江苏省南京市2022-2022学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2022-2022学年江苏省南京市高一〔上〕期末数学 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 　一、填空题〔共14小题，每题5分，共70分〕1．假设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，那么A∩B=　　．2．函数f〔x〕=log2〔1﹣x〕的定义域为　　．3．函数f〔x〕=3sin〔3x+〕的最小正周期为　　．4．角α的终边过点P〔﹣5，12〕，那么cosα=　　．5．假设幂函数y=xa〔a∈R〕的图象经过点〔4，2〕，那么a的值为　　．6．假设扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，那么扇形的面积为　　cm2．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，那么实数k的值为　　．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　　．9．假设a=log32，b=20.3，c=log2，那么a，b，c的大小关系用“＜〞表示为　　．10．函数f〔x〕=2x+a•2﹣x是偶函数，那么a的值为　　_．11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，假设•=﹣2，那么•的值为　　12．函数f〔x〕对任意实数x∈R，f〔x+2〕=f〔x〕恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f〔x〕=2x+a，假设点P是该函数图象上一点，那么实数a的值为　　．13．设函数f〔x〕=﹣3x2+2，那么使得f〔1〕＞f〔log3x〕成立的x取值范围为　　．14．函数f〔x〕=，其中m＞0，假设对任意实数x，都有f〔x〕＜f〔x+1〕成立，那么实数m的取值范围为　　．　二、解答题〔共6题，90分〕15．=2．〔1〕求tanα；〔2〕求cos〔﹣α〕•cos〔﹣π+α〕的值．16．向量=〔﹣2，1〕，=〔3，﹣4〕．〔1〕求〔+〕•〔2﹣〕的值；〔2〕求向量与+的夹角．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米〔a＞2〕的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米〔0＜x≤1〕的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V〔x〕表示铁盒的容积．〔1〕试写出V〔x〕的解析式；〔2〕记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，ω＞0，|φ|＜〕的最下正周期为π，且点P〔，2〕是该函数图象的一个人最高点．〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设x∈[﹣，0]，求函数y=f〔x〕的值域；〔3〕把函数y=f〔x〕的图线向右平移θ〔0＜θ＜〕个单位，得到函数y=g〔x〕在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．如图，在△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°．〔1〕求||；〔2〕点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？假设存在，求出的λ值；假设不存在，请说明理由．20．函数f〔x〕=x﹣a，g〔x〕=a|x|，a∈R．〔1〕设F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕．①假设a=，求函数y=F〔x〕的零点；②假设函数y=F〔x〕存在零点，求a的取值范围．〔2〕设h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，x∈[﹣2，2]，假设对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h〔x1〕﹣h〔x2〕|≤6恒成立，试求a的取值范围．　2022-2022学年江苏省南京市高一〔上〕期末数学试卷参考 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解析　一、填空题〔共14小题，每题5分，共70分〕1．假设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，那么A∩B=　{0，1，2}　．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．　2．函数f〔x〕=log2〔1﹣x〕的定义域为　{x|x＜1}　．【考点】对数函数的定义域．【分析】要使函数f〔x〕=log2〔1﹣x〕有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f〔x〕=log2〔1﹣x〕有意义那么1﹣x＞0即x＜1∴函数f〔x〕=log2〔1﹣x〕的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}　3．函数f〔x〕=3sin〔3x+〕的最小正周期为　　．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，得出结论．【解答】解：函数f〔x〕=3sin〔3x+〕的最小正周期为，故答案为：．　4．角α的终边过点P〔﹣5，12〕，那么cosα=　　．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P〔﹣5，12〕到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P〔﹣5，12〕到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．　5．假设幂函数y=xa〔a∈R〕的图象经过点〔4，2〕，那么a的值为　　．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=xa的图象过点〔4，2〕，代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=xa〔a∈R〕的图象经过点〔4，2〕，所以4a=2，解得a=．故答案为：．　6．假设扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，那么扇形的面积为　9　cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．　7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，那么实数k的值为　﹣　．【考点】平行向量与共线向量．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，那么存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．　