高中数学竞赛 第44讲 排序不等式教案

第44讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用． 排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a1，a2，……，an；b1，b2，……，bn．如果a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．那么a1bn＋a2bn－1＋……＋anb1（反序和）≤a1 ＋a2 ＋……＋an （乱序和）≤a1b1＋a2b2＋……＋anbn（同序和）， 其中i1，i2，……，in是1，2，……，n的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式 在同序和反序时分别取得最大值和最小值． 切比雪夫不等式：设有两个有序数组a1≤a2≤……≤an；b1≤b2≤……≤bn．则 其中等号仅当a1＝a2＝……＝an或b1＝b2＝……＝bn时取得． 琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上． 定义　设连续函数f(x)的定义域是[a，b] (开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点x1，x2有f( 定理一．若f(x)是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x1，x2，……，xn，恒有f( 定义　设连续函数f(x)的定义域是[a，b](开区间(a，b)或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a，b]内的任意两点x1，x2有f( 定理二：若 是上凸函数，则对其定义域中的任意 个点 恒有 ，容易验证 分别是 上的下凸函数。 分别是 上的上凸函数。定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。 幂平均： 设 是任意 个正数，我们称 为这一组数的 次幂平均，记为 （ ），简记作 。由定义容易得到 ，可以证明 。 幂平均不等式：设 是任意 个正数。如果 ，那么一定有 ，等号只有当 个数全相等时才能成立。例如 时， EMBED Equation.3 ，显然 是 的递增函数。 我们将在本节的附录里对排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式分别给出证明。由于幂平均不等式数学背景深，难度大，这里不再证明，有兴趣的读者可以参阅史济怀先生著《平均》。 A类例题 例1 求证 证法一： 证法二： 在 上是下凸函数。据琴生不等式 ，因此 说明：如原题改为求证 ，则证法二仍可，证法一则不灵。 例2 中求 的最大值。 解：考察函数 ， ，对任意 ， ，所以 EMBED Equation.3 。因此 是上凸函数。据琴生不等式 ，当且仅当 时取得最大值 。 链接：用琴生不等式可以轻而易举得得到一系列三角不等式，例如 中 ， ， 。 例3 若 ，求 的最小值。 解：由于 是下凸函数（读者自行证明）。据琴生不等式 ，即 ，也就是 ，当且仅当 时达到最小值。 说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。 情景再现 1. 中，求 的最大值。 2. ，若 ，证明 是下凸的；若 ，证明 是上凸的。 3. 用函数 的凸函数性质证明平均值不等式：对 （ ）有 B类例题 例4 设 都是正数，且 ，试证 证明：据幂平均不等式 ，因此有 ，也就是 。 例5 1）若不等式 对所有正实数 都成立，则 的最小值是____________。 2）设 都是正数，试证 3）设 ，且 ，试证当 时有 1）解：据幂平均不等式 ，因此 ，故 的最小值是 。 2）证明： （1），又 因此得 （2）， （1）与（2）相乘得 ，也就是 。仿此，一般地设 ； 都是正数，且 ，则有 。 3）证明：由幂平均不等式 ，这样便有 （1），由于 ，由柯西不等式（或平均值不等式）易知 ，于是得 （2），由不等式（1）（2）得 。 我们注意到许多不等式就是该不等式的特例。例如，设 都是正数，且 ，那么 。设 都是正数，且 ，那么 。 例6 已知非负实数 满足 ，证明 。 分析：我们想起这样的一道题。已知 为非负实数， ，求 的最大值和最小值。这道题的几何意义是点 在单位圆的一段弧上，求点 纵、横坐标之和的最值。对比我们做过的题和要做的题，发现其本质是一样的，只不过问题由平民推到了空间，过去的圆变成了现在的球因而解法完全类似。 证明：由已知，配方可得 （这表明点 在以 为球心，半径为 的球面上），据幂平均不等式 EMBED Equation.3 ，当且仅当 时取等号。 又 为非负实数，所以 ， ，相加得 ，解此不等式得 ，当且仅当 时等号成立。综上便有 EMBED Equation.3 。 例7 设 ，且 ，求证 （1994年国家数学集训队9人测验试题） 证明：因为 ，所以 ，利用切比雪夫不等式，有 ，也即 。因此 。 说明：排序不等式与切比雪夫不等式有共同之处，它们都有已经排序的两组实数 ； 都涉及到反序和及同序和。不同的是在排序不等式中没有每组数的算术平均，而在切比雪夫不等式中却有 ， 。正因为有共性，因此它们是相通的，又由于有差异，作为数学工具，它们又有不同的功能和作用。在使用时，我们必须把握住问题的结构特点，选择最佳的切入点和突破口。 例8 设 的三内角 所对的边分别为 ，其周长为1，求证： 。 分析：由问题的对称性，不妨设 ，三角形中大边对大角，于是有 （这种形式是题目所需要的）。这样既不改变问题的实质，又增加了已知条件：两组有序实数 ，及 。这就为应用排序原理创设了很好的情境。 证法一：用排序原理。不妨设 ，于是有 EMBED Equation.3 。