经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综理论描述与统计“自举”条件

经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综理论描述与统计“自举”条件 经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正 则系综理论描述与统计“自举”条件 第54卷第11期2005年11月 1000—3290/2005/54(11)/5504—07 物理 ACTAPHYSICASINICA VoI.54,N0U,November,2005 ?2005Chin.Phys.Soc. 经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综 理论描述与统计"自举"条件* 王丽萍朱建阳 "(阜阳师范学院物理系,阜阳236041) (北京师范大学物理系,jb京100875) (2oo5年1月6日收到;2005年4月27日收到修改稿) 分别从Krr黑洞的经典谱和量子谱出发,建立了一个居于微正则系综理论描述的系统态密度的不等式,并由 此 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了K.rr黑洞满足统计"自~:(bootstrap)"条件.其主要结论是对于由大量Kerr黑洞组成的体系,在高能极限 下,最可能的构型是一个黑洞将获得系统所有的质量和全部的角动量,而且转动不会破坏黑洞的"自举"性质. 关键词:Kerr黑洞,统计"自举"问题 PACC:9760L,0420C 1.引言 自从Bekenstein„和Hawking}-的开创性工作 之后,黑洞热力学和黑洞统计力学已成为黑洞物理 中最受人关注的研究领域. 我们知道,热现象的本质是温度和由温度所导 致的热辐射,黑洞的热辐射是Hawking在1974年 的重要理论发现并且经过不同研究者利用不同方法 进行了理论验证.由于辐射,黑洞视界面上入射的纯 态演化为出射的具有热粒子的混合态(热态),在此 情况下,量子相干性将会在黑洞的衰变中丢失,量子 力学的么正性原理也将会被违背_1.试图解决这 个问题的方法之一是考虑"量子毛发(quantumhair)" 效应.也就是说,由引力塌缩而形成的黑洞除了 像黑洞"无毛定理(nohairtheorem)"所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述的包含质 量,角动量和电荷少量的信息外,还应有一系列的微 观态,其态密度n(E)的对数即为黑洞的熵?. "量子毛发"效应能显着且定量地影响着黑洞的热力 学行为,而且我们期望黑洞能够包含大量的"量子毛 发",以产生足够大的影响来恢复量子相干性.另外, t'Hooft_】提出,黑洞的行为就好像是一些特殊模式 的"弦",所以,在某种意义上,黑洞可以被认为是由 "弦"组成的.由于"弦"携带了大量的激发态,在那 里,许多的"量子毛发"就可以恢复量子相干性. 据我们所知,微正则系综理论描述中的统计"自 举"条件对于某种"弦"来说是满足的?,即有 一1,当E一?时,(1) \ 其中l'2(E)是微正则系综的态密度,{0(E)为"弦"态 的简并度.如果黑洞真的能够被认为是由"弦"组成, 那么考察黑洞系统是否遵守"自举"条件将是件很有 意义的事情.受粒子物理早期的"强子"模型..的 启发,Hams与Leblanc_j把黑洞看作由大量其他 黑洞组成的复合物,提出了黑洞的统计力学描述.这 种统计力学描述,对处理现今的黑洞"熵"的问题,有 着一定的意义. 最近,Huang_2在Hams和Leblanc~18.19进行的研 究的基础上,分别研究了由球对称的Sehwarzschild 黑洞和Reisser—Nordstom带电黑洞所构成的微正则 体系的统计"自举"问题.在Huang的研究中,微观态 的简并度取为 pocexp(S),S:A/4,(2) 其中S为Bekenstein—Hawking熵,A为视界面积,分 别考虑了A具有经典谱和量子谱的两种情况.其结 果是,这种球对称黑洞体系的最可能的构型是,一个 黑洞将获得系统所有的质量和全部的电荷,而且带 电不会破坏黑洞的"自举"性质. 