这六类函数（14个）的表达式、定义域、值域、图形、周期性、单调性应该搞清楚。 由基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算构成的函数称为初等函数。初等函数和由初等函数分段表示的分段函数是微积分中研究的主要的具体函数。对复合函数要会 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其复合关系，基本原则是分解成基本初等函数的复合或者四则运算。分段函数是一个函数而非多个函数，只是在不同的自变量变化范围内函数表达式可能不同而已。 例如， ； 。分解时由左往右层层剥开。 又如， 是分段函数。在 上 是初等函数， 初等函数在实践中是否够用呢？可以指出，有相当广泛的函数，在一定条件下可以用幂函数的某种和式表示出来（幂级数理论），差不多每个周期函数都可以用三角函数的某种和式表示出来（三角级数，但本课程中不予讨论）。 问题6 常用的经济学函数有哪些类型？ 设商品的需求量（或者生产量）为 ,商品的市场价格为 ,企业的固定成本为 ,生产 件产品的可变成本为 ,销售（或者生产） 件产品的收入是 利润为 则有 需求（或者供给）函数： ， 总成本函数： ， 总收入函数： ， 总利润函数： 。 库存函数： 其中 是每件物品在单位时间内的存储费用， 是每次进货的进货费用， 是计划期 内对某种物品的总需求量，如果在时期 内均匀地分n次进货，则每批进货量为 。 例如，某工厂生产某种产品，固定成本为200元，每多生产1件产品，成本增加10元，该产品的需求函数为 ，则成本函数 ，平均成本函数 ，收益函数 或者 。 利润函数 ， 或者 。 问题7 如何理解极限的概念？ 极限是微积分中最基本的一个概念，是后续内容中研究函数的一个基本工具。极限研究的是两个变量 和 ，在其中一个变量（自变量） 的无限变化过程中，另一个变量（函数） 的变化趋势（即是否能无限趋于一个固定常数）问题，极限是由近似逼近精确的桥梁。由于自变量的取值和变化过程的不同，极限的定义有7种具体形式 ： ， ， ， 。 双侧极限和单侧极限之间的关系为： 无穷小量（ ）和无穷大量（ ）是用极限方式定义的两个概念，应该注意到，无穷小量和无穷大量都是变量并且伴随自变量的一个无限变化过程。要了解极限的一些基本性质，对理解极限和求极限会有帮助。微积分中，对极限的定义只要求基本理解极限的描述性定义就行了，对 不做要求。此处有些学员可能会问，自变量趋于有限数 为什么是自变量的无限变化过程？实际上，对任意的 ,要x无限趋于a（其涵义是 ）必须经过无限多个数。 问题8 如何求极限？ 极限的计算问题是极限理论的基本问题也是整个微积分的基本问题。微积分中，函数的连续性概念、导数的概念和计算、定积分的概念、广义积分和无穷级数敛散性的判断等都与极限的概念和计算直接相关，因此正确地计算极限是学好微积分必须具备的技能。首先应该掌握一些简单的极限计算结果，例如： ， 。 1．极限的四则运算法则和函数的连续性求极限： 2．利用两个重要极限和变量代焕法求极限：已知 则可有 , 3．分段函数在分段点处的极限由左右极限与双侧极限的关系来求： 4．根式或者分式求极限时往往需要进行根式、分式化简： 还可以利用罗必达方法求极限等等。 问题9 如何判断函数的连续性和求间断点？如何利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程根的存在性？ 函数的连续性是一个重要概念，在客观事物中，当自变量的变化幅度小时，因变量的变化幅度也小这种现象给出了一种严格的数学定义。连续函数有重要的性质，比如，有界闭区间上的连续函数是有界函数，零点定理成立，有介值性，并且能够取到最大值与最小值（最优解的存在性）；要函数可导首先要连续；连续函数是可积的；连续函数求极限十分简单，即极限值等于函数值， 。当等式 不成立时，称函数 处是不连续， 称为 的间断点。由于连续函数的四则运算（除法时使得分母为零的点除外）、取反函数运算和复合函数运算保持连续性。这里应注意一种数学思想：首先根据连续性定义直接证明几个简单函数的连续性，然后建立连续函数的运算法则，由此立刻可得到两个重要结论：基本初等函数在其定义域内处处连续；初等函数在其定义区间（既包含在定义以内的区间）内处处连续。对分段函数在分段点的两侧有共同初等函数表达式的开区间内是连续的，分段点处根据左右连续性来讨论其连续性。例如， 我们知道，一元一次方程，一元二次方程都有求根 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。可以证明三次、四次方程也有类似的求根公式，不过比较复杂。五次和五次以上的代数方程没有求根公式，因此，五次和五次以上的代数方程，更一般的函数方程 是否有根就是一个重要的理论问题。零点定理给出了在一定条件下保证根存在的一个充分条件。例如可用零点定理证明方程 在区间 上至少有一个根存在。 问题10 如何理解导数和微分的概念？ 导数和微分是微积分学的基本概念。物理学中变速直线运动的瞬时速度的计算归结为一个特殊形式的函数极限 ；几何学中曲线 在一点的切线斜率的计算也归结为一个特殊形式的函数极限 。还有许多量的计算都会归结为这种特殊模式极限的计算，对一般的函数 研究这种特殊形式的极限就抽象出导数的概念。导数本质上是一个量y关于另一个量x的变化率，凡是变化率问题都可以用导数来解决。