第二章 函数１９ §２．４ 指数函数与对数函数对应学生用书起始页码Ｐ２７考点一指数与指数函数高频考点 １．指数有关的公式与性质根式的性质ｎａｎ＝ａ，ｎ为奇数，｜ａ｜＝ａ（ａ≥０），－ａ（ａ＜０）{ｎ为偶数；{（ｎａ）ｎ＝ａ（注意ａ必须使ｎａ有意义）有理数指数幂（１）正数的正分数指数幂：ａｍｎ＝ｎａｍ（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｎ∗，ｎ＞１）．（２）正数的负分数指数幂：ａ－ｍｎ＝１ａｍｎ＝１ｎａｍ（ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｎ∗，ｎ＞１）．（３）０的正分数指数幂是０，０的负分数指数幂无意义有理数指数幂的运算性质（１）ａｒａｓ＝ａｒ＋ｓ（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ）．（２）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ（ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ）．（３）（ａｂ）ｒ＝ａｒｂｒ（ａ＞０，ｂ＞０，ｒ∈Ｑ） ２．指数函数的图象与性质ａ＞１０＜ａ＜１图象定义域Ｒ值域（０，＋∞）性质过定点（０，１）当ｘ＞０时，ｙ＞１；当ｘ＜０时，０＜ｙ＜１当ｘ＞０时，０＜ｙ＜１；当ｘ＜０时，ｙ＞１在（－∞，＋∞）上是单调增函数在（－∞，＋∞）上是单调减函数考点二对数与对数函数高频考点 １．对数重要公式与运算性质对数的概念一般地，如果ａｘ＝Ｎ（ａ＞０且ａ≠１），那么数ｘ叫做以ａ为底Ｎ的对数，记作ｘ＝ｌｏｇａＮ，其中ａ叫做对数的底数，Ｎ叫做真数积、商、幂的对数（１）ｌｏｇａ（Ｍ·Ｎ）＝ｌｏｇａＭ＋ｌｏｇａＮ；（２）ｌｏｇａＭＮ＝ｌｏｇａＭ－ｌｏｇａＮ；（３）ｌｏｇａＭｎ＝ｎｌｏｇａＭ（ｎ∈Ｒ）（Ｍ、Ｎ都是正数，ａ＞０且ａ≠１）对数的换底公式ｌｏｇａＮ＝ｌｏｇｃＮｌｏｇｃａ（其中ａ＞０，且ａ≠１，Ｎ＞０，ｃ＞０且ｃ≠１）；ｌｏｇａｎｂｍ＝ｍｎｌｏｇａｂ（ａ＞０，且ａ≠１，ｍ，ｎ∈Ｒ，ｎ≠０）对数的重要公式ａｌｏｇａＮ＝Ｎ；ｌｏｇａａＮ＝Ｎ（ａ＞０且ａ≠１，Ｎ＞０） ２．对数函数的图象与性质ａ＞１０＜ａ＜１图象性质定义域：（０，＋∞）值域：Ｒ过点（１，０），即ｘ＝１时，ｙ＝０当ｘ＞１时，ｙ＞０；当０＜ｘ＜１时，ｙ＜０当ｘ＞１时，ｙ＜０；当０＜ｘ＜１时，ｙ＞０在（０，＋∞）上是增函数在（０，＋∞）上是减函数对应学生用书起始页码Ｐ２７指数式、对数式的大小比较 １．指数式的大小比较问题可以归纳为以下三类：（１）底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．（２）底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数ａ对指数函数图象的影响，在ｙ轴右侧，从ｘ轴开始由下往上观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．（３）底数不同、指数也不同：采用介值法（中间量法）．２．对数式的大小比较问题可归纳为以下三类：（１）比较同底数的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性．（２）比较不同底数的两个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数式，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一平面直角坐标系内利用对数函数图象的位置关系比较大小．（３）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量（如１，０，－１等）．２０ ５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）（２０１７课标全国Ⅰ理改编，１１，５分）设ｘ，ｙ，ｚ为正数，且２ｘ＝３ｙ＝５ｚ，则２ｘ，３ｙ，５ｚ的大小关系为 （用“＜”连接）．解析 解法一（特值法）：令ｘ＝１，则由已知条件可得３ｙ＝２，５ｚ＝２，所以ｙ＝ｌｎ２ｌｎ３，ｚ＝ｌｎ２ｌｎ５，从而３ｙ＝３ｌｎ２ｌｎ３＝ｌｎ２３ｌｎ３＜ｌｎ９ｌｎ３＝２，５ｚ＝５ｌｎ２ｌｎ５＝ｌｎ２５ｌｎ５＞２，则３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．