2019-2020学年
高考
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数学 玩转压轴题 专题3.9 曲线是否过定点,可推可算可检验
【题型综述】
直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低,是圆锥曲线部分的小概率考点.此种平民解法思维上比较接地气,但是实际操作上属于暴力美学范畴.定点问题是常见的出题形式,化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.直线过定点问题通法,是设出直线方程,通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式,代入直线方程即可.技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目条件?
【典例指引】
例1、(“手电筒”模型)已知椭圆C:若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
◆方法总结:本题为“弦对定点张直角”的一个例子:圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点.(参考百度文库文章:“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)
◆模型拓展:本题还可以拓展为“手电筒”模型:只要任意一个限定AP与BP条件(如定值,定值),直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,固名曰手电筒模型).
此模型解题步骤:
Step1:设AB直线,联立曲线方程得根与系数关系,求出参数范围;
Step2:由AP与BP关系(如),得一次函数;
Step3:将代入,得.
例2、(切点弦恒过定点)有如下结论:“圆上一点处的切线方程为”,类比也有结论:“椭圆处的切线方程为”,过椭圆C:的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为 A、B.
(1)求证:直线AB恒过一定点;
(2)当点M在的纵坐标为1时,求△ABM的面积.
◆方法点评:切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中直接不能直接引用,可以用本题的书写步骤替换之,大家注意过程.
例3、(相交弦过定点)如图,已知直线L:的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点,点A、B在直线上的射影依次为点D、E.连接AE、BD,试探索当m变化时,直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标,并给予
证明
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;否则说明理由.
法2:本题也可以直接得出AE和BD方程,令y=0,得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大.
◆方法总结:方法1采用归纳猜想证明,简化解题过程,是证明定点问题一类的通法.这一类题在答题过程中要注意步骤.
例4、已知椭圆C:,若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论.
方法1:
【思路引导】
点A1、A2的坐标都知道,可以设直线PA1、PA2的方程,直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M,通过韦达定理,可以求出点M的坐标,同理可以求出点N的坐标.动点P在直线上,相当于知道了点P的横坐标了,由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标,得到两条直线的斜率的关系,通过所求的M、N点的坐标,求出直线MN的方程,将交点的坐标代入,如果解出的t>2,就可以了,否则就不存在.
方法总结:本题由点A1(-2,0)的横坐标-2是方程的一个根,结合韦达定理,得到点M的横纵坐标:,;其实由消y整理得,得到,即,很快.不过如果看到:将中的换下来,前的系数2用-2换下来,就得点N的坐标,如果在解题时,能看到这一点,计算量将减少,这样真容易出错,但这样减少计算量.本题的关键是看到点P的双重身份:点P即在直线上也在直线A2N上,进而得到,由直线MN的方程得直线与x轴的交点,即横截距,将点M、N的坐标代入,化简易得,由解出,到此不要忘了考察是否满足.
◆方法总结:法2计算量相对较小,细心的同学会发现,这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已.因此,法2采用这类题的通法求解,就不至于思路混乱了.相较法1,未知数更少,思路更明确.
◆方法点评:相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展,结论同样适用,但是具体解题而言,相交弦过定点涉及坐标较多,计算量相对较大,解题过程一定要注意思路,同时注意总结这类题的通法.
例5、(动圆过定点)已知椭圆 是抛物线的一条切线.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(I)由
因直线相切
,故所求椭圆方程为(II)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
◆方法总结:圆过定点问题,可以先取特殊值或者极值,找出这个定点,再证明用直径所对圆周角为直角.
例6、如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点.点是轴上位于右侧的一点,且满足.
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线
与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点
.求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定
点的坐标.
解:(1),设,
由有,又,
法2:本题又解:取极值,PQ与AD平行,易得与X轴相交于F(1,0).接下来用相似证明PF⊥FQ.
问题得证.
◆方法总结:动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题,也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用.
【扩展链接】
已知椭圆:,左右焦点分别为,左、右顶点分别为,,上、下顶点为,.过点的直线交椭圆于,两点,过点作斜率为的直线交椭圆于另一点,求证:直线过定点.
