2020-2021学年福建省宁德市高一上学期期末考试数学试题及答案

绝密★启用前福建省宁德市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1.命题，则为（）.A.B.C.D.2.函数的定义域是（）.A．　B．　C．　　D．3.要得到函数的图象，可将函数的图像（）..A．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变B．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变4.已知，则（）.A．B．C．D．5.已知不等式恒成立，则的取值范围为（）.A．B．C．D．6.设求的最小值为（）.A．2B．4C．8D．97．已知定义域为的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）.A．B．C．D．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△中，.根据这些信息，可得（）.A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．如果，那么下列不等式正确的是（）.A．B．C．D．10.已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（）.A.为偶函数B.为增函数C.若，则D.若，则11．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边逆时针旋转得到角，则下列结论正确的是（）.A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）.A．函数(其中为常数)为回旋函数的充要条件是.B．若函数为回旋函数，则.C．函数不是回旋函数.D．若是的回旋函数，则在上至少有1010个零点.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．计算的值为.14．已知半径为的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为.15．函数的部分图像如右图所示，则；单调递减区间为.16．已知满足，满足,则.（背面还有试题）（第15题图）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题10分）已知集合．（1）若时，；（2）若，求实数的取值范围．（本小题12分）设函数，且．（1）求解析式；（2）判断在区间上的单调性，并利用定义证明．19.（本小题12分）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若，求的值．（本小题12分）2020年下半年受拉尼娜现象的影响，某市持续干旱，不仅使自来水供应严重不足，而且水质质量也明显下降。为了给广大市民提供优质的饮用水，某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序，过滤前水含有杂质（其中为常数），每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少，设水过滤前的量为1，过滤次数为x（）时，水的杂质含量为y．（1）写出y与x的函数关系式；（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过，问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求？（参考数据：，）（本小题12分）已知函数．（1）若的解集为，求的零点；(2)若在内恰有1个零点，求的取值范围．22.（本小题12分）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的图像的一个最高点为；②函数的图象可由函数的图象平移得到；③函数图象相邻的两个对称中心之间的距离为．（1）请写出这两个条件的序号，并求出的解析式；（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对，，使得成立，求实数的取值范围．宁德市2020—2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题参考答案选择题：1-4：DCCA5-8：BDBA多选题：9.AC；10.BCD；11.AC；12.AD填空题：13.314.15.,16.2备注：第15题前空2分后空3分，后空的区间写开或闭皆可，未写不扣分.四:解答题：解：(1)因为，所以，………………………………………1分所以.………………………………………………………………………3分因为，所以…………………………………………………4分所以……………………………………………………………6分(2)因为，，…………………………………………………………8分所以，所以.……………………………………………………10分解：（1）由题意得，即………………………………………2分所以，解得………………………………………………………4分所以………………………………………………………………………5分由（1）知，函数在单调递增，…………………………6分证明如下：任取，且，有………………………………………………………7分==………………………………………………………9分因为，所以，，，所以，即，……………………………………………11分所以在单调递增，命题得证.………………………………………………12分19.解：(1)………………………………………………………………………2分………………………………………………………………4分所以………………………………………………………6分（2）因为，所以，即……………………………………8分所以………………………………………………………………………9分因为,所以.…………………………………………………………………12分20.解：（1）因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少，所以每次过滤后所含的杂质是前一次的………………………………………………2分所以得到即…………………………………………………………………5分(没有写扣1分)（2）设至少经过次过滤才能使矿泉水达到要求，则………………………………………………………………………7分所以所以…………………………………………………………………………8分即……………………………………………………………………………9分所以…………………………………………………………10分又,所以………………………………………………………………………11分即至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.………………………………………………12分21.解法一：（1）依题意得方程的两根为-1，b，……………………………………1分将代入方程得，……………………………………………………………2分于是方程可化为,解得或.………………3分所以函数的零点为.……………………………………………………………4分因为函数在内恰有1个零点，所以该函数图象在内与轴只有一个公共点.（i）当时，由，得，故满足题意；………5分（ii）当时，①当函数的图象在轴两侧时，则由,解得，……………………………………………………………………………6分此时，满足题意…………………………………………………………7分当时，，满足题意；…………………………………………………8分当时，，满足题意.……………………………………………………9分②当函数的图象在轴同侧时，则由,解得.…………………………………………………………………………………10分由即解得故，满足题意.………………………………………………………………………11分综上所述，的取值范围是.………………………………………………12分解法二：（1）同解法一;………………………………………………………………………………4分（2）依题意知方程在内恰有1个实根，……………………………5分显然x=0时不满足方程，所以…………………6分令,因为，所以,于是，，………7分分别画出函数，和函数的图象,如图所示.因为函数，在上单调递减,在上单调递增.……8分当时；当时；当时.………………………………………………………………………10分结合图象可知，要使两函数图象恰有一个公共点，必须.………12分解：（1）①③……………………………………………………………………………1分由条件①知，由条件③知，从而.………………………………………2分因为为函数f(x)图象最高点，所以，.因为，所以所以.…………………………………………………………………3分（2）由（1），当时，.…………………………………4分当时，取最小值，当时，取最大值，所以在时的值域为.………………………………………………5分记函数的值域为.若对任意的，存在，使得成立，则.…………………………………………………6分因为时，，所以，即函数的图象过对称中心.(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增.，由对称性得，则.要使，只需，解得，所以…………………………………………………………………8分(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减.所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，其中，要使，只需，解得，.………………………………………………………………10分(iii)当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，从而在上单调递减.此时.要使，只需，解得，.综上可知，实数的取值范围是.…………………………………………………12分宁德市2020—2021学年度第一学期期末高一质量检测数学试题勘误选择题第12题，选项A．函数(其中为常数)为回旋函数的充要条件是.中“(其中为常数)”改为“(其中为非零常数)”-1-