微分积分公式大全

考无忧论坛-----考霸整理版 高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ） 一、 0 01 0 1 1 0 1 lim 0 n n n m mx m a n m b a x a x a n m b x b x b n m − −→∞ ⎧ =⎪⎪+ + + ⎪= ⎨+ + + ⎪ < ∞ >⎪⎪⎩ " " （系数不为 0 的情况） 二、重要公式（1） 0 sinlim 1 x x x→ = （2） ( )1 0 lim 1 x x x e→ + = （3）lim ( ) 1nn a a o→∞ > = （4） lim 1n n n→∞ = （5） lim arctan 2x x π →∞ = （6） lim tan 2x arc x π →−∞ = − lim arccot 0 x x→∞ = （8） lim arc cotx x π→−∞ = （7） （9） （10） （11） lim 0x x e→−∞ = lim x x e→+∞ = ∞ 0lim 1 x x x+→ = 下列常用等价无穷小关系（ 0x→ ） 三、 2 11 cos 2 x x− ∼sin x x∼ arcsin x x∼ tan x x∼ arctan x x∼ ( )ln 1 x x+ ∼ 1∼ 1 ln a− ∼ ( )1 1xe x− xa x x x∂+ − ∂∼ 、导数的四则运算法则 四 ( )u v u v′ ′ ′± = ± ( )uv u v uv′ ′ ′= + 2u u v uv v ′ v′ ′−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 五、基本导数公式 ⑵⑴ ( ) 0c ′ = 1x xμ μμ −= ⑶ ( )sin cosx x′ = ⑷ ( sin)cos x= − ⑸ ( 2ec′ tan s)′ = x ⑹ ( ) 2x x cot cscx x′ = − ⑺ ( ) ansec sec tx x′ = ⋅ csc cotx ⑻ (csc ) x x′ = − ⋅ x ( ) 1ln x x ′ = ⑼ ( )x xe e′ = ⑾ ⑽ ( ) lnx xa a a′ = 考无忧论坛-----考霸整理版 ⑿ ( ) 1log lnxa x a ⒀ (′ = ) 21 1arcsin x x ( ) 2 1arcco′ = ⒁− 1xs x ′ = − − ( ) 1 2 x x ′ =⒂ ( ) 21arctan 1x x′ = + ⒃ ( ) 2 1arc cot 1 x x ′ = − + ⒄( )x ′ =1 ⒅ 高阶导数的运算法 1） 六、 则 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )n n nu x v x u x v x± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦ （2） ( ) ( ) ( ) ( )n ncu x cu x=⎡ ⎤⎣ ⎦ （ ( ) ( ) ( ) ( )n nnu ax b a u ax b+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦（ ）3 ⎦ ∑ 本初等函数的 n 阶导数公式 1） （4） ⎣ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 nn n kk k n k u x v x c u x v x− = ⋅ =⎡ ⎤ 七、基 ( )( ) !nnx n= （2） ( )( )nax b n ax be a e+ += ⋅ (3) ( )( ) lnnx xa a= （ n a (4) ( ) ( )sin sin 2 n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜⎣ ⎦ ⎟ ⎝ ⎠ (5) ( ) ( )cos cos 2 n nax b a ax b n π⎛ ⎞+ = + + ⋅⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ (6) ( ) ( ) ( ) 1 1 !1 n n n n a n ax b ax b + ⋅⎛ ⎞ = −⎜⎝ ⎠⎟+ + (7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 !ln 1 n n n n a n ax b ax b − ⋅ −+ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ + 八、微分公式与微分运算法则 ⑵ ⑶( ) 0d c = ( ) 1d x x dxμ μμ −= ( )sin cosd x xd= x x ⑹ ⑴ ⑷ ( )cos sind x xdx= − ⑸ ( ) 2tan secd x xd= ( ) 2cot cscd x xd= − x ⑺ x ⑻( )sec sec tand x x xd= ⋅ ( )csc csc cotd x x xd= − ⋅ x ⑼ ⑽ ⑾( )x xd e e dx= ( ) lnx xd a a adx= ( ) 1lnd x dxx= ( ) 1log lnxad dx⑿ x a= ⒀ ( ) 21arcsin 1d x dx= − ⒁ ( ) 2 1arccos 1 d x x = − − x dx ⒂ ( ) 21arctan 1d x dxx= + ⒃ ( ) 2 1arccot 1 d x dx x = − + 九、微分运算法则 ⑴ ⑵( )d u v du dv± = ± ( )d cu cdu= 考无忧论坛-----考霸整理版 ( )d uv vdu udv= + ⑷ 2u vdu udvd v v −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⑶ 十、基本积分公式 ⑴ ⑵kdx kx c= +∫ 1xx dx μ 1 c μ μ + lndx x c x = +∫ = + ⑶+∫ ln x x aa dx c a = +∫⑷ ⑸ x xe dx e c= +∫ ⑹ ∫ cos sinxdx x c= + ⑻ 22 1 sec tan cos dx xdx x c x = = +∫ ∫ ⑺ sin cosxdx x c= − +∫ ⑼ 2 cot2 1 csc sin xdx x 2 1 arctan 1 dx x c x = ++∫cx = =∫ ∫ ⑽− + 2 1 arcsin x⑾ 1 dx c x = +−∫ 、下列常用凑微分公 积分型 换元公式 十一 式 u ax b= + ( ) ( ) (1 )f ax b dx f ax b d ax a + = +∫ b+∫ ( ) ( ) ( )1 1f x x dx f x d xμ μ μμ− =∫ ∫ μ u xμ= ( ) ( ) ( )1ln ln lnf x dx f x d x x ⋅ =∫ ∫ lnu x= ( ) ( ) ( )x x xf e e∫ xdx f e d⋅ = ∫ e xu e= ( ) ( ) ( )1lnx x x xf a a dx f a d aa⋅ =∫ ∫ xu