国家自然科学基金(批准号:10375008)和国家重点基础研究发展 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 (973计划,批 准号2003CB71630)资助的课题 E-mail:zh~y@bnu.edu.cn 11期王丽萍等:经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综理论描述与统 计"自举"条件5505 作为以上情况的进一步的扩展,我们有兴趣对 转动黑洞进行研究.在经典和量子情况下,转动黑洞 体系是否也满足"自举"条件?本文考虑具有轴对称 的Kerr黑洞,对于由大量Kerr黑洞所组成的理想体 系,我们将建立一个有用的微正则态密度的不等式, 并用它来证明,在高能极限下Kerr黑洞体系的最稳 定的结构模式是一个黑洞将获得全部的能量和所有 的转动.也就是说考虑到黑洞的转动后,转动因子依 然不会破坏黑洞的"自举"条件. 2.具有连续谱(经典情况)的Kerr黑洞 体系的微正则系综理论描述 Kerr黑洞是不带电但具有转动的黑洞,在经典 情况下,视界面积具有连续谱(自然单位矗:.:G = 1) A(m,J)=8不(m.+,//m一.,),(3) m是黑洞的质量,.,为转动角动量. 如果体系是由大量无相互作用的Kerr黑洞所 组成的,则体系总的态密度为,,22 (E,,.,)=?^,(E,,.,).(4) 其中(E,,.,)正是具有确定的粒子数(一个黑 洞作为一个粒子)N,确定的能量E(含角动量.,)和 确定的体积的微正则系综的态密度,可表示为 ?弭j=nd r用 2 ? ×l'dJID(m,J)ldP; 而If巨iN^ ×:dJID(.,)(E一? × (.,一?.,).(8) 我们现在来 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 微正则态密度(8)式,当N:1 时,有 E.,)=exp[2枷+四. (9) 当N=2时,有 = 【m:.:., × l2dJ(E+,)×l(+?—)g,2 dJ2exp[2~(EEJ +(E+?E一J))] ×(E—El—E2) ×(.,一.,.一)).(10) 由于E=E.+E以及J=J.+.,,我们有下列不等 式关系: (+)+(鹾+,) = E+E+(E—J)+(E;一J;) +2E,/+2E22, <E+E+(E一J)+2E,/ — 2E;~/E一J,(11) 其中,我们考虑了以下两个不等式(见附录A,B) 叫c i , EJ+EJ < <EJ.13,/—+?:一;<~/一.() × (.,一?.,),(5)由附录C和D,我们知道有不等式 其中m.为黑洞的最轻的质量,lD(m,.,)为该体系的 微观态的简并度 lD(m,J)=Cexp(A(m,.,)/4) : Cexp[2~r(/722+7)】.(6) 我们假设黑洞符合色散关系,m=E一P,因 此有 ID(,n,J)=C?exp{2不[E:一P: +?(E;一P;)一J;].}.(7) 由于在高能态下,(5)式中动量积分可以忽略18,193. 于是,(5)式变为?重高斯积分,即 』d.,.』dexp(一4E;,厂啊)(.,一.,.一) E2 ?ldJexp(一4不(.,一J.)?一)?H(J),(14)J0 和不等式 ldE.ldEexp(2~(E+E:))(E—E.一E)mOm0 < ldEexp(2(+(E—E)))<e2G(E)(15) 成立,其中 (J)ldJexp(一4不(.,一J)~/J一J)<h.J0 5506物理54卷 0.195,(16) G(EEj'dexp{4不E?[(一)一】) <1一p(.丢)】<g. 一 0.621.(17) 对 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数G(E)的简单的分析和计算发现,函数 G(E)在自变量E为[0,0.801]的区间内是增函数, 其函数值从0增加到最大值g.0.621;当E继续 增大时,G减小并趋于4/uE. 将(11)式的结果代入(10)式,并考虑(15),(16) 不等式,可以得到N=2时,体系的态密度满足 < 丢【】exp[2rr(E +~/E一.,)]?4h?G(E).(18) 从(18)式可以看出,对于由具有连续谱的Kerr 黑洞组成的具有确定能量和体积的系统中,两个黑 洞组成的微正则系综的态密度总小于一个黑洞的微 正则系综态密度与能量依赖的函数G(E)的乘积. 由于G(E)总小于1的,并且随能量的增加而趋于 0,我们总可以找到一个能量E,使得当体系的能量 大于E时,一个黑洞的微正则系综态密度总大于两 个黑洞的微正则系综的态密度.下面我们将证明在 高能条件下,具有连续谱的(N一1)个黑洞的微正则 系综的态密度总大于?