微分是由近似计算的想法产生的概念：如 ，就把 的主要部分 （它是 的线性函数）称为函数 在 点的微分，记为 。通过研究发现，函数在一点的可导性与可微性是等价的，并且得到 。由此可得导数的另外一个解释：导数 是函数的微分dy与自变量的微分 之商 。同时说明，可用导数计算微分，或者用微分计算导数。可导、可微、连续三者之间的关系为： 引入数学概念时，应十分重视对引例的讲解，它使抽象的概念成为有源之水。 问题11 如何计算导数？ 可根据导数的定义公式求导数，由此即可得到一批简单函数得导数公式；再建立求导法则，主要有四则运算法则，复合函数求导法则。这里应再一次注意一种数学思想：首先根据导数的定义直接计算几个简单函数的导数公式，然后建立求导数运算法则，由此可知原则上任何初等函数的导数都可以比较容易的计算出来。此外还有针对复杂的乘积和幂指函数，简化导数计算的对数求导法，以及针对由方程确定的隐函数的隐函数求导法。一般而言，对初等函数求导，必须记住基本初等函数的求导公式，记住求导法则，在特殊点处（如分段函数分段点）会用导数定义公式计算导数。记住基本求导公式，也就记住了基本微分公式，同时有助于记忆基本积分公式。除了 等几个简单函数的n阶导数公式要记住外，一般函数求高阶导数主要是二阶，三阶导数会求即可。 例如， ； 求 ； 设函数 由方程 确定，求 ； 问题12 微分中值定理在微分学的应用中起着什么作用？如何理解这些中值定理？ 作为刻画变化率（速度）的导数，可以广泛地用于研究函数的各种性质。这就要求在函数的导数 和函数 之间建立起某种紧密的关系，微分中值定理就是把函数的导数和函数用某种等式联系起来的几个定理，他们是微分学的基本定理。可以从分析定理的条件、结论、几何直观解释、简单用法和这几个定理间的关系等方面去理解定理的内容。对给定的具体函数要能够判断其是否在所给区间上满足指定的定理的条件，会用中值定理解决一些简单的问题。 例如，验证函数 使得 的 （这种 没有一般的求法，只有简单的函数才有可能求出具体的 值，定理的重要在于它保证了这种 的存在性）。 又如， 证明不等式： 对任意的实数 都成立； (2)设 在(0,1)内可导， 上连续，且 ，证明：对任意的实数 ，存在 ，使得 （令 ）。 问题13 在微积分课程中，利用导数可以研究函数的那些重要性质？如何利用导数研究函数这些性质？ 利用导数可以建立求极限的罗必达法则；判断函数的单调性；判断曲线的凹凸性；求极值和最值；求曲线的渐近线。 罗必达法则是求未定式极限的十分有效的方法，有两种基本型 ，即随着自变量的无限变化过程，商式 中分子分母同时趋于零，或者同时趋于无穷大时，商式的极限可能存在，可能不存在，求极限比较复杂。利用罗必达法则，将极限问题转化为可能较为简单的导数比的极限 。应该注意罗必达法则是充分条件定理，而非充要条件定理，当条件满足时可多次使用。还有其他五种未定式， 是可转化为两种基本型的未定式。 这四种未定式是针对极限的四则运算求极限时不能确定其极限的存在性而言的。如果 时有法则 幂指函数求极限时会产生未定式 。 例如， 用罗必达法则求极限 ； ； 又如，求函数 的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点及在区间[-2，2]上的最大值和最小值。 问题14 导数在经济分析中主要有哪些应用？ 在微积分课程中，利用导数可以进行边际量的计算，求最大收益、最大利润和最小成本，可以进行商品的弹性分析。设函数 处可导，则有 在经济学中，通常取 ，即研究自变量发生一个单位的改变时，函数的变化幅度，并且一般直接取 ，称其为函数 在 处的边际量，通常称 为函数 的边际函数。如果函数分别取需求函数 , 收益函数 ，成本函数 ，利润函数 ，则有边际需求 ，边际收益 ，边际成本 ，边际利润 。 导数在经济分中的另一个重要应用是关于商品的弹性分析。设商品的需求函数为 ，则函数的改变量 和导数 反映的是商品的需求量Q随着价格P的变化而变化的绝对改变量和绝对变化率，是带有量纲的量。如果价格P的单位是元，需求量Q的单位是件，则 和 的单位分别为（件）和（件/元）。如果要在不同性质的商品之间进行对比，分析市场需求量关于价格的变动情况，这种带量纲的量就不方便使用，为此，经济学家引入了弹性的概念，它是不带量纲的量。一般的设有函数 ，称量 为函数 在两点 之间的弹性， 分别反映了两个变量在 基础上发生改变 时的相对变化量， 时， ，由于 ，而 ，称极限 EMBED Equation.3 为函数在 处弹性。表示当自变量在 的基础上发生1%的改变时，函数 产生 %的改变， 是一个无量纲的量。当函数为需求函数时，即为需求关于价格的弹性（简称需求弹性），当函数为供给函数时，即为供给关于价格的弹性（简称供给弹性）。由于需求函数通常是减函数，供给函数通常是增函数，为了应用方便，取 。因此需求弹性取 ，供给弹性取 。由于收益函数 。因此， 时， 收益随提价而增长，称为低弹性商品； 时， 收益随提价而增长，称为不变弹性商品； 时， 收益随提价而减少，称为高弹性商品； 例如， 设某个企业生产某种产品，日总成本为C元，其中固定成本为200元，每多生产一个单位的商品，成本增加10元。设商品的需求函数为 。计算下列量：(1)边际收益；(2)最大利润时的生产水平；(3)需求弹性，并给出P=5时弹性 的经济意义解释。 问题15 求导数运算与求原函数运算之间有何关系？原函数与不定积分之间有何关系？ 已知函数 ,对其求导数，得 。