《导数与恒成立问题》教学
设计
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南宁二中 黄邵华
教学背景分析:
《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节,在每年的高考当中也几乎是必考题,而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.在前段时间的学习中,学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用(如求切线,求单调区间,求极值和最值等),故在此段内容的学习后,应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题,并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密,故特选此题作为一个专题进行教学.
高二(25)班的学生是我校高二年级的一个普通班,此班学生头脑灵活,反应比较灵敏,但学生性格普遍沉闷,虽然大脑在积极思考,但在课上不善于
表
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达.因此在教学方式上以教师问题为引导,通过由简到难的变式训练,让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法.
教学目标:
知识与技能:掌握利用导数解决恒成立问题的方法;
过程与方法:通过多次变式训练的过程,体会将复杂问题化为简单问题,将陌生
问题化为熟悉问题的转化数学思想,体会导数的工具性作用;
情感态度与价值观:通过对相关数学问题的思考和分析,感受事物是普通联系的
辩证主义思想,发现数学之美,培养数学钻研精神.
教学重点:
1、将恒成立问题转化为最值问题
2、分离变量法求解含参的恒成立问题
教学难点:
如何将其他问题转化为恒成立问题
教学过程:
环节一、复习引入
复习导数的基本应用:求切线方程、求极值、求单调区间以及求函数的最值.
通过一个网络图呈现:
教师提出:这些是利用导数可以解决的几类问题,但是很多问题并不是导数的简单应用,而是将这些导数的应用综合起来解决一个较为复杂的问题,这样复杂的问题很多,但基本都可以转化为这几种简单的问题,今天我们介绍其中的一类问题:恒成立问题.
环节二、新课讲授
例(2010年安徽高考理科17题改编):已知函数
,若
恒成立,求实数
的取值范围.
解析:
◇法1:
由
恒成立可得,
的最小值应该大于等于0.
,令
可得,
.
当
时,
,
单调递减;
当
时,
,
单调递增;
因此
,解得
.
◇法2(分离变量法):
恒成立,
令
,则有
,
,
当
时,
,
单调递增;
当
时,
,
单调递减;
因此
,所以
.
▲教师引导学生总结:
;
变式一:已知函数
,若
在
上单调递增,求实数
的取值范围.
解析:由
在
上单调递增,可得
在
上恒成立,
即:
上恒成立,易得:
(或由分离变量法求得).
▲教师引导学生总结:
;
变式二:求证:当
且
时,有
.
证明:
设
,要证原不等式,即证:
在
上恒成立.
,由例题结论可得当
时,
,
因此
在
上单调递增,所以
,
综上所述:
成立.
▲教师引导学生总结:
;
环节三、巩固深化
练习(2012年天津高考理科20题改编):
已知函数
,对于任意的
,有
,求
的最小值.
解析:设
,则
在
恒成立,
,令
.
若
,则
,则
在
恒成立,
在
单调递减,
因此
,
符合题意;
若
,则
,则
时
,
在
单调递增,
因此
,不符合题意.
综上所述,
,即
的最小值为
.
教师通过程序框图将此题的解题步骤进行分析,并强调:
1、新课标理念“适当的模式化”对解题的帮助;
2、解题时缕清思路,不断地分析题目所给的问题和条件,寻找每个步骤的突破口.
环节四、课堂小结
1、知识层面:恒成立问题的解决办法:转化为最值问题,求参数范围时还可采用分离变量法;
2、数学思想方法层面:利用转化的思想将复杂与陌生的问题转化为简单与熟悉的问题;
3、学习方法与态度层面:即要注重将复杂问题进行分析与分解,更重要的是对基础知识的掌握和巩固.
环节五、课后思考
思考(2012年天津高考理科20题改编):
已知函数
,
求证:对于任意的
,有
.
环节六、课后作业
1、尝试用分离变量法解决变式二及课堂练习题;
2、完成课后思考题.
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