第三章勾股定理

第三章  勾股定理 3.1 勾股定理 1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 2、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 3、勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 基础巩固 一、填空题 1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S△ABC=________。 2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。 (注：下列各图中的三角形均为直角三角形) 答：A=________，y=________，B=________。 3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 二、选择题 4、在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是                                                          （  ） A、5、4、3、； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10 5、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程 ( 取3)是                                                                (  ) A.20cm;        B.10cm;  C.14cm;        D.无法确定. 6、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 (    ) A. 12 cm        B. 10 cm        C. 8 cm      D. 6 cm 三、你能用所学知识解决下列问题 7、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D, 求：（1），AC的长；  （2）⊿ABC的面积；  （3）CD的长。 8、如图，在四边形 中，∠ ，∠ ， ，求 . 能力提升 1、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，过顶点A的直线DE∥BC，∠ABC，∠ACB的平分线分别交DE于E、D，若AC=6，BC=10，则DE=（  ） A．12      B．14      C．16      D．18 2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？ 3、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（  ） 4、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=               。 5、如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝ π，S2=2π，则S3是              。 6、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是            。 7、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是               。 8、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是6和8，则正方形的边长是            。 ． 9、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2． （1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD． 3.2勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形。 2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数。常见的勾股数: 3 、4 、5；    5、12、13；    6、8 、10；    7、24 、25； 8、15、17；    9 、12、15；  9、40、41； 3.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法： （ 1 ）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （ 2 ）有两个角互余的三角形是直角三角形。  用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）； （2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） （一）基础练习 1．三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（    ） A 5，13，12    B 3，4，5      C．4，7，5      D．6 ，8，10 2．已知 ΔABC中，BC2=AB2＋AC2，则（    ） A. ∠A=90O          B.∠B=90 O        C．∠C=90 O      D．∠A十∠B=∠C 3．一棵大树被风吹断后树尖落在距树脚15米远处，大树折断处离地面8米，则大树高（    ） A . 17米      B．23米        C . 25米        D .  30米 4．一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数数据弄混了，请你帮他找出来，应该是（      ） A 13，12，12    B．12，12，8    C．13，10，12      D．5，8，4 5.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（  ）. A.22㎝          B.33㎝          C.44㎝          D.55㎝ 6．已知在ΔABC中，AB=15，AC=13,BC边的高为12,则ΔABC的面积为（    ） A． 84          B．24        C．24或 84      D．48或 168 7.已知 ABC的三边 、 、 满足 ，则 ABC为        三角形 8.在 ABC中，若 =（ + ）（ - ），则 ABC是      三角形，且       = 9.在 ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为                      10.已知 与 互为相反数，试判断以 、 、 为三边的三角形的形状。 11.已知：在 ABC中，三条边长分别为 、 、 ， = ， =2 ， = （ >1） 试说明： C= 。 12、如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=12，BC=5，BD= ， （1）求AD的长。 （2）试判断△ABC是否是直角三角形 ，并说明理由。 13、如图，P是等边△ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10，,若点P'是△ABC外的一点，且△P'AB≌△PAC，求点P与点P'之间的距离与∠APB的度数 3.3勾股定理的应用 1、勾股定理的应用：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 中， ，则 ， ， ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 2、直角三角形相关定理： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 实际应用： 1. 梯子滑动问题： （1）一架长2.5 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 ，那么梯子底端将向左滑动        米 （2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离          1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”） （3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（    ） A.           B.         C.           D. 不能确定 （4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为      米 2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系： 直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（    ） A.     B.     C.     D. 变：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。 求证：（1） （2） （3）以 为三边的三角形是直角三角形 3. 爬行距离最短问题： 1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙 （1）假设昆虫甲在顶点 处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱 的中点E，再连结AE、 ，昆虫乙如果沿途径 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。