如果问题是，已知函数 ，要求另为一个函数 ,使得 ，则正好是与原来求导问题相反的问题。取 即可，称其为函数 的原函数。一般的，如果， ，称 是 的原函数。如果 是 的原函数，则对任意的常数 ， 都是 的原函数，且 的所有原函数都具有这种形式。把一般形式的原函数 称为 的不定积分，记为 EMBED Equation.3 ，即 = 。 由 求 的过程称为计算不定积分，当求出 时即说求出了不定积分。 问题16 如何计算不定积分？如何用不定积分解决简单的应用问题？ 由不定积分的定义可见，求导数与求不定积分（原函数）互为逆运算。因此，由求导数（或者求微分）公式可反转而得基本初等函数的积分公式，称为基本积分公式。当掌握基本的积分公式后，借助积分的线性运算性质即可计算出一些函数的积分。再由两种基本记分方法：换元积分法和分部积分法就可求出常见函数的不定积分。 例如， 求 ； ； ； . 又如 ，设曲线 在其上点 的切线斜率 ，且曲线经过点(0,1)，求此曲线方程；设 。 再如 已知某产品的边际收入函数为 ( 为销售量),求总收入函数 . 问题17 怎样理解定积分的概念？定积分与不定积分有何关系？ 定积分是微积分学的基本概念，他的几何背景是平面图形（曲边梯形）面积的计算，其计算模式归结为一个特定和式的极限 EMBED Equation.3 （ 是对分划区间的精细程度的描述），并且有许多不同领域中都会出现这种特定和式的极限，从数学上便抽象出一个一般的概念，即函数 在区间[a,b]上的定积分，定义为 EMBED Equation.3 。定积分的思想已有两千多年的历史，但是直到17世纪数学家发现定积分与不定积分的关系，即计算定积分与求函数的原函数运算间的关系，才使得定积分的计算问题得到较好的解决，使得避免了计算极其复杂的这个特定和式的极限。注意，定积分概念与不定积分概念来源于完全不同的背景。解决了计算问题，才有可能使得能用这种方法解决实践中的大量问题。在微积分课程要准确理解定积分的概念，了解定积分的有关性质，这些性质有些直接和定积分的计算有关系，如线性性质，区间可加性，利用函数的奇偶性和区间的对称性简化积分计算等。 问题18 怎样计算定积分？ 在准确理解定积分概念的基础上，定积分的基本问题就是定积分的计算和应用问题。按照定积分的定义，理论上总可以通过计算和式的极限来计算定积分，但实际计算是由于和式结构的复杂性，对稍微复杂些的函数都是难以行得通的，必须寻找实际可行的方法。其结果是微积分学基本定理：设 ，即变上限的函数 是 在区间[a,b]上的一个原函数，和牛顿—莱布尼茨公式： 如此一来，定积分的计算就归结为原函数，或者不定积分的计算。而计算不定积分要相对简单得多。相应于不定积分的计算方法，如换元积分法和分部积分法，定积分也有换元积分法和分部积分法，其计算思想（根据不同的函数类选不同的积分方法）基本一样，只是注意计算定积分时对已经积出的部分要及时带入上下限计算原函数的值。对定积分更多的理论问题在此处不做更深入的要求。 例如，求极限 ； 求 ； 以上两题本质上是变上限积分求导数问题，第二题所求导数的函数是上限、下限都是变限的定积分，定理中只讨论过变上限的积分的导数，为此根据定积分的区间可加性，把积分分区间讨论。 又如， ；计算 。 再如，计算 ，其中 由于被积函数是一分段函数,故利用定积分对积分区间的可加性, 注意到 在 处不连续，可以证明，改变被积数在有限个点处的值，不改变积分值。于是将 的中被积函 在 点处的值由1变为0，此时得: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 再如，计算 ； 计算 ；计算 . 问题19 怎样理解和计算广义积分？ 作为和式极限的定积分 EMBED Equation.3 有两个前提条件：积分区间[a,b]必须是有界闭区间，被积函数 必须是[a,b]上的有界函数。但是实践中有些问题会涉及到无限区间上的积分问题和有限区间上无界函数的积分问题。这就要求对定积分概念进行推广，其结果产生了广义积分的概念。广义积分在后续课程概率论等课程中需要。从广义积分的定义式： （前者假设被积函数在 上连续，后者假设被积函数在 内连续，且在a（称为瑕点）的右半个邻域内无界（还有其他形式，如 ））可见，广义积分是定积分和函数极限概念的结合，当极限存在时称积分收敛，否则称积分发散。本课程中要求会直接根据定义判断简单函数的广义积分的敛散性。 例如， 求 ， ， ；计算 ；计算 . 注意：如下计算 是错误的！事实上，这是一个发散的广义积分。 问题20 举例说明定积分有哪些应用？ 定积分作为一个重要的数学模型有着非常广泛的应用，可以用它计算大量的几何量、物理量、经济学量等等。在微积分课程中，要求会算一些简单平面图形的面积、旋转体的体积和由边际量求总量。例如，已知某一产品产量为 时的边际收益为 ，其总收益为 ，销售量为 的平均收益为 ，则 , . 例如， 求由连续曲线 ， 轴及二直线 与 所围成的平面图形的面积. 又如， 计算由曲线 ，直线 和 轴围成的平面图形的面积A以及该平面图形绕 轴旋转一周所的立体的体积V。 再如， 已知某产品的边际成本为 （元/单位）求： （1）生产前6个单位产品的可变成本； （2）若固定成本 元，求前6个产品的平均成本； （3）求生产第10个到第15个单位产品时的平均成本. 问题21 无穷级数的基本思想和内容是什么？ 对任意有限个数 总可以相加 得到一个确定的实数，如果有一个无穷数列， 这就是无穷级数的问题。