a= ( ) ( ) ( )sin cos sin sinf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x sinu x= ( ) ( ) ( )cos sin cos cosf x xdx f x d⋅ = −∫ ∫ x cosu x= ( ) ( ) ( )2tan sec tan tanf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x tanu x= ( ) ( ) ( )2cot csc cot cotf x xdx f x d⋅ =∫ ∫ x cotu x= ( ) ( ) ( )21arctan arc n arc n1f x dx f ta x d ta xx⋅ =+∫ ∫ arctanu x= ( ) ( ) ( ) 2 1arcsin arcsin arcsin 1 f x dx f x d x ⋅ =−∫ ∫ x arcsinu x= 考无忧论坛-----考霸整理版 十二、补充下面几个积分公式 tan ln cosxdx x c= − +∫ cot ln sinxdx x c= +∫ sec ln sec tanxdx x x c= +∫ + csc ln csc cotxdx x x c= − +∫ 2 2 1 1 arctan xdx c a x a a = ++∫ 2 21 1 ln2 x adx cx a a x a−= +− +∫ 2 2 1 arcsin xdx c aa x = +−∫ 2 22 2 1 lndx x x a c x a = + ± +±∫ 十三、分部积分法公式 ⑴形如 n axx e dx∫ ，令 nu x= ， axdv e dx= sinnx xdx∫ nx ， sindv xdx= 令 =u形如 cosnx xdx∫ cosdv xdx= 令 ，nu x=形如 arctannx xdx∫⑵形如 ，令 ， 形如 arctanu x= ndv x dx= lnnx xdx∫ ，令 ， 形如 ∫ ， ∫ x x均可。 的三角换元公式 lnu x= ndv x dx= ⑶ xdx令 axu e=sinaxe xdx cosaxe ,sin ,cos 十四、第二换元积分法中 2 2a x+ (1) 2a s2x− inx a t= tanx a t= (3) 2 2x a− secx a t= (2) 【特殊角的三角函数值】 （1） （2）sin 0 0= 1sin 6 2 π = （3） 3sin 3 2 π = （4）sin 1 2 π = ） （5）sin 0π = （2） 3cos 6 2 π = （1）cos0 1= （3） 1cos 3 2 π = （4）cos 0 2 π = ） （5）cos 1π = − （1） （2）tan 0 0= 3tan 6 3 π = （3）tan 3 3 π = （4）tan 2 π 不存在 （5）tan 0π = 3cot 3 3 π =（1）cot 0不存在 （2）cot 3 6 π = （3） （4） cot 0 2 π = （5） cotπ 不存 在 考无忧论坛-----考霸整理版 十五、三角函数公式 1.两角和公式 sin( ) sin cos cos sinA B A B A+ = + B sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A+ = − B cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + tan tantan( ) 1 tan tan A BBA A B ++ = − ta tan) ntan( 1 tan tan A B−A B− = A B+ cot cot 1cot( ) cot cot A BA B B cot cot 1cot( ) A ⋅ −+ = + cot cot A BA B ⋅ B A +− = − .二倍角公式 2 n 2 2sin cosA A A=si 2 2 2 2cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1A A A A A= − = − = − 2 2 tatan 2 n 1 tan AA A = − 3.半角公式 1 cossin 2 2 A A−= 1 coscos 2 2 A A+= 1 cos sintan 2 1 cos 1 cos A A A A 1 cos sincot 2 1 cos 1 co A A A A −= =+ + A s A += =− − 4.和差化积公式 sin sin 2sin cos 2 2 ⋅ a b a ba b + −+ = sin sin 2cos sin 2 2 a b a ba b + −− = ⋅ cos cos 2cos cos 2 2 a b a ba b + −+ = ⋅ cos cos 2sin sin 2 2 a b a ba b + −− = − ⋅ ( )sintan tan cos cos a b a b a b ++ = ⋅ 5.积化和差公式 ( ) ( )1sin sin cos cos 2 a b a b a b= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos cos cos cos2a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )a b− 1sin cos sin sin 2 a b a b= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1cos sin sin sin2a b a b a b= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 考无忧论坛-----考霸整理版 6.万能公式 2 2 tan 2sin 1 tan 2 a a a= + 2 2 1 tan 2cos 1 tan 2 a a a − 2 2 tan 2tan 1 tan 2 a a a= − = + 7.平方关系 2 2sin cos 1x x+ = 2 2sec n 1x ta x− = 2 2csc cot 1x x− = .倒数关系 8 tan cot 1x x⋅ = sec cos 1x x⋅ = c sin 1cs x x⋅ = 9.商数关系 sintan cos xx x = coscot sin xx x = 十六、几种常见的微分方程 .可分离变量的微分方程： ( ) ( )dy f x g y dx = ， ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0f x g y dx f x g y dy+ =1 2.齐次微分方程： dy yf dx x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 一阶线性非齐次微分方程： ( ) ( )dy p x y Q x dx + =3. 解为： ( ) ( ) ( )p x dx p x dxy e Q x e dx c− ⎡ ⎤∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