矩阵的合同,等价与相似

矩阵的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A≅B。2、性质：（1）反身性：即A≅A.（2）对称性：若A≅B，则B≅A（3）传递性：即若A≅B，B≅C，则A≅C（4）若A为m×n矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n阶），使得PAQ=(Ir​0​00​​)m×n​=B.其中Ir​为r阶单位矩阵.（5）设A、B是两m×n矩阵，则A≅B当且仅当r(A)=r(B)3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s×n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使B=PAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得B=PAQ.（二）矩阵的合同：1、定义：两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A≅BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A≅B该过程成为合同变换。2、性质：（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4）数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.（5）复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形：f=y12​y22​⋯yr2​3、判定定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得PTAP=B,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：               (1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2)存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP=B（三）矩阵的相似1、定义：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P−1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。2、性质：性质3(1)反身性 A=ETAE;(2)对称性 由B=CTAC即得A=(C−1​)TBC−1;（3）传递性A1​=C1T​AC1​和A2​=C2T​A1​C2​即得A2​(C1​C2​​)TA(C1​C2​​)总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4)P−1(k1​A1​k2​A2​)P=k1​P−1A1​Pk2​P−1A2​P（其中k1​,k2​是任意常数）；(5）P−1(A1​A2​)P=(P−1A1​P)(P−1A2​P)；(6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）；(7)相似矩阵有相同的秩，而且，如果B=P−1AP为满秩矩阵，那么B−1=(P−1AP)−1=P−1A−1P.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果B=P−1AP，则有：∣∣∣​B​∣∣∣​=∣∣∣​P−1AP​∣∣∣​=∣∣∣​P−1​∣∣∣​∣∣∣​A​∣∣∣​∣∣∣​P​∣∣∣​=∣∣∣​A​∣∣∣​(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设B=P−1AP，若B可逆，则B−1=(P−1AP)−1=PA−1P−1从而A可逆.且B−1与A−1相似.若B不可逆，则(P−1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3相似矩阵有相同的迹.3、判定：设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P−1AP=B,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系（一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．​证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1​，使得P1−1​AP1​=B，此时若记P=P1−1​,Q=P1​,则有PAQ=B,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来，对于矩阵A=(10​01​00​​),B=(10​21​10​​)等价，但是A与B并不相似，即等价矩阵未必相似．2、 对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q使PAQ=B,(即A与B等价)，且PQ=E(E为n阶单位矩阵)，则A与B相似．证明：设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ=B,即A与B等价．又知PQ=E,若记P=P1−1​,那么Q=P1​,也即P1−1​AP1​=B,则矩阵A,B也相似．3、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明：设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P1​，使得P1T​AP1​=B，若记P=P1T​,Q=P1​,则有PAQ=B因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来对于矩阵A=(10​01​​),B=(10​21​​)等价，但是A与B并不合同，即等价矩阵未必合同．4、正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P,即PTP=E使得P−1AP=B即A~B，则有B=P−1AP=PTAP，即A与B合同.同理，若存在一个正交矩阵P，即PTP=E使得PTAP=B即A与B合同，则有B=PTAP=P−1AP⇒A~B 由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（二）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A与B正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系1、如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同．证明：设A与B的特征根均为λ1​,λ2​,⋯λn​因为A与n阶实对称矩阵，则一定存在一个n阶正交矩阵Q使得Q−1AQ=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ1​​λ2​​.​.​λn​​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​同理，一定能找到一个正交矩阵P使得P−1BP=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​λ1​​λ2​​.​.​λn​​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​从而有Q−1AQ=P−1BP将上式两边左乘P和右乘P−1,得B=PQ−1AQP−1=(QP−1​)−1=(QP−1​)−1A(QP−1​)由于QTQ=E,PTP=E,P−1P=E有(QP−1​)T(QP−1​)=(P−1​)TQTQP−1=(P−1​)TEP−1=PP−1=E,所以，QP−1是正交矩阵，由定理8知A与B相似．2、 若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同．证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取U=A,有U−1ABU=A−1ABA=(A−1A​)(BA​)=BA，则AB与BA相似，又知A是正交阵，所以AB与BA既相似又合同．3、若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有(A0​0C​​)与(B0​0D​​)既相似又合同．证明:因为A与B,C与D相似，故存在可逆矩阵P1​,P2​，使P1−1​AP1​=B,P2−1​CP2​=D,令P=(P1​0​0P2​​​),则P−1=(P1−1​0​0P2−1​​​)且P−1(A0​0C​​)P=(B0​0D​​),故(A0​0C​​)与(B0​0D​​)相似．又因为A与B合同，C与D合同,故存在可逆矩阵Q1​,Q2​,  Q1T​AQ=B,Q2T​CQ2​=D令Q=(Q1​0​0Q2​​​)而QT=(Q1T​0​0Q2T​​​)QT(A0​0C​​)Q=(Q1T​0​0Q2T​​​)(A0​0C​​)(Q1​0​0Q2​​​)=(Q1T​A0​0Q2T​C​​)(Q1​0​0Q2​​​)(Q1T​AQ1​0​0Q2T​CQ2​​​)=(B0​0D​​)故(A0​0C​​)与(B0​0D​​)合同．三、矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.