由排序不等式 （同序和大于或等于反序和），也就是 ，同理 ， ，相加得 ，不等式两边同加 ，并注意到 ，就得 EMBED Equation.3 证法二：比较法 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，因此 EMBED Equation.3 。 说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组。 情景再现 4. 1）设 都是正数，试证 2）设 都是正数，试证 5. 已知 是正数，求证 6. 假设 是正数 的某一排列，证明 7. 设 是三角形的三边长，求证 8. 设 ，求证： 例9 设 为两两不等的正整数，求证：对任何正整数 ，下列不等式成立： （第20届IMO试题） 证法一：用排序原理。对于任意给定的正整数 ，将 按从小到大顺序排列为 。因为 ，据排序原理得 ，即 。又因为 为两两不等的正整数，所以 （ ），于是 ，故 。 证法二：用平均值不等式。据平均值不等式的变形形式 ，取 ， ，有 ，这样便有 ，而 ，故 。 证法三：用柯西不等式。据柯西不等式有 ，两边约去正因式 即得。 说明：这题证法很多，除了上述的证法之外还可用比较法、放缩法、增量法、构造法、数学归纳法来证得，读者不妨一试。 例10 W.Janous猜测：设 ，则 证法一：用排序原理。考察两组实数 及 ，由对称性，不妨设 ，由此则得 ， ，由排序原理 （顺序和不小于乱序和），移项后得 证法二：代换法。令 ，则得 ，代入后原不等式化为证明 （*），由于 ，即 ，同理可证 ， ，三不等式相加便得 。 链接：由证法一很容易将W.Janous猜测推广：设 （ ），记 ，则 情景再现 9. 设 为正数，求证 10. 已知 都是正数，求证 习题四 A类 1. 设 都是正数（ ），且 ，求证 2. 是给定的正整数（ ），求单位圆的内接 边形面积的最大值。 3. 设 ，满足 ，证明 4. 设 是正数， 是正整数，证明 B类 5. 记 的三边长为 ； ，求证 6. 已知 都非负且 ，求 的最大值。 7. 设 ， ，又 是 的一个排列，求证： （第17届IMO试题） 8. 设 是三角形的边长，求证： （第24届IMO试题） C类 9. 设 与 是任意两组实数，它们满足条件：（1） （2） （3） （ ），为了使不等式 成立，那么数 的最小值是多少？ （1988年理科试验班复试试题） 10. 平面上给定 个不同的点，试证：一定可以画一个圆，使圆内恰有 个点，而其余 个点都在所画的圆外面。 附录 1. 排序不等式：给定两组实数 ； ，如果 ； ，那么 （反序和） （乱序和） （同序和），其中 是 的一个排列。 证明：对于任意 ， ，由此得 。所以，我们可将 中的第一项的因数 与 对调，和不会减少，同样可将第二项调为 …，依次类推即得 EMBED Equation.3 ，同样可以证明 。排序不等式的证明反映了调整的思想，通过调整产生变化并逐渐接近结论同排序不等式可以证明好些其他的重要不等式，例如切比雪夫不等式、平均不等式、柯西不等式。 2. 切比雪夫不等式：设有两个有序数组 ； ，则 证明：由排序原理有 ， ， ，相加 ，即 ，同样可证 3. 琴生不等式：若 是上凸函数，则对其定义域中的任意 个点 ，恒有 证明：用数学归纳法。 时，不等式显然成立。 时，由上凸函数的定义不等式 成立。假设 时命题正确，即 。当 时， EMBED Equation.3 。这就是说当 时，不等式也成立。因此当 时不等式总成立。 接下来我们再证明当 时（ ）如果不等式成立，那么当 时不等式也一定成立。 设 ，令 代入得 ，也就是 EMBED Equation.3 ，整理便得 ，这就是说当 时不等式也一定成立。当 时不等式成立（大踏步前进），然后又证明了 时成立，必导致 时成立（将前面空档回填），因此对任意正整数不等式都成立。 本节情景再现解答 1. ，由幂平均不等式 ，而 ，因此有 。此式说明函数 在 上是上凸函数。据琴生不等式 ，最大值为 2. 设 为任意实数， ， ，因此 ，故 为下凸函数。 时同理可证为上凸函数。 3. 容易知道 为正实数集上的上凸函数， 为任意正实数。据琴生不等式 ，去对数即得 ，当 时取等号。 4. 1）参考例5中2），有 ，又 ，代入即得所证。 2）与1）证法相同 5. 据幂平均不等式 ，而 ，因此 EMBED Equation.3 ，两边平方后即得。 6. 不妨设 ，则 ，注意到 是 的一个排列，故由排序原理 （反序和） （乱序和），即 7. 不妨设 ，由排序原理先得 ，再得 EMBED Equation.3 以上两不等式相加便得。 8. 序列 与 有相同的次序；与 有相反次序，而 是 的一个排序。所以 ，即 （1）。同样 ，即 （2），（1）+（2）便得所证。本题用平均不等式也可证得。 9. 不妨设 ，则 ， ， 10. 三次用到排序原理。不妨设 ，则 ，故 习题四解答 1. 设 ，由此可得 ，由切比雪夫不等式 ，也就是 2. 如图，容易证明当圆内接 边形的所有顶点都在某一条直径的同侧时， 边形面积不可能取得最大值。设 边形顶点 不在任何一条直径的同侧。令 ， EMBED Equation.3 ， （ ）。 ，由 在 上是上凸函数，据琴生不等式 ， ，当且仅当正 边形时取得最大值。 3. 由已知 ，即 ，再据幂平均不等式得 ，于是有 ，同理可得关于 的同类不等式，五个不等式相加，即得所证。 4. 由于 ,由幂平均不等式 ，得 ，该式表明 在 上是下凸函数。因此有 EMBED Equation.3 5. 注意到 是 上的上凸函数，从而有 ，另外一个不等式两边平方后，成为一个显然成立的式子。 6. （ ）是上凸函数，据琴生不等式 ，因此有 ，对正整数 再求 的最大值。当 时， 的值分别为0，2， ，2。当 时由不等式 可知 。综上所求的最大值当 时应是 。此时 。当 时最大值应是2，此时 7. 由排序原理，得 ，即 ，但 ，所以 ，也就是 8. 考察三组数 ； ；及 ；由对称性不妨设 ，由此则得 ， ，由比较法不难证得 。由排序原理， EMBED Equation.3 ，也就是 ，移项即得 ，对 的其他排序同理可证。 9. 为方便起见，将集合 划分为两个子集： ，这里 且 。 ，这里 且 。容易推得 ， ，现在考察 ，由排序原理得 ，注意到 ，则 。又 ，有 。 （1），又由排序原理 EMBED Equation.3 （2），由（1）（2）得 EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 ，因此 的最小值为 10. 设这 个点为 ，作它们两两连结线段 的垂直平分线 ，在平面上取不在 上的一点 ，则 到 的距离两两不等，不失一般性，可设 1）要使圆内没有点，只要以 为圆心，取半径 画圆即可。 2）要使圆外没有点（点全在圆内或圆上），只要以 为圆心，取半径 画圆即可。 3）要使圆内恰好有 个点（ ）且其他点都在圆外，只要以 为圆心，取半径 画圆即可。 本题虽没有直接援用排序不等式，但证题的关键是排序。 x1 x2 M (1) P Q x1 x2 M (2) P Q O A1 A2 A3 An _1203774105.unknown _1204006118.unknown _1204006174.unknown _1204006188.unknown _1204006236.unknown _1204006322.unknown _1204006352.unknown _1204006398.unknown _1204006420.unknown _1204006503.unknown _1204006536.unknown _1204006627.unknown _1204006650.unknown _1204006686.unknown _1204006712.unknown _1204006847.unknown _1204006871.unknown _1204006886.unknown _1204006988.unknown _1204007063.unknown _1204007067.unknown _1204007297.unknown _1204007401.unknown _1204007410.unknown _1204007426.unknown _1204007445.unknown _1204007490.unknown _1204007583.unknown _1204007632.unknown _1204007659.unknown _1204007698.unknown _1204007716.unknown _1204007741.unknown _1204007778.unknown _1204007848.unknown _1204007935.unknown _1204007974.unknown _1204008022.unknown _1204008110.unknown _1204008116.unknown _1204008129.unknown _1204008150.unknown _1204008207.unknown _1204008267.unknown _1204008322.unknown _1204008363.unknown _1204008390.unknown _1204008418.unknown _1204008459.unknown _1204008520.unknown _1204008546.unknown _1204008561.unknown _1204008651.unknown _1204008679.unknown _1204008699.unknown _1204008716.unknown _1204008733.unknown _1204008739.unknown _1204008796.unknown _1204008804.unknown _1204008816.unknown _1204008836.unknown _1204008907.unknown _1204008924.unknown _1204008962.unknown _1204009021.unknown _1204009071.unknown _1204009104.unknown _1204009141.unknown _1204009191.unknown _1204009201.unknown _1204009257.unknown _1204009277.unknown _1204009348.unknown _1204009369.unknown _1204009396.unknown _1204009412.unknown _1204010780.unknown _1204010901.unknown _1204010951.unknown _1204011105.unknown _1204011128.unknown _1204011161.unknown _1204011220.unknown _1204011320.unknown _1204011337.unknown _1204011366.unknown _1204011378.unknown _1204011405.unknown _1204011449.unknown _1204011590.unknown _1204011646.unknown _1204011876.unknown _1204012003.unknown _1204012023.unknown _1204012074.unknown _1204012150.unknown _1204012169.unknown _1204012190.unknown _1204012253.unknown _1204012287.unknown _1204012375.unknown _1204012421.unknown _1204012423.unknown _1204012443.unknown _1204012522.unknown _1204012539.unknown _1204012570.unknown _1204012604.unknown _1204012627.unknown _1204012794.unknown _1204012857.unknown _1204012871.unknown _1204012911.unknown _1204013063.unknown _1204013073.unknown _1204013093.unknown _1204013155.unknown _1204013196.unknown _1204013236.unknown _1204013342.unknown _1204013347.unknown _1204013417.unknown _1204013445.unknown _1204013465.unknown _1204013530.unknown _1204013546.unknown _1204013592.unknown _1204013655.unknown _1204013707.unknown _1204013860.unknown _1204013861.unknown _1204025054.unknown _1204025072.unknown _1204025204.unknown _1204025220.unknown _1204025244.unknown _1204025281.unknown _1204025338.unknown _1204025378.unknown _1204025389.unknown _1204025476.unknown _1204025599.unknown _1204025674.unknown _1204025724.unknown _1204025767.unknown _1204025826.unknown _1204025891.unknown _1204025918.unknown _1204025970.unknown _1204026027.unknown _1204026049.unknown _1204026198.unknown _1204026372.unknown _1204026424.unknown _1204026437.unknown _1204026631.unknown _1204026639.unknown _1204026697.unknown _1204026767.unknown _1204026804.unknown _1204026822.unknown _1204026907.unknown _1204026925.unknown _1204027064.unknown _1204027100.unknown _1204027161.unknown _1204027245.unknown _1204027313.unknown _1204027350.unknown _1204027366.unknown _1204027396.unknown _1204027533.unknown _1204027557.unknown _1204027574.unknown _1204027611.unknown _1204027694.unknown _1204027736.unknown _1204027771.unknown _1204027952.unknown _1204027962.unknown _1204028021.unknown _1204028138.unknown _1204028155.unknown _1204028258.unknown _1204028275.unknown _1204028308.unknown _1204028335.unknown _1204028384.unknown _1204028489.unknown _1204028630.unknown _1204028670.unknown _1204028740.unknown _1204028796.unknown _1204028833.unknown _1204028864.unknown _1204028900.unknown _1204028942.unknown _1204029000.unknown _1204029011.unknown _1204029059.unknown _1204029230.unknown _1204038887.unknown _1204038947.unknown _1204039045.unknown _1204039057.unknown _1204039090.unknown _1204039147.unknown _1204039165.unknown _1204039184.unknown _1204039329.unknown _1204039364.unknown _1204039406.unknown _1204039477.unknown _1204039492.unknown _1204039581.unknown _1204039591.unknown _1204039631.unknown _1204039647.unknown _1204039743.unknown _1204039750.unknown _1204039778.unknown _1204039899.unknown _1204039936.unknown _1204039992.unknown _1204040022.unknown _1204040042.unknown _1204040053.unknown _1204040076.unknown _1204040167.unknown _1204040282.unknown _1204040309.unknown _1204040348.unknown _1204040397.unknown _1204040469.unknown _1204040548.unknown _1204040856.unknown 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