8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　5　．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在〔π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．　9．假设a=log32，b=20.3，c=log2，那么a，b，c的大小关系用“＜〞表示为　c＜a＜b　．【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈〔0，1〕，b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．　10．函数f〔x〕=2x+a•2﹣x是偶函数，那么a的值为　1　_．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即f〔﹣x〕=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，那么〔2﹣x﹣2x〕=a〔2﹣x﹣2x〕，即a=1，故答案为：1　11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，假设•=﹣2，那么•的值为　3　【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，那么：E〔a，2a〕，B〔2a，0〕，D〔0，2a〕可得：=〔a，2a〕，=〔2a，﹣2a〕．假设•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=〔﹣1，2〕，=〔1，2〕，那么•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．　12．函数f〔x〕对任意实数x∈R，f〔x+2〕=f〔x〕恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f〔x〕=2x+a，假设点P是该函数图象上一点，那么实数a的值为　2　．【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f〔x〕对任意实数x∈R，f〔x+2〕=f〔x〕恒成立，可得函数的周期为：2，f=f〔1〕．且当x∈[﹣1，1]时，f〔x〕=2x+a，点P是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．　13．设函数f〔x〕=﹣3x2+2，那么使得f〔1〕＞f〔log3x〕成立的x取值范围为　0＜x＜3或x＞3　．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f〔﹣x〕=f〔x〕，函数是偶函数，x＞0递减，f〔1〕＞f〔log3x〕，1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f〔﹣x〕=f〔x〕，函数是偶函数，x＞0递减∵f〔1〕＞f〔log3x〕∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f〔1〕＞f〔log3x〕成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．　14．函数f〔x〕=，其中m＞0，假设对任意实数x，都有f〔x〕＜f〔x+1〕成立，那么实数m的取值范围为　〔0，〕　．【考点】分段函数的应用．【分析】由f〔x〕的解析式，可得f〔x+1〕的解析式，画出f〔x〕的图象，向左平移一个单位可得f〔x+1〕的图象，由x≤﹣m，f〔x〕的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f〔x〕=，其中m＞0，可得f〔x+1〕=，作出y=f〔x〕的简图，向左平移1个单位，可得y=f〔x+1〕，由对任意实数x，都有f〔x〕＜f〔x+1〕成立，只要f〔x〕的图象恒在f〔x+1〕的图象上，由x≤﹣m，f〔x〕的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：〔0，〕．　二、解答题〔共6题，90分〕15．=2．〔1〕求tanα；〔2〕求cos〔﹣α〕•cos〔﹣π+α〕的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】〔1〕直接利用同角三角函数的根本关系，求得tanα的值．〔2〕利用同角三角函数的根本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：〔1〕∵=2=，∴tanα=5．〔2〕cos〔﹣α〕•cos〔﹣π+α〕=sinα•〔﹣cosα〕===﹣．　16．向量=〔﹣2，1〕，=〔3，﹣4〕．〔1〕求〔+〕•〔2﹣〕的值；〔2〕求向量与+的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】〔1〕利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法那么求解即可．〔2〕利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：〔1〕向量=〔﹣2，1〕，=〔3，﹣4〕．〔+〕=〔1，﹣3〕，〔2﹣〕=〔﹣7，6〕．所以〔+〕•〔2﹣〕=﹣7﹣18=﹣25．〔2〕+=〔1，﹣3〕，cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．　17．如图，在一张长为2a米，宽为a米〔a＞2〕的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米〔0＜x≤1〕的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V〔x〕表示铁盒的容积．〔1〕试写出V〔x〕的解析式；〔2〕记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】〔1〕利用小反弹的体积公式，写出V〔x〕的解析式；〔2〕记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：〔1〕由题意，V〔x〕=〔2a﹣2x〕〔a﹣2x〕x〔0＜x≤1〕；〔2〕y==〔2a﹣2x〕〔a﹣2x〕=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2〔a﹣1〕〔a﹣2〕．　18．函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，ω＞0，|φ|＜〕的最下正周期为π，且点P〔，2〕是该函数图象的一个人最高点．〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设x∈[﹣，0]，求函数y=f〔x〕的值域；〔3〕把函数y=f〔x〕的图线向右平移θ〔0＜θ＜〕个单位，得到函数y=g〔x〕在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】〔1〕由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．