2020成都市高三年级二诊数学（理科）试卷含答案

数学(理科)“二诊”考试题参考答案　第１　　　　页(共５页)成都市２０１７级高中毕业班第二次诊断性检测数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷　(选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．C;２．A;３．B;４．D;５．C;６．B;７．B;８．C;９．A;１０．B;１１．D;１２．C．第Ⅱ卷　(非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分)１３．６;　　１４．３２;　　１５．３６;　　１６．０．三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)设数列an{}的公比为q．由题意及a１＝１,知q＞１．∵２a２,３２a３,a４成等差数列,∴３a３＝a４＋２a２．∴３q２＝q３＋２q,即q２－３q＋２＝０．􀆺􀆺２分解得q＝２或q＝１(舍去)．􀆺􀆺４分∴q＝２．􀆺􀆺５分∴数列an{}的通项公式为an＝２n－１．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵bn＝１log２an＋１􀅰log２an＋３＝１n(n＋２)＝１２(１n－１n＋２),􀆺􀆺８分∴Sn＝１２[(１－１３)＋(１２－１４)＋(１３－１５)＋􀆺＋(１n－１－１n＋１)＋(１n－１n＋２)]＝１２(３２－１n＋１－１n＋２)＝３４－１２(１n＋１＋１n＋２)􀆺􀆺１１分＝３４－２n＋３２(n＋１)(n＋２)．􀆺􀆺１２分１８．解:(Ⅰ)∵ABCD为正方形,∴AC⊥BD．􀆺􀆺１分∵PO⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PO⊥AC．􀆺􀆺２分∵OP,BD⊂平面PBD,且OP∩BD＝O,∴AC⊥平面PBD．􀆺􀆺４分又AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD．􀆺􀆺５分(Ⅱ)取AB的中点M,连结OM,OE．∵ABCD是正方形,易知OM,OE,OP两两垂直．分别以OM,OE,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．􀆺􀆺６分数学(理科)“二诊”考试题参考答案　第２　　　　页(共５页)在Rt△POE中,∵OE＝２,PE＝３,∴PO＝５．∴B(２,２,０),D(－２,－２,０),P(０,０,５),E(０,２,０)．设平面PBE的一个法向量m＝(x１,y１,z１),BE→＝(－２,０,０),PE→＝(０,２,－５)．由m􀅰BE→＝０m􀅰PE→＝０{,得x１＝０２y１－５z１＝０{．取m＝(０,５,２)．􀆺􀆺９分设平面PDE的一个法向量n＝(x２,y２,z２),DE→＝(２,４,０),PE→＝(０,２,－５)．由n􀅰DE→＝０n􀅰PE→＝０{,得２x２＋４y２＝０２y２－５z２＝０{．取n＝(－２５,５,２)．􀆺􀆺１０分∴cos‹m,n›＝m􀅰nmn＝９３２９＝３２９２９．􀆺􀆺１１分∵二面角D－PE－B为钝二面角,∴二面角D－PE－B的余弦值为－３２９２９．􀆺􀆺１２分１９．解:(Ⅰ)根据表中数据,计算可得x－＝４,y－＝４３,∑７i＝１(xi－x－)(yi－y－)＝１４０．􀆺􀆺３分又∑７i＝１(xi－x－)２＝２８,∴^b＝∑７i＝１(xi－x－)(yi－y－)∑７i＝１(xi－x－)２＝５．