个黑洞的微正则系综的态 密度,进而证明,在由Kerr黑洞组成的确定能量和 体积的体系中,1个黑洞所具有的微正则态密度大 于2个到无穷个黑洞的微正则系综的态密度之和. 当N>2时,有 < [】E.? × j'dEj'd.,j';d.,:„j'd., ×exp[2rr(E+?E—)+„ +(E+?E一)] ×(E一?E) × (.,一?.,)}.(19) 多次运用(12)和(13)式,可得 (E+,/E一+(E+?E:一) +„+(E+?E一) <?E+(E一J)+2E~/E一J 一 2?E:一2?E: 一 „ 一 2?E4一.一一.?E:,(20) 将(20)式代入(19)式,对角动量部分积分,有 ?? j' ×exp【一4不(?E 一 „ 一 -=_?E)】 × (.,一?.,.) <2 22 .. ×exp[一4不(? 一 „ 一 ?)] × (.,一? : 2fdJ,exp[一4不(.,一] ×fd.,2exp[一4不,厂(.,一J2)]ׄ dJexp[一4rr?E一一一(J—J)] <2(h0),,(21) 对能量部分积分,有 IdE.IdE„IdJ ×exp(2兀?E)(E一?E.) <d.j''dE???I『一1一一?,d一. ×exp{2n[?E+(E一?Ei)]) <fdE,f一dE„fE-EI-"'"-EN_2dE一.J0J0Jo „p H()一 2? × 11期王丽萍等:经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综理论描述与统 计"自举"条件 一 2 (E一?Ei)i=l <e2(g0)?411一exp(一1)].(22) 所以,(19)式可以表示为 < ( ×expE27r(E+~/E一J)](g.h.)-2 × {4,11一exp(一1不E)]).(23) 重复以上的推导,可以得到 (E,V,J) <expE27r(E+~/E一J)] ×(?【(1I4)] „p (g).,×pl.凡.J'L24 因此,在高能极限下,即 [327, r2 (hogo)-2exp(2CVgoho(25) 时,有不等式 E,V,J)>(E,V,J)(26) .( 成立.所以,Kerr黑洞系统的总的态密度可近似写成 (E,V,J),(E,V,J) =exp(E +~/E一J)].(27) (27)式说明,对于由大量的具有连续谱的Kerr 黑洞组成的体系,在高能极限下,系统总的态密度可 以用一个黑洞的态密度来近似表示.这也表明了,由 连续谱的Kerr黑洞所组成的,具有确定能量和体积 的系统的最可能的结构模式是N=1,即一个Kerr 黑洞获得系统的几乎全部的质量和所有的转动角动 量,"自举"条件被遵守.以上我们证明了,在连续谱 下,Kerr黑洞的转动不会破坏"自举"条件.下面将 讨论具有分立谱的Kerr黑洞,看其是否也满足"自 举"条件? 3.具有分立谱(量子情况)的Kerr黑洞 体系的微正则系综理论描述 将Kerr黑洞的视界量子化.,面积谱可以 写成 A(n,m)=8不(n+m+),n,m=0,,2,„, (28) n和m分别表征黑洞的质量和转动的量子数.其 中,转动量子数m与转动算符.,的关系是=hm. 所以,微观态的简并度为 p(n,Z):Ce,.(29) 体系的总的态密度可以写成 (E,,.,)=?(E,,.,),(30) 其中 .N? (E,,.,)=???lD(m)„i=ln=l/n=l N? ×(E,?)?(.,,?m) . ? 珥ce"l,l ×(E,?)I=l ? × (.,,?m).i=l , 当N=1时 .(E,V,J):Ce.. 当N=2时, n,I?2 (E,,.,)=???? (31) (32) ×exp[2~r(nl+ml+n2+m2)] ×a(E,+)?a(J,m+m:) :. K(E),(33)e'AL,',', 其中,我们定义 (E一1)2 K(E)=?exp[4,r?(n.一E,/aT,)].(34)= l 简单的计算发现,K(E)是一个关于自变量E的锐 减函数.例如K(2)10,,K(6)10,K(12) 10,.由于能量依赖的函数K(E)总小于1,且随着 能量的增大趋于零,因此,在高能情况下,对于分离 一 . ? ,I?_J,?, ) ,E 一2 一 2 -,,l?I\ . . ,,... \一 5508物理54卷 谱的Kerr黑洞,总可以证明两个黑洞组成的微正则 系综的态密度小于一个黑洞的微正则态密度.4.结论 当N>2时, n(E,V,J) =丽1???cexp[2兀(n+m)] 'Jn I Jml NN ×(E,?)(.,,?m) = '秘× (一一?) ×?exp(2~n) 一 1 1 ×exp[2~(E一一一„一)] ?