这类问题，有些比较简单可从已有的数学知识得出结论，有些就不那么容易判断了。例如，容易判断 ，也可以根据等比数列求和公式判断得到 ，但是， 就不是容易能够做出结论的了。因此，无穷级数的基本问题，首先要定义什么是无穷多个数的和？何时无穷多个数可以加得一个确定的和？（即何时无穷级数是收敛的或者发散的）对简单的无穷级数如何求得其和？实践中除了各项都是数的数项级数外，还需要讨论无穷多个函数相加的问题，即函数项级数。函数项级数有两个方面的问题：一是如何判断函数项级数的敛散性？收敛时它的和函数有什么性质？二是已知某个函数 ,在什么条件下，它可以用简单函数的无穷和表示出来，即函数的展开问题 如果选 ，就得到幂级数，如果选 ，就得到三角级数。本课程中之讨论数项级数理论与幂级数理论。 问题22 何谓级数的敛散性？如何判断数项级数的敛散性？ 设有一个无穷数列 称为一个无穷（数项）级数。 称为该无穷级数的前n项的部分和，数列 称为级数的部分和数列。当数列 收敛，即极限 存在时，称级数收敛，把S称级数的和。否则，称无穷级数发散。按此定义，无穷级数的概念是有限求和与数列极限概念的结合。 为了判断级数的敛散性，需要建立有效的判断方法。可按如下的程序进行判断： 第一步：通项 如不成立，则级数发散！例如，对无穷级数 ， ∵ ，∴ 发散，如果 成立，则级数收敛，可能发散，需要进一步判定，转入下一步。 第二步：对正项级数，用比值判别法判别级数的敛散性。记住级数 的敛散性的结论，再用比较判别法判别一些简单级数的敛散性，否则转入下一步。 第三步：对交错级数 ，用莱布尼茨判别法判断其敛散性，否则转入下一步。 第四步：对任意项级数 ，先对各项取绝对值，通过判断正项级数 的敛散性，看其是否绝对收敛，如不是绝对收敛，则一般可通过莱布尼茨判别法判别其条件敛散性。 例如，判断如下级数的敛散性： 。 问题23 如何求幂级数的收敛半径和收敛区间？怎样把函数展成幂级数？ 对幂级数 ，求极限 ，R即为收敛半径，当 分别零，正的有限数和无穷大时，级数分别在单点集{0},开区间(-R,R)和 内绝对收敛，在区间端点 处的敛散性可通过数项级数敛散性来判定（此处不做要求）。为了把函数展成幂级数，先记住根据直接展开法得到的几个常见幂级数： ， 再用幂级数的运算性质（加法、逐项求导数、求积分）和变量代换法可求出一些简单函数的幂级数展开式。 例如，求级数的收敛区间： 又如，求函数的幂级数展式： 问题24 如何理解多元函数微积分学的基本思想？ 一元函数微积分学在各个领域都有着十分广泛的应用，不过一元函数只涉及到两个变量之间的关系，而现实中，大量的问题涉及到多个变量之间关系的分析。例如，长方体的体积V与其三个边长x,y,z有关， 。一个工厂的产量Q,在一段时期内，主要和劳动力的投入量L和资金的投入量K有关，比如， 等等。因此，就需要把一元函数微积分的方法进行推广，推广到多元函数微积分情形。考虑到平面解析几何在一元函数微积分学中所起得的重要作用，首先介绍空间解析几何的基本概念。从思想方法上，一元函数微积分与多元函数微积分基本上是一致的。学习中应注意如何进行推广和如何把多元的问题划归为一元的问题。这部分内容的重点是，多元函数的概念（求函数定义域的原则与一原函数相同）、多元函数偏导数和全微分的计算、多元函数极值的求法和偏边际量、偏弹性的计算、二重积分的概念、简单区域上简单函数二重积分的计算。偏导数的计算本质上可归结为一元函数导数的计算，二重积分的计算归结为两次定积分的计算。 例如， 求函数的定义域： 。 求偏导数与全微分： 。 隐函数求导数： 。 又如，设某企业的产量Q与资金投入K和劳动力投入L的关系为柯布—道格拉斯函数 ，求当 和 分别有改变量 、 时， 的改变量。并求 关于 和 的偏弹性。 则 再如，计算二重积分： 问题25* 微积分课程中主要应该掌握那几类微分方程和差分方程的解法？ 微分方程和差分方程理论是微积分课程中的一部分重要内容，是用微积分的方法解决实际问题的桥梁。把包含有导数或者微分的等式称为微分方程，所含导数的最高阶数称为微分方程方程的阶。微分方程的解是使微分方程能够成为恒等式的函数。微积分中，以三种一阶微分方程和三种二阶可降阶微分方程为主讨论其解法。一阶和二阶微分方程的一般形式是， 这类方程的解法主要是初等积分法。设 则 分别称为函数 的一阶和二阶差分。一阶和二阶差分方程的一般形式是 或者 三种一阶方程是： 可分离变量的方程： 齐次微分方程： 方程转化为变量分离方程 。 一阶线性微分方程： ， 例如， 三种可降阶二阶方程是： 。 二阶常系数线性齐次方程 的解： 由于指数函数的导数特性，试探形如 的解，得到 应该满足的代数方程（微分方程的特征方程） ，特征的判别式是 。(1) (2) (3) 例如方程， 此外还有二阶常系数菲齐次方程的待定系数法，一阶二阶常系数线性差分方程的解法。 