步骤 1(特殊化寻求定点坐标):
当直线垂直于 轴时,则重合于点,直线的方程为:;
当直线经过原点时,则直线 的方程为:,代入椭圆可得:,直线的方程为:;代入椭圆可得:
,则点,点与点重合,则直线的方程为:,联立两个特殊位置的直线方程可得:定点可能为
步骤 2(一般化探求题意韦达定理化):
直线过定点 ,转化为交点坐标的韦达定理形式
直线 的方程为:代入椭圆
可得:
,
则点 的坐标为,则直线 的方程为:
,
直线的方程为:,
则
步骤 3(联立方程解方程组,韦达定理整体代入):
直线 的方程为: 代入椭圆方程可得:
(完美!)
显然直线 垂直于y 轴时,直线 也经过定点.
【同步训练】
1、设A、B是轨迹:上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且时,证明直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
,所以直线的斜率存在,否则,OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为,显然,
将与联立消去,得
由韦达定理知①
由,得1===
将①式代入上式整理化简可得:,所以,
此时,直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点.
2、已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(-1,0),.
直线PQ方程为:
所以直线PQ过定点(1,0)
3、已知点是平面上一动点,且满足
(1)求点的轨迹对应的方程;
(2)已知点在曲线上,过点作曲线的两条弦和,且,判断:直线是否过定点?试证明你的结论.
解:(1)设 (5分)
)
4、已知点A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.
(I)证明: 为定值;
(II)若△POM的面积为,求向量与的夹角;
(Ⅲ)证明直线PQ恒过一个定点.
即
即
由(*)式,代入上式,得
由此可知直线PQ过定点E(1,-4).
5、已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
6、已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点,与所在的直线交于点Q.
(1)求椭圆的方程:
(2)是否存在这样直线,使得点Q恒在直线上移动?若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.
直线的方程为:
由直线的方程为:,即
由直线与直线的方程消去,得
∴直线与直线的交点在直线上. 故这样的直线存在
7、已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,椭圆与抛物线在第一象限的交点为,.圆的圆心是抛物线上的动点,圆与轴交于两点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.
解法2:∵抛物线的焦点坐标为,∴点的坐标为.∴ 抛物线的准线方程为.设点的坐标为,由抛物线的定义可知,
∵,∴,解得.由,且得.
∴点的坐标为.在椭圆:中,.
由解得.∴椭圆的方程为.
(2)证法1: 设点的坐标为,圆的半径为,
∵ 圆与轴交于两点,且,
∴ .∴.
∴圆的方程为.
∵ 点是抛物线上的动点,∴ ().∴.
把代入 消去整理得:.
方程对任意实数恒成立,
∴ 解得
∵点在椭圆:上,
∴无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点.
8.已知椭圆: 过点,且离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)椭圆长轴两端点分别为,点为椭圆上异于的动点,直线:与直线分别交于两点,又点,过三点的圆是否过轴上不同于点的定点?若经过,求出定点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 存在,定点为.
【思路引导】
(1)运用椭圆的离心率
公式
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和点代入椭圆方程,由a,b,c的关系,即可得到椭圆方程;(2)设,由椭圆方程和直线的斜率公式,以及两直线垂直的条件,计算即可得证.
试题
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解析:(Ⅰ)由,解得,故椭圆的方程为.
(Ⅱ)设点,直线的斜率分别为,则.
又:,令得,
:,令得,
则,过三点的圆的直径为,
设圆过定点,则,解得或(舍).
故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查离心率公式的运用,同时考查直线的斜率公式的运用,圆的直径所对的圆周角为直角,属于中档题涉及定点定直线等问题时,一般先假设存在,然后根据条件推导,注意直线过定点的直线系形式.
9.已知抛物线的焦点,为坐标原点,是抛物线上异于的两点,若直线的斜率之积为,求证:直线过轴上一定点.
【答案】
试题解析:抛物线方程为,当直线斜率不存在时,设 ,由斜率之积为得,此时直线方程为.当直线斜率存在,设方程为,与联立得,.又解得即,
综上所述,直线过定点
10.已知椭圆的右焦点为左顶点为
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于(不同于点的)两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)椭圆的方程为 ;(2)直线与轴的交点是定点,坐标为
【思路引导】
(1)由已知得 椭圆的方程为
(2)①当直线与轴垂直时 的方程为联立直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时设直线的方程为联立且即由题意知 或
直线与轴的交点为.
【点评】本题的几个关键难点有:利用分类讨论思想确立解题总体思路,即:①直线与轴垂直,②当直线不垂直于轴;利用舍而不求法,结合韦达定理将问题转化为;较为繁杂的计算量.
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第22题