第三节 二重积分的计算(二)
有些二重积分，其积分区域
的边界曲线用极坐标方程来
表
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示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.
分布图示
★ 利用极坐标系计算二重积分
★ 二重积分化为二次积分 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 平面薄片的重心 ★ 例11
★ 平面薄片的转动惯量 ★ 例12 ★ 例13
★ 平面薄片对质点的引力 ★ 例14
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
9-3
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内容要点
一、在极坐标系下二重积分的计算
极坐标系下的面积微元
，直角坐标与极坐标之间的转换关系为
从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式
(3.1)
二、二重积分的应用
平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量
例题选讲
在极坐标系下二重积分的计算
例1 (E01) 计算
其中
是由圆
所围成的区域.
解 如图，在极坐标系下，积分区域
的积分限为
于是
例2 计算二重积分
其中
是由
所确定的圆域.
解 如图(见系统演示)，区域
在极坐标下可表示为
故
例3 (E02) 计算
, 其中积分区域
是由
所
确定的圆环域.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意到被积函数也有对称性,则有
例4 (E03) 计算
, 其中D是由曲线
所围成的平面区域.
解 积分区域
是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为
于是区域
的积分限为
所以
例5 写出在极坐标系下二重积分
的二次积分，其中区域
解 利用极坐标变换
易见直线方程
的极坐标形式为
故积分区域
的积分限为
所以
例6 计算
, 其中
为由圆
及直线
所围成的平面闭区域.
解
所以
例7 将二重积分
化为极坐标形式的二次积分, 其中
是曲线
及直线
所围成上半平面的区域.
解 如图，令
则
的边界的极坐标方程分别变为
及
例8 (E04) 求曲线
和
所围成区域
的面积.
解 根据对称性有
在极坐标系下
由
得交点
故所求面积
例9 求球体
被圆柱面
所截得的(含在圆
柱面内的部分)立体的体积.
解 如图，由对称性，有
其中
为半圆周
及
轴所围成的闭区域.
在极坐标中，积分区域
例10 (E05) 计算概率积分
解 记
其平方
于是
根据例1的结果,即有
令
并利用夹逼定理,得
故所求概率积分
二重积分的应用
例11 (E06) 求位于两圆
和
之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.
解 如图9-3-11，因为闭区域
对称于
轴，故重心
必位于
轴上，于是,
易见积分区域
的面积等于这两个圆的面积之差,即
再利用极坐标计算积分:
因此
所求重心是
例12 (E07) 设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量
），两直角边长分别为
，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在
轴和
轴上，对
轴的转动惯量
同理,对
轴的转动惯量
例13 已知均匀矩形板(面密度为常数
)的长和宽分别为
和
, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心
区域面积
因为矩形板均匀，由对称性知形心坐标
将坐标系平移如图，对
轴的转动惯量
同理，对
轴的转动惯量
例14 求面密度为常量、半径为
的均匀圆形薄片：
对位于
轴上的点
处的单位质点的引力
解 由积分区域的对称性知
故所求引力为
课堂练习
1. 计算
其中
.
2. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离, 求此半圆的重心坐标及关于x轴(直径边)的转动惯量.
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