【摘要】查字典数学网为大家提供高一数学二次函数知识点归纳一文,供大家参考使用:I.定义与定义
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达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax^2+bx+c(a, b,c为常数,a0)顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当=b^2-4ac=0时,P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。=b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:解析式顶点坐标对称轴y=ax^2(0, 0)x=0y=a(x-h)^2(h,0)x=hy=a(x-h)^2+k(h,k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a, [4ac-b^2]/4a)x=-b/2a当h0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到.当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0,k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当
h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)^2+k的图象;因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a0)的图象:当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a0),若
a0,当x-b/2a时,y随x的增大而减小;当x-b/2a时,y随x的增大而增大.若a0,当x-b/2a 时,y随x的增大而增大;当x-b/2a时,y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);(2)当△=b^2-4ac0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y当a0时,图象落在x轴的下方,x 为任何实数时,都有y0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当
题
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给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax^2+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图
象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现【总结】高一数学二次函数知识点归纳就为大家介绍到这儿了,希望对老师和同学们都有帮助,祝大家在查字典数学网学习愉快。
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