局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次线性算子的有界性

局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次线性算子的有界性 局部紧Vilenkin群上一类Herz空间中的次 线性算子的有界性 第22卷 第2期 湖北师范学院(自然科学版) JournalofHubeiNormalUniversity(NaturalScience) V01.22 NO.2,2002 局部紧Vilenkin群上一类Herz空间 中的次线性算子的有界性 郑绿洲熊革郑荣臻 (湖北师范学院数学系,湖北黄石435002) 摘要:得到局部紧Vilenkin群上一类加幂权的Herz空间中次线性算子的有界性定理,对未加权情形亦得 到有界性判定条件. 关键词:Vilenkin群;幂权Herz空间;次线性算子 中国分类号:O177.3文献标识码:A文章编号:1009-2714(2002)02-0025-04 1预备知识 局部紧Vilenkin群上Herz空间中次线性算子有界性问题,文El3EZ3等作了深入的研究,杨大春 和T.Kitada证得了如下一般性的结论(见文E23) 定理A设l?A.(G)(Muckenhoupt类),2?A%(G),0<p?o.,1<g<o.如果次线性算子7'在 L:^(G)上有界,且对任意具有紧支集的可积函数厂满足 ITf(I<~Cofsuppfd每suppf(1) 其中C.不依赖厂和z,那么对满足下列条件之一的-和z: (i)l=2,l<~qz?g,一g0/q<aqz<1--qz/q (ii)1?口<o.,1?g2<o.,O<aql<1--qz/q 71在(.,2;G)上有界. 本文将研究当q.=g:=1时"端点"处a一1—1/q的Herz空间中次线性算子有界性.这类Herz空 间的非齐次情形我们称之为Beurling代数.我们将得到加幂权Beurling代数上次线性算子的有界性 定理,而对不加权的平凡情形,我们只需对条件稍加修改,为介绍和证明这些结果,首先引入如下定 义,记号和定理. 本文中我们用G 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示一个局部紧Abel拓扑群,它包含一列严格递减的紧开子群{G)一,满足 (i)U.G=G且n,一{0),(ii)sup{阶(/G+.)):=B<o.,设r表示G的对偶群,对每个,l ?z,令表示G的零化子,即一{r?r:y(z)=1对所有z?G),那么{)=:l一是一列严格递增 的r的紧开子群,有(i)U,—r,n,一{1),(ii)阶(+./)一阶(G/G.+.),我们选择 G上Haar测度d(或dx)和r上Haar测度,IAI表示G或r的可测子集A的测度,那么Ir 一 II:=,n?Z,特别地有m.一1,因为2m?.?B巩.对所有n?Z成立,所以对任意a>0,志 (收稿日期)Z00l—ll—lZ (作者简介)郑绿洲(1967一).女,讲师,硕士 ?25? ?Z成立 ?()一t?c()一t?()t?c()t 如果我们定义函数d:G×G—R如下:当x--y=O时,d(x,)一0,当x--yEGI\G_+.时,d(x,) 一 (),,那么d定义了一个G×G的距离,且由此距离导出的拓扑就是G的原始拓扑, 对X?G,规定 IXI—(z,0),设山为非负权函数,则G上相应于测度cod/.,的Lebesgue空间记作(G).特别地,若 山一IXI.,则(G)记作(G)对厂?(G),0<p<oo,口?R,设 一 (』cI叫' 若a=0,则L0p(G)记作L'(G),II厂II记作lI厂,对G的.-7测集A,co(A)一Ico(x)dx 定义1设山-,山是非负权函数,0?a<oo,0<p,q<oo (a)齐次Herz空间K(山.,山;G)定义为 K:''(山-,山z;G)一{厂:厂,-1imKlI厂0:?,'-1..2.G)<o.} 其中 0厂lI文c-1..2Ic,一{,量[031(G)]叩lIfXG,\G,+t0,)' (b)非齐次Herz空间K(山.,山;G)定义为 K:''(山-,山z;G)一{厂:f,-l'i~K0厂0?,'.1..2.m<oo} 其中 0fll.一(G.)fXG.II,:2(互[山-(G,)fXG,\G,+-2 特别地,当山-一山,口一1—1/q,户一1时,非齐次Herz空间-1(?,山;G)叫做Beurling代数,记作 (G,山) 定义2设山-,山z为非负权函数,0?a<oo,0<p,q<oo--个函数6(z)?以(G)叫做中心(口,q;山.,山) 块,如果对某个nEZ,有(i)suppbG.;(ii)0blI&?[山-(G.)]一 陆善镇和杨大春1995年在[3]中给出了Herz空间块分解(亦见[4]) 定理B令OJ1?A-(G),山z为任意非负权函数,假设0<口<o.,1?q<o.,0<户<o.,那么fE''(山., 山;G)(或K(~O190"#2G))当且仅当厂(z)一. ?