〔2〕由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．〔3〕利用三角函数平移变换规律可求g〔x〕=2sin〔2x﹣2θ+〕，利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：〔1〕∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M〔，2〕，可得2sin〔2×+φ〕=2，结合|φ|＜，可得ω=，∴f〔x〕=2sin〔2x+〕．〔2〕∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin〔2x+〕∈[﹣1，]，可得：f〔x〕=2sin〔2x+〕∈[﹣2，1]．〔3〕把函数y=f〔x〕的图线向右平移θ〔0＜θ＜〕个单位，得到函数y=g〔x〕=2sin[2〔x﹣θ〕+]=2sin〔2x﹣2θ+〕，∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g〔x〕在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．　19．如图，在△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°．〔1〕求||；〔2〕点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？假设存在，求出的λ值；假设不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】〔1〕利用余弦定理求出AB的长即得||；〔2〕①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：〔1〕△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；〔2〕①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=〔+〕，∴•=〔+〕•〔+〕=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ〔﹣〕，∴=+=+λ〔﹣〕=λ+〔1﹣λ〕；又=λ，∴=+=〔﹣〕+λ〔﹣〕=〔1﹣λ〕﹣；∴•=λ〔1﹣λ〕﹣λ•+〔1﹣λ〕2•﹣〔1﹣λ〕=4λ〔1﹣λ〕﹣λ+〔1﹣λ〕2﹣〔1﹣λ〕=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0〔不合题意，舍去〕；即存在非零实数λ=，使得⊥．　20．函数f〔x〕=x﹣a，g〔x〕=a|x|，a∈R．〔1〕设F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕．①假设a=，求函数y=F〔x〕的零点；②假设函数y=F〔x〕存在零点，求a的取值范围．〔2〕设h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，x∈[﹣2，2]，假设对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h〔x1〕﹣h〔x2〕|≤6恒成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】〔1〕设F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕．①假设a=，由F〔x〕=0，即可求得F〔x〕的零点；②假设函数y=F〔x〕存在零点，那么x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一局部；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．〔2〕h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h〔x1〕﹣h〔x2〕|≤6恒成立⇔h〔x1〕max﹣h〔x2〕min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：〔1〕F〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=x﹣a﹣a|x|，①假设a=，那么由F〔x〕=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=〔舍去〕；综上可知，a=时，函数y=F〔x〕的零点为1；②假设函数y=F〔x〕存在零点，那么x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F〔x〕存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F〔x〕存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点〔0，0〕，函数y=F〔x〕存在零点；综上所述，a的取值范围为〔﹣1，1〕．〔2〕∵h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h〔x〕=〔1﹣a〕x﹣a；当0≤x≤2时，h〔x〕=〔1+a〕x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h〔x1〕﹣h〔x2〕|≤6恒成立，那么h〔x1〕max﹣h〔x2〕min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h〔x〕=〔1﹣a〕x﹣a在区间[﹣2，0〕上单调递增；h〔x〕=〔1+a〕x﹣a在区间[0，2]上单调递减〔当a=﹣1时，h〔x〕=﹣a〕；∴h〔x〕max=h〔0〕=﹣a，又h〔﹣2〕=a﹣2，h〔2〕=2+a，∴h〔x2〕min=h〔﹣2〕=a﹣2，∴﹣a﹣〔a﹣2〕=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h〔x〕=〔1﹣a〕x﹣a在区间[﹣2，0〕上单调递增，且h〔x〕=〔1+a〕x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h〔x〕max=h〔2〕=2+a，h〔x2〕min=h〔﹣2〕=a﹣2，由a+2﹣〔a﹣2〕=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h〔x〕=〔1﹣a〕x﹣a在区间[﹣2，0〕上单调递减〔当a=1时，h〔x〕=﹣a〕，h〔x〕=〔1+a〕x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h〔x〕min=h〔0〕=﹣a；又h〔2〕=2+a＞a﹣2=h〔﹣2〕，∴h〔x〕max=h〔2〕=2+a，∴2+a﹣〔﹣a〕=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．　2022年2月21日