PAGE 2 _1160119219.unknown _1160417726.unknown _1160983780.unknown _1160999563.unknown _1173614664.unknown _1173616499.unknown _1173616978.unknown _1173617030.unknown _1173617309.unknown _1173617310.unknown _1173617068.unknown _1173617308.unknown _1173617008.unknown _1173616877.unknown _1173616953.unknown _1173616579.unknown _1173614963.unknown _1173615578.unknown _1173616150.unknown _1173615465.unknown _1173614789.unknown _1173614932.unknown _1173614678.unknown _1173612683.unknown _1173614130.unknown _1173614474.unknown _1173614542.unknown _1173614423.unknown _1173613113.unknown _1173613183.unknown _1173613224.unknown _1173612845.unknown _1173612969.unknown _1173612760.unknown _1160999777.unknown _1161000004.unknown _1173611960.unknown _1160999886.unknown _1160999667.unknown _1160999717.unknown _1160999607.unknown _1160985389.unknown _1160998759.unknown _1160999501.unknown _1160999539.unknown _1160998905.unknown _1160985663.unknown _1160998474.unknown _1160998674.unknown _1160985846.unknown _1160985427.unknown _1160985266.unknown _1160985343.unknown _1160985383.unknown _1160985309.unknown _1160984187.unknown _1160985240.unknown _1160983913.unknown _1160511235.unknown _1160513708.unknown _1160549651.unknown _1160550444.unknown _1160550931.unknown _1160550939.unknown _1160550435.unknown _1160541864.unknown _1160542495.unknown _1160547565.unknown _1160549239.unknown _1160546479.unknown _1160542528.unknown _1160542060.unknown _1160542288.unknown _1160542029.unknown _1160541777.unknown _1160541813.unknown _1160541708.unknown _1160511805.unknown _1160512146.unknown _1160512466.unknown _1160513014.unknown _1160513062.unknown _1160512667.unknown _1160512321.unknown _1160511941.unknown _1160511426.unknown _1160511501.unknown _1160511366.unknown _1160479377.unknown _1160482259.unknown _1160510985.unknown _1160511207.unknown _1160510863.unknown _1160480447.unknown _1160480745.unknown _1160480029.unknown _1160418130.unknown _1160418866.unknown _1160419023.unknown _1160479358.unknown _1160418498.unknown _1160417906.unknown _1160418071.unknown _1160417778.unknown _1160331505.unknown _1160400059.unknown _1160403370.unknown _1160416433.unknown _1160416790.unknown _1160417231.unknown _1160416742.unknown _1160404139.unknown _1160416205.unknown _1160403970.unknown _1160401028.unknown _1160403270.unknown _1160403346.unknown _1160403177.unknown _1160403239.unknown _1160401102.unknown _1160400886.unknown _1160400962.unknown _1160400139.unknown _1160332887.unknown _1160334732.unknown _1160399727.unknown _1160399987.unknown _1160335553.unknown _1160334701.unknown _1160334720.unknown _1160333855.unknown _1160332689.unknown _1160332815.unknown _1160332853.unknown _1160332779.unknown _1160332494.unknown _1160332595.unknown _1160332357.unknown _1160156397.unknown _1160167551.unknown _1160205817.unknown _1160206852.unknown _1160213396.unknown _1160213442.unknown _1160213456.unknown _1160209185.unknown _1160206336.unknown _1160206523.unknown _1160206191.unknown _1160202239.unknown _1160203513.unknown _1160205616.unknown _1160203140.unknown _1160201671.unknown _1160202216.unknown _1160199707.unknown _1160156819.unknown _1160162847.unknown _1160162883.unknown _1160162104.unknown _1160156767.unknown _1160156781.unknown _1160156444.unknown _1160156521.unknown _1160156536.unknown _1160156476.unknown _1160156443.unknown _1160123471.unknown _1160123626.unknown _1160156348.unknown _1160156377.unknown _1160123655.unknown _1160123513.unknown _1160123533.unknown _1160123494.unknown _1160119825.unknown _1160121158.unknown _1160122442.unknown _1160123442.unknown _1160119878.unknown _1160119660.unknown _1160119690.unknown _1160119249.unknown _1160049998.unknown _1160113116.unknown _1160117408.unknown _1160118417.unknown _1160118928.unknown _1160119095.unknown _1160119204.unknown _1160118999.unknown _1160118773.unknown _1160118806.unknown _1160118670.unknown _1160118174.unknown _1160118287.unknown _1160118350.unknown _1160118249.unknown _1160118026.unknown _1160118085.unknown _1160117452.unknown _1160114224.unknown _1160114428.unknown _1160114453.unknown _1160117407.unknown _1160114443.unknown _1160114247.unknown _1160114345.unknown _1160114234.unknown _1160113743.unknown _1160113935.unknown _1160114080.unknown _1160113916.unknown _1160113686.unknown _1160113729.unknown _1160113515.unknown _1160058292.unknown _1160073596.unknown _1160074445.unknown _1160075643.unknown _1160113008.unknown _1160074663.unknown _1160074047.unknown _1160074379.unknown _1160074187.unknown _1160073833.unknown _1160060025.unknown _1160073292.unknown _1160073345.unknown _1160060088.unknown _1160059235.unknown _1160059386.unknown _1160058310.unknown _1160053342.unknown _1160055754.unknown _1160056952.unknown _1160057590.unknown _1160055807.unknown _1160055560.unknown _1160055701.unknown _1160055039.unknown _1160055162.unknown _1160051553.unknown _1160051958.unknown _1160052024.unknown _1160051704.unknown _1160050287.unknown _1160051264.unknown _1160050263.unknown _1159208300.unknown _1159210554.unknown _1159595486.unknown _1159603019.unknown _1159605034.unknown _1159605110.unknown _1159604857.unknown _1159602914.unknown _1159602942.unknown _1159602840.unknown _1159211142.unknown _1159215547.unknown _1159215573.unknown _1159211363.unknown _1159211091.unknown _1159211104.unknown _1159210674.unknown _1159209198.unknown _1159210014.unknown _1159210311.unknown _1159210431.unknown _1159210138.unknown _1159210190.unknown _1159209575.unknown _1159209608.unknown _1159209333.unknown _1159208927.unknown _1159209065.unknown _1159209116.unknown _1159208940.unknown _1159208435.unknown _1159208461.unknown _1159208402.unknown _1159190888.unknown _1159203238.unknown _1159207883.unknown _1159208227.unknown _1159208262.unknown _1159207966.unknown _1159204557.unknown _1159204589.unknown _1159203408.unknown _1159192593.unknown _1159203182.unknown _1159203217.unknown _1159203145.unknown _1159190925.unknown _1159192205.unknown _1159190904.unknown _1159042214.unknown _1159189287.unknown _1159189292.unknown _1159189294.unknown _1159189598.unknown _1159190552.unknown _1159190863.unknown _1159190131.unknown _1159189379.unknown _1159189293.unknown _1159189289.unknown _1159189291.unknown _1159189288.unknown _1159042443.unknown _1159043736.unknown _1159189285.unknown _1159189286.unknown _1159043775.unknown _1159189284.unknown _1159042533.unknown _1159043519.unknown _1159042508.unknown _1159042290.unknown _1159042340.unknown _1159042227.unknown _986664754.unknown _1006494138.unknown _1009166575.unknown _1010285288.unknown _1010285352.unknown _1015710821.unknown _1010285336.unknown _1010284963.unknown _1007986607.unknown _1009069903.unknown _994328460.unknown _994336533.unknown _994336551.unknown _994336453.unknown _990547334.unknown _986807719.unknown _986815691.unknown _986728088.unknown _986728168.unknown _984836826.unknown _985754358.unknown _986232204.unknown _986570067.unknown _986232336.unknown _985754403.unknown _986232135.unknown _985754382.unknown _984893003.unknown _985754345.unknown _984892609.unknown _983442471.unknown _984829446.unknown _984836783.unknown _984829390.unknown _983442053.unknown _983442063.unknown _983442288.unknown _983441833.unknown _983442014.unknown _983007977.unknown