华罗庚学校奥数数学课本-举一反三——五年级分册第６周 尾数和余数
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第6周 尾数和余数
专题简析:
自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析 因为213=210，3，把210分解质因数:210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一
1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些,
3，写出除1290后余3的全部三位数。
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例题2 (1)125×125×125ׄ„×125[100个25]积的尾数是几,
(2)(21×26)×(21×26)ׄ„×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几,
分析 (1)因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5;
(2)每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个(21×26)连乘，积的个位还是6。
练习二
1，21×21×21ׄ„×21[50个21]积的尾数是几,
2，1.5×1.5×1.5ׄ„×1.5[200个1.5]积的尾数是几,
3，(12×63)×(12×63)×(12×63)ׄ„×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几,
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例题3 (1)4×4×4ׄ×4[50个4]积的个位数是几,
(2)9×9×9ׄ×9[51个9]积的个位数是几,
分析 (1)我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4;4×4×4×4的个位是6„„由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50?2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。
(2)用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51?2=25„„1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
练习三
1，24×24×24ׄ×24[2001个24]，积的尾数是多少,
2，1×2×3ׄ×98×99，积的尾数是多少,
3，94×94×94ׄ×94[102个94],49×49ׄ×49[101个49]，差的个位是多少,
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例题4 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少,
分析 因为1/7?0.142857142857„„，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100?6=16„„4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。
练习四
1，把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
2，5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几,
3，有一串数:5、8、13、21、34、55、89„„，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少,
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例题5 555„55[2001个5]?13，当商是整数时，余数是几,
分析 如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。
从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现。2001?6=333„„3，所以，当商是整数时，余数是4。
练习五
1，444„4?6[100个4]，当商是整数时，余数是几,
2，当商是整数时，余数各是几,
(1)666„6?4[100个6]
(2)444„4?74[200个4]
(3)888„8?7[200个8]
(4)111„1?7[50个1]
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