(E一1)' = e2??exp[4兀(n一E)]''' n=1 (一) ×?exp/4~[n:一(E一)]}n2I (一一?) ׄ×?exp/4~[. 一 (E一一„一)]} <exp[2兀(.,+]?(E)I <exp[2兀(.,+]?((35) 所以 壹N nc,<cE,(++„+)= 2 E,V,Je2n(J+Ez) <(E)(e一1)eEL). (36) 由于(E)是E的锐减函数且小于1,只要系统的 能量足够大,总可以得到 ?n(E,,.,)<n(E,,.,).(37) 于是,Kerr黑洞体系的总的态密度可以近似为 n(E,,.,)n(E,,.,):Ce'.(38) 因此,对于量子化形式的Kerr黑洞组成的具有 确定体积和能量的黑洞体系,只要系统的能量足够 大,其最有可能的结构模式仍是N=1,这意味着一 个黑洞将获得体系的几乎全部的质量和所有的转 动,"自举"条件仍然被遵守. 本文运用黑洞的微正则系综理论,讨论了具有 连续谱和量子谱的Kerrr黑洞的统计性质.结果表 明,Kerr黑洞也满足"自举"条件,转动并不破坏黑 洞的"自举"性质.在文中,我们建立了的?个Kerr 黑洞组成的微正则系综态密度的不等式,并依据定 义的一个能量E依赖的中间函数(这个中间函数恒 小于1,且在高能区域,函数值趋于零),来证明?+1 个黑洞组成的微正则系综的态密度总是小于?个 黑洞的态密度.一旦这个函数关系建立起来,重复使 用这个关系式,就可以得到,在高能极限下,由大量 Kerr黑洞组成的具有确定能量和体积的系统的总的 态密度可以用一个Kerr黑洞的态密度来近似表示. 这就意味着,在高能极限下,体系的最可能的结构模 式是N=1,一个Kerr黑洞获得体系几乎全部的质 量和所有的角动量,"自举"条件被满足. 附录A 如上图,令?=E{,cd:E;,ab=J1,ce=J2,则 (Ej—J)+(E:一J;) i(?c一ab)+(cd一ce) =cb+de<(cb+de).=d7 =ad一尸<(ac+ca)一(ab+by) = (E+E;)一J<E一,.(A1) 附录B ,+两 ;v/-—二_+,,? cb+de=+de=df=v/ad一 : c?:~/广研 <E一J.(B1) 王丽萍等:经典Kerr黑洞和量子Kerr黑洞系统的微正则系综理论描述与统计"自 举"条件5509 附录C 由于Ei?J2,所以 dJl』dJ2exp(-4hEi,厕c,一,.一,: ?唧?川. rE.r——--——————-一 = ldJ.exp[一4?(J—JL)?E—J}], 当J?E时,则 r,.,..—.........—-一ldJ.exp[一4?(J—J1)~/E—J}] r.,———---————--一 ?ldJ.exp[一4?(E}一J1)?E一J] ;(E}). 当J?E}时,由于J2=J—J1>0,可以把,.的积分区间限制在[0, J],则 一 ldJlexp[一4?(J—J.)~/E—J] ? ? exp[一4?(J—J.),/] exp[一4(J—J.),/] =H(J). 因此,有不等式 fdJ.fdJ:.p(一47rEjv/)JoJo ×(J—Jl—J2)?(J)(C1) 成立.对函数(J)简单的分析和计算表明,函数(J)在自变量J 为[0,0.358]的区间内是增函数,函数值将从0增加到最大值h0— 0.195;之后,随J的增加而减小. 7] 8] 9] 10 [11] [123 附录D ldEIldE2exp[2(E+E2)]8(H—E1一E2)JoJo ' j.dElj.dE2ep[2?(E+E2)]8(一El—E2) j.dElexp[2?(E+(E—E1))] J.Edep[2不E(+(1一z))] :.2Efdxexp[4E(4—23+32—2)],J0 由于在【0,1J区间内,有不等式一2+3一2((一1/2)一1/16 成立.所以 ldE.1dE2exp[2?(E+Ei)](H—El—E2) J0J0 (e2,2Efdxexpt4?E[(一1/2)一1/16]}, 其中我们定义 ccE一1 . x {[(一?)一击】) :2E.?dy.p(4?E*y4) <2E.一{f"dy.p(?E4y/2)J0 = {„x(一?)). 