􀆺􀆺５分∵a^＝y－－b^x－,∴a^＝４３－５×４＝２３．􀆺􀆺６分∴y关于x的线性回归方程为y^＝５x＋２３．􀆺􀆺７分将x＝８代入,∴y^＝５×８＋２３＝６３(亿元)．∴该公司２０２０年的年利润的预测值为６３亿元．􀆺􀆺８分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知２０１３年至２０２０年的年利润的估计值分别为２８,３３,３８,４３,４８,５３,５８,６３(单位:亿元)．其中实际利润大于相应估计值的有３年．故这８年中被评为A级利润年的有３年,评为B级利润年的有５年．􀆺􀆺１０分记“从２０１３年至２０２０年这８年的年利润中随机抽取２年,恰有１年为A级利润年”的概率为P．∴P＝C１５C１３C２８＝１５２８．􀆺􀆺１２分２０．解:(Ⅰ)∵点P在椭圆上,∴PF１＋PF２＝２a．∵PF１＝３PF２,∴PF２＝a２,PF１＝３a２．􀆺􀆺２分∵PF２⊥F１F２,∴PF２２＋F１F２２＝PF１２,又F１F２＝２,∴a２＝２．􀆺􀆺３分数学(理科)“二诊”考试题参考答案　第３　　　　页(共５页)∵c＝１,b２＝a２－c２．∴b２＝１．∴椭圆E的标准方程为x２２＋y２＝１．􀆺􀆺４分(Ⅱ)设A(x１,y１),B(x２,y２)．联立x＝my＋１x２＋２y２＝２{,消去x,得(m２＋２)y２＋２my－１＝０．∴Δ＝８m２＋８＞０,y１＋y２＝－２mm２＋２,y１y２＝－１m２＋２．􀆺􀆺６分∴AB＝１＋m２y１－y２＝２２(m２＋１)m２＋２．􀆺􀆺７分设圆x２＋y２＝２的圆心O到直线l的距离为d,则d＝１m２＋１．∴CD＝２２－d２＝２２m２＋１m２＋１．􀆺􀆺８分∴AB􀅰CD２＝４􀅰２m２＋１m２＋１􀅰２２(m２＋１)m２＋２＝８２(２m２＋１)m２＋２＝８２(２－３m２＋２)．􀆺􀆺１０分∵０＜３m２＋２≤３２,∴１２≤２－３m２＋２＜２．􀆺􀆺１１分∴４２≤AB􀅰CD２＜１６２．∴AB􀅰CD２的取值范围为[４２,１６２)．􀆺􀆺１２分２１．解:(Ⅰ)当m＞０时,f′(x)＝２x＋２－mx＋１＝２(x＋１)２－mx＋１,x＞－１．􀆺􀆺１分令f′(x)＝０,解得x１＝－２m２－１(舍去),x２＝２m２－１．􀆺􀆺２分当x∈(－１,２m２－１)时,f′(x)＜０．∴f(x)在(－１,２m２－１)上单调递减;当x∈(２m２－１,＋∞)时,f′(x)＞０．∴f(x)在(２m２－１,＋∞)上单调递增．∴f(x)的单调递减区间为(－１,２m２－１),单调递增区间为(２m２－１,＋∞)．􀆺􀆺４分(Ⅱ)由题意,可知x２＋２x－mln(x＋１)＞１x＋１－１ex在(０,＋∞)上恒成立．(i)若m≤０,∵ln(x＋１)＞０,∴－mln(x＋１)≥０．∴x２＋２x－mln(x＋１)－１x＋１＋１ex≥x２＋２x－１x＋１＋１ex．构造函数G(x)＝x２＋２x－１x＋１＋１ex,x＞０．则G′(x)＝２x＋２＋１(x＋１)２－１ex．数学(理科)“二诊”考试题参考答案　第４　　　　页(共５页)∵x＞０,∴０＜１ex＜１,∴－１＜－１ex＜０．又∵２x＋２＋１(x＋１)２＞２x＋２＞２,∴G′(x)＞０在(０,＋∞)上恒成立．∴G(x)在(０,＋∞)上单调递增．∴G(x)＞G(０)＝０．∴当m≤０时,x２＋２x－mln(x＋１)－１x＋１＋１ex＞０在(０,＋∞)上恒成立．􀆺􀆺６分(ii)若m＞０,构造函数H(x)＝ex－x－１,x＞０．∵H′(x)＝ex－１＞０,∴H(x)在(０,＋∞)上单调递增．