第十一章动量矩定理第一节动量矩的概念第二节转动惯量第三节动量矩定理第四节刚体定轴转动微分方程第五节质点系相对于质心的动量矩定理第六节刚体平面运动微分方程本章重点1.转动惯量的计算2.动量矩守衡3.刚体定轴转动微分方程4.刚体平面运动微分方程*第一节动量矩的概念一、质点的动量矩动量mv对固定点O的动量矩为:动量矩:物体机械运动强度的度量。质量为m的质点，t时刻速度为v，动量矩的量纲为：dimL=ML2T－1国际单位制中，动量矩的单位为：*kg·m2／s三、刚体的动量矩1、刚体平动2、刚体绕定轴转动Jz称为刚体对于z轴的转动惯量。*质点系动量对固定点O的动量矩:质点系对固定轴z的动量矩:二、质点系的动量矩3、刚体平面运动平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，平面图形对垂直于运动平面的固定轴的动量矩：第二节转动惯量一、转动惯量的定义刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和。质量连续分布时:*二、回转半径三、平行轴定理均质细长杆长为l，质量为m。试求(1)杆件对于过质心C且与杆的轴线相垂直的z轴的转动惯量；(2)杆件对于过杆端A且与z轴平行的z1轴的转动惯量；(3)杆件对于z轴和z1轴的回转半径。解：杆的线密度1.对z轴的转动惯量取微段dx，其质量为2.对z1轴的转动惯量*3.杆件对于z轴和z1轴的回转半径。半径为R，质量为m的均质薄圆盘，试求圆盘对于过中心O且与圆盘平面相垂直的z轴的转动惯量。解:圆盘的面密度为取圆盘上一半径为r，宽度为dr的细圆环回转半径*冲击摆摆杆长l，质量为m1，摆盘质量为m2，半径为R，试求摆对于转轴的转动惯量。解：设摆杆和摆盘对轴的转动惯量为J1、J2*O半径为R，质量为m的均质圆盘，在离圆心R/3处挖去一半径为r=R/3的圆，试求其对于通过A的轴的转动惯量。解：半径为R，质量为m的均质圆盘对轴A的转动惯量为*设挖去的圆盘的质量为m2对轴A的转动惯量为第三节动量矩定理 、质点动量矩定理质点对固定点O的动量矩对时间求一阶导数根据质点的动量定理得*将矢量式向过O点的固定轴投影：注意：点O为固定点，v为绝对速度。二、质点系动量矩定理设质点系由n个质点组成，取其中第i个质点来考察，将作用于该质点上的力分为内力Fii和外力Fie:根据质点的动量矩定理:i=1，2，3，…，n求和:交换求和及求导的次序:*直角坐标轴投影式:注意：1、力矩中包含力偶矩；2、内力不影响质点系的动量矩。三、动量矩守恒1、质点动量矩守恒r、v组成的平面的方位不变。（1）F过点O，称为有心力，ΣMo(F)=0Mo(mv)=常矢量*（2）ΣMz(F)=0,F和轴z共面，Mz(mv)＝常量2、质点系的动量矩守恒（2）ΣMz(Fe)=0,Lz＝常量（1）ΣMo(Fe)=0,Lz＝常矢量均质鼓轮重W，半径为R，通过绳子悬挂一重W1的物体。在鼓轮上作用一力偶M，试求重物上升的加速度。解得：解：系统为研究对象，动量矩定理*离心调速器的水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联接重为W的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为w0。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成q角。不计各杆重量，求此时系统的角速度。*解:系统为研究对象。系统对z轴的动量矩守恒*WW第四节刚体定轴转动微分方程绕定轴转动刚体对z轴的动量矩为：*注意：2、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。3、a、w、MZ(F)符号的规定应一致。4、刚体定轴转动微分方程适用于单个绕定轴转动刚体。1、刚体定轴转动微分方程是标量方程，只可解一个未知数。动量矩定理：刚体定轴转动微分方程：或写成：复摆的质量为m，质心为C，摆对悬点的转动惯量为JO。求复摆微幅摆动的周期T。解：取复摆为研究对象。复摆微幅摆动时，有定轴转动微分方程*讨论：1.此微分方程的解为：2.测出零部件的摆动周期后，可计算出它的转动惯量。齿轮传动系统，啮合处两齿轮的半径分别为R1=0.2m和R2=0.4m，对轴I、II的转动惯量分别为J1=10kg.m2,J2=8kg.m2,轴I上作用有主动力矩M1=20kN.m,轴II上有阻力矩M2=4kN.m,转向如图所示。设各处的摩擦忽略不计，试求轴I的角加速度及两轮间的切向压力Ft。*解：轮Ⅰ、Ⅱ为研究对象。定轴转动微分方程*联立求解得：均质杆OA长l，质量为m，其O端用铰链支承，A端用细绳悬挂。试求将细绳突然剪断瞬时，铰链O的约束反力。解：取杆为研究对象。在该瞬时，角速度w=0，角加速度a0*（一）角加速度（二）反力第六节刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动。刚体相对于质心的动量矩为：刚体的平面运动可用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理：质心运动定理向x,y轴投影。刚体平面运动微分方程：*半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转半径为rc，作用于圆轮上的力偶矩为M，圆轮与地面静摩擦因数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）使圆轮只滚不滑的力偶矩M的大小。*纯滚动条件下，有解得*平面运动微分方程解：圆轮为研究对象.圆轮只滚不滑的条件为即也可用相对于瞬心A的动量矩定理求aCA均质细杆AB，长l，重W，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下。求杆在任意位置的角加速度，角速度。*解：取杆AB为研究对象，平面运动微分方程**均质直杆AB长l，质量为m，静止于光滑水平面上如图所示。若突然把绳OA剪断，求此瞬时点B的加速度和杆AB的角加速度。AB杆运动分析平面运动微分方程：解：杆为研究对象；杆作平面运动；剪断绳OA的瞬时，角速度为零。x轴投影：y轴投影：*质量为m长为l的均质杆AB用等长的细绳悬挂静止如图所示.若突然把绳O2B剪断,求此瞬时绳O1A的拉力T为多少.得:对杆进行运动分析：把上式向y轴投影得:平面运动微分方程。解：杆为研究对象；杆作平面运动；剪断绳O2B的瞬时，角速度为零。小结一、转动惯量1.转动惯量定义式2.连续物体的转动惯量3.求转动惯量的平行轴定理1.质点对固定点的动量矩二、动量矩2.质点系对固定点的动量矩*3.刚体的动量矩(1)刚体平动(2)刚体绕定轴转动(3)刚体平面运动三、动量矩定理1.质点动量矩定理2.质点系动量矩定理*3.质点系动量矩定理的投影形式4.动量矩守恒（1）质点动量矩守恒（2）质点系的动量矩守恒四、刚体定轴转动微分方程五、刚体平面运动微分方程*11-3(c),6(b),11,17,21
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