因此 IdE.IdE2exp[2n(E+E)]J00 ×8(E—E一E2)<e2nE4C(E). (D1) 对函数G(E)进行简单的分析和计算,容易得到函数G(E)在 [0,0.801]区间是增函数,对应的函数值G从0增加到最大值g0 0.621:当E继续增大时,G趋于4,E. BekensteinJD1973P^.Rev.D13191 HawkingSW1974Nature2档30 HawkingSW1975Commun.Phys.43199 HawkingSW1976P^.Rev.D13191 HawkingSW1976Phys.Rev.D14246O PreskillJ,SehwarzP,ShapereA,rediSandWilezekF1991 Mon.Phys.Lett.A62353 ColemanS.PreskillJandWilczekF1992Nuc1.Phys.B378175 KraussLMandWilczekF1989Phys.Rev.Lett.621221 ColemanS,SchwarzJandWilczekF1992Nuc1.Rev.B378175 WanLFandZhuJY1999Acta.Sin.(OverseasEdition)8 109 LuoZJandZhuJY1999Acta".Sin.48935(inChinese) [罗志坚,朱建阳1999物理躺935] ZhaoZandZhuJY1999ActaPhys.n.481558(inChinese) [24] [赵峥,朱建阳1999物理481558] 'tHoofiG1990Nuc1.Phys.B335138 BowickMandWijiwardhanaL1985Phys.Rev.Lett.542485 HagedomR1965NuovoCimentoSupp1.3147 FrautschiS1971P^".Rev.D32821 CarlitzRD1972Phys.Rev.D53231 Ha?IlsBandLeblancY1992P^".Rev.D462334 HarnlsBandLeblancY1992P^".Rev.D472438 ProlovVPandFursaevDV1998Class.QuantumGram.152041 HuangWH2000P^.Rev.D62043002 CasadioR,HarmsBandLeblaneY1998Phys.Rev.D571309 BarvinskyA,DasSandKunstatterG2001Class.Qua,u.Gray. 184845 GourGandMedvedAJM2003Class.Quaat.Gray.2,02261 M"墟加 ?23456 55l0物理54卷 MicrocanonicaIstatistics0fKerrblackholes andthebootstrapcondition* WangLi.Ping)ZhuJian—Yang2) "(DepartmentofPhysics,FuyangNormalCollege,F236041,China) (DepartmentofPhysics,BeijingNormalUniversity,Beijing100875,Ch/na) (Received6J~uary2005;revisedmanuscriptreceived27April2005) Abstract ThemicrocanonicalstatisticsoftheKerrblackholesisanalyzed.Wehavesetupaninequalityi nthemicrocanonicaldensity forbothcontinuousspectrumanddiscretespectrum,andhaveverifiedthatKerrblackholesob eythestatisticalbootstrap condition.ItisthenusedtoshowthatthemostprobableconfigurationinthegasesofKerrblackholesisthatoneblackhole acquiresa1lofthemassandalloftherotationatthehigh— energylimit,SOrotationdoesnotbreakthebootstrapproperty. Keywords:Kerrblackholes,statisticalbootstrapproblem PACC:9760L,0420C ProjectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(GrantNo.10375008)andTheNationalKeyProgramofBasicResearch DevelopmentinChina(GrantNo.2003CB71630).