∴H(x)＞H(０)＝０恒成立,即ex＞x＋１＞０．∴１x＋１＞１ex,即１x＋１－１ex＞０．􀆺􀆺７分由题意,知f(x)＞１x＋１－１ex在(０,＋∞)上恒成立．∴f(x)＝x２＋２x－mln(x＋１)＞０在(０,＋∞)上恒成立．由(Ⅰ),可知f(x)最小值＝f(x)极小值＝f(２m２－１)．又∵f(０)＝０,当２m２－１＞０,即m＞２时,f(x)在(０,２m２－１)上单调递减,f(２m２－１)＜f(０)＝０,不合题意．∴２m２－１≤０,即０＜m≤２．􀆺􀆺９分此时g(x)－１x＋１＝x２＋２x－mln(x＋１)＋１ex－１x＋１≥x２＋２x－２ln(x＋１)＋１ex－１x＋１．构造函数P(x)＝x２＋２x－２ln(x＋１)＋１ex－１x＋１,x＞０．∴P′(x)＝２x＋２－２x＋１－１ex＋１(x＋１)２．􀆺􀆺１０分∵－１ex＞－１x＋１,x＋１＞１,∴P′(x)＞２x＋２－３x＋１＋１(x＋１)２＝２(x＋１)３－３(x＋１)＋１(x＋１)２＞２(x＋１)２－３(x＋１)＋１(x＋１)２＝x(２x＋１)(x＋１)２＞０．∴P′(x)＞０恒成立．∴P(x)在(０,＋∞)上单调递增．∴P(x)＞P(０)＝０恒成立．综上,实数m的最大值为２．􀆺􀆺１２分数学(理科)“二诊”考试题参考答案　第５　　　　页(共５页)２２．解:(Ⅰ)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,可得直线l的直角坐标方程为x－y－１＝０．􀆺􀆺２分由曲线C的参数方程,消去参数m,可得曲线C的普通方程为y２＝４x．􀆺􀆺４分(Ⅱ)易知点P(２,１)在直线l上,直线l的参数方程为x＝２＋２２t,y＝１＋２２tìîíïïïïïï(t为参数)．􀆺􀆺６分将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,并整理得t２－２２t－１４＝０．􀆺􀆺(∗)设t１,t２是方程(∗)的两根,则有t１＋t２＝２２,t１t２＝－１４．􀆺􀆺７分∴１PM＋１PN＝１t１＋１t２＝t１＋t２t１t２＝t１－t２t１t２＝(t１＋t２)２－４t１t２t１t２　＝(２２)２＋４×１４１４＝４７．􀆺􀆺１０分２３．解:(Ⅰ)原不等式即x－１＋x＋３≥６．①当x≥１时,化简得２x＋２≥６．解得x≥２;②当－３＜x＜１时,化简得４≥６．此时无解;③当x≤－３时,化简得－２x－２≥６．解得x≤－４．综上,原不等式的解集为(－∞,－４]∪[２,＋∞)􀆺􀆺４分(Ⅱ)由题意f(x)＝２x＋２,x≥１４,０＜x＜１{．设方程f(x)＝g(x)两根为x１,x２(x１＜x２)．①当x２＞x１≥１时,方程－x２＋２ax＝２x＋２等价于方程２a＝x＋２x＋２．易知当a∈(２＋１,５２],方程２a＝x＋２x＋２在(１,＋∞)上有两个不相等的实数根．此时方程－x２＋２ax＝４在(０,１)上无解．∴a∈(２＋１,５２]满足条件．􀆺􀆺６分②当０＜x１＜x２＜１时,方程－x２＋２ax＝４等价于方程２a＝x＋４x．此时方程２a＝x＋４x在(０,１)上显然没有两个不相等的实数根．􀆺􀆺７分③当０＜x１＜１≤x２时,易知当a∈(５２,＋∞),方程２a＝x＋４x在(０,１)上有且只有一个实数根．此时方程－x２＋２ax＝２x＋２在[１,＋∞)上也有一个实数根．∴a∈(５２,＋∞)满足条件．􀆺􀆺９分综上,实数a的取值范围为(２＋１,＋∞)．􀆺􀆺１０分 数学（理）-试卷_001.pdf 数学（理）-试卷_002.pdf 2017级高三二诊数学(理)答案.pdf