解法二（数形结合法）：由２ｘ＝３ｙ＝５ｚ，可设（２）２ｘ＝（３３）３ｙ＝（５５）５ｚ＝ｔ．因为ｘ，ｙ，ｚ为正数，所以ｔ＞１．因为２＝６２３＝６８，３３＝６３２＝６９，所以２＜３３．因为２＝１０２５＝１０３２，５５＝１０２５，所以２＞５５，所以５５＜２＜３３．分别作出ｙ＝（２）ｘ，ｙ＝（３３）ｘ，ｙ＝（５５）ｘ的图象，如图．则３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．解法三（作商法）：由２ｘ＝３ｙ＝５ｚ，同时取自然对数，得ｘｌｎ２＝ｙｌｎ３＝ｚｌｎ５．由２ｘ３ｙ＝２ｌｎ３３ｌｎ２＝ｌｎ９ｌｎ８＞１，可得２ｘ＞３ｙ；由２ｘ５ｚ＝２ｌｎ５５ｌｎ２＝ｌｎ２５ｌｎ３２＜１，可得２ｘ＜５ｚ，所以３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．解法四（构造函数法）：设２ｘ＝３ｙ＝５ｚ＝ｋ，则ｘ＝ｌｎｋｌｎ２，ｙ＝ｌｎｋｌｎ３，ｚ＝ｌｎｋｌｎ５，从而２ｘ＝２ｌｎｋｌｎ２，３ｙ＝３ｌｎｋｌｎ３，５ｚ＝５ｌｎｋｌｎ５．由于ｘ，ｙ，ｚ为正数，故ｋ＞１，从而只需比较２ｌｎ２，３ｌｎ３，５ｌｎ５的大小，构造函数ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ（ｘ＞０且ｘ≠１），则ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ－１（ｌｎｘ）２，当ｘ∈（０，１）∪（１，ｅ）时，ｆ′（ｘ）＜０；当ｘ∈（ｅ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，所以ｆ（ｘ）在（０，１），（１，ｅ）单调递减，在（ｅ，＋∞）单调递增．又ｅ＜３＜４＜５，所以３ｌｎ３＜４ｌｎ４＜５ｌｎ５．因为４ｌｎ４＝２ｌｎ２，所以３ｌｎ３＜２ｌｎ２＜５ｌｎ５，则３ｙ＜２ｘ＜５ｚ．答案 ３ｙ＜２ｘ＜５ｚ方法
总结
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指数式比较大小．指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同次指数式的形式．若化为同底指数式，直接利用指数函数的单调性比较大小即可；若化为同次指数式，一般要作出不同底的指数函数图象来比较． １－１ ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋且２ａ＝３ｂ＝６ｃ，记ｘ＝２ａ，ｙ＝３ｂ，ｚ＝６ｃ，则ｘ，ｙ，ｚ的大小关系为 ．１－１答案 ｙ＜ｘ＜ｚ解析 设２ａ＝３ｂ＝６ｃ＝ｋ，∵ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，∴ｋ＞１，则ａ＝ｌｇｋｌｇ２，ｂ＝ｌｇｋｌｇ３，ｃ＝ｌｇｋｌｇ６．∴ｘ＝２ａ＝ｌｇｋｌｇ２，ｙ＝３ｂ＝ｌｇｋｌｇ３３，ｚ＝６ｃ＝ｌｇｋｌｇ６６．∵０＜ｌｇ６６＜ｌｇ２＝ｌｇ６８＜ｌｇ６９＝ｌｇ３３，∴ｙ＜ｘ＜ｚ． １－２ 函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｂｘ＋ｃ满足ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（１－ｘ），且ｆ（０）＝３，则ｆ（ｂｘ）与ｆ（ｃｘ）的大小关系是 ．１－２答案 ｆ（ｂｘ）≤ｆ（ｃｘ）解析 由ｆ（ｘ＋１）＝ｆ（１－ｘ）知：函数ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝１对称，∴ｂ＝２；由ｆ（０）＝３知：ｃ＝３．∴ｆ（ｂｘ）＝ｆ（２ｘ），ｆ（ｃｘ）＝ｆ（３ｘ）．当ｘ＞０时，３ｘ＞２ｘ＞１，结合函数ｆ（ｘ）在［１，＋∞）上单调递增，知ｆ（３ｘ）＞ｆ（２ｘ），即ｆ（ｂｘ）＜ｆ（ｃｘ）；当ｘ＝０时，３ｘ＝２ｘ＝１，∴ｆ（３ｘ）＝ｆ（２ｘ），即ｆ（ｂｘ）＝ｆ（ｃｘ）；当ｘ＜０时，３ｘ＜２ｘ＜１，结合函数ｆ（ｘ）在（－∞，１）上单调递减，知ｆ（３ｘ）＞ｆ（２ｘ），即ｆ（ｂｘ）＜ｆ（ｃｘ）．综上知：ｆ（ｂｘ）≤ｆ（ｃｘ）．
浙公网安备 33021202002483