(z)(或. ?(z)),其中是具有紧支集的 中心((,q;山.,山)块,?II,<o.(或?Is--~ I,<o.)进一步有 A,bbG 0厂II文:,--,inf{(?,)') 或 0,IIc-lc,"-,inf{(?,)') 其中下确界对所有厂的上述块分解取. 2主要结果及其证明 定理1设l<p<cx~,0<户?1,0<p<l一1/q,如果次线性算子T满足尺寸条件(i)且在L(G)上有 界,那么T在商-1/q.p(,;G)(或…KI-1/q.I,(top,;G))上有界,其中一IxI一 证明只证明齐次情形,非齐次情形证明是类似的,设fek]--1/q.p(top,;G),因为0<3<1—1/ ?26? q,=IzI一?A(G),所以根据定理B有f:?二.L,b,其中b是中心(1—1/q,q;?,)块, suppbG,IIbII,[oJp(G)~l/q--19且IIfII~l--llq,7c."--inf{(?II')"'}.注意一I<0, JGIIxI如一J.oPdx?E(mj?C(mk. 注意到O<p?1,为次线性算子,我们有 IITfII""广 .量[oJp(G)?)雄II ?. ?[oJp(G)"](1--1/q)p,II(Tb)舭II ?,?[oJp(G)](卜II(Tb』)II _, ?II'II丁l6』II一m. 其中一\G件,因此,要证明在矗一,(,cc,,G)上有界,只需证明对任意 IIiII](1--I/q,#t?, IIJII‰一-,"广.[(G)II(Tb』)II ?c?()c?_l/mII(Tb』)II+c?()c?圳,II(Tb)I = C(l+2) 对,由丁的(G)有界性,有 c?((~-1)(1-1/q)p(『Gx\Gz+IITbIzI ?c.?()c--1)(1--1/q)p+IIII ?c.((#'--1)(1-1/q)p+叫fI6,(圳zdz.(GIIG=JI1, ?c.?()c--l+l/q)p()十p?c 注意一l+l/q<O,对z,利用定理所给的尺寸条件,并注意到当x6G+,?G,正< 时,Ix—I = IxI,我们有 c?互J--I(mk)~#-I)(1--1/q)p(_fGt\GtId^一\J+IlJz—ll../ ?c?互j--I(1)(1_lM??)Idy)' ?c互j--1(?6,(II-ady)??d ?c?(,,z^)()'--1)(1/q--1)p(,)一(+l—l伽p ?c?(^)()一?c 定理1证毕. 当p=1时,定理1非齐次情形就是以下推论 推论设l<q<oo,O<<1—1/q,如果次线性算子满足尺寸条件(1)且在(G)上 有界,那么 在A(G,)上有界 从定理1的证明来看,=0时推导不成立,对于不加权的情形,只需对尺寸条件稍加 修改,可得 如下结论.. 定理2如果次线性算子丁在(G)上有界,1<q<..,且对任意具有紧支集的可积函 数厂满足尺寸 条件 训?cJcVzsuppf(2) 其中e>O,那么丁在嗣_1几?(G)上有界,其中0<p?1. 证明若厂?K:一^h'(G),根据定理B,厂一,其中b为中心(1—1/q,q)块,sup户6?G?,II b.0?(优.)卜注意到0<p?1,丁为次线性算子,我们有 II-l,口.一ll(Tf)zG.ll:十(优.)n向ll()'?… ?一一(丁6|~)XG0十?(优.)(1/q-1)p?一(Tb25IIIIGoII25IIII(Tb』)II:?(丁6| 十.(优..』): ??一{II(Tb)XG0II:+?-1(优.)…一II(Tbj)XII:} ??一IITbjII 因此只需证明对任意?0 II7II.,?C ll丁6一(II(Tb-1(优? m0(Tbi)X+互(优?II(Tb』I: :=l+ 注意当j--o时亦分两项,第一项为ll(Tb.)xG.,对-,利用T的L(G)有界性,有 .?cIIbiII:+c?(优.)…一IIII ~<cIIII:(…?c((优m_1)p ?C 对z注意当z?GAG?+,yEGj,点<时,Iz—YI—I,利用尺寸条件得 . j-1 c优m一"辨q ? .薹(优m优哪)ld.y) ? 量c优?d(dy) ?. ?(优.)叩(优)(1-1/q)p(优,) ?.(优I)叩?C(m厂-1)'?C(mo)叩?Ct一 定理2证毕. (下转第37页) ?28? 科学技术运用的哲理思考为指导思想的产物. 所以,环境材料在人与自然共存共荣中也起着非常重要的作用.21世纪是材料科 学发展的新时 代,我们有理由相信,环境材料也必定会得到极大的发展,并对环境保护做出不可 磨灭的贡献. 参考文献: (1]宋志华.可持续发展的哲学思考.学术交流,1998,(5):19 (2]王秀峰.绿色材料.科技导报.1994,9:44 C33侯静泳.生物及环境材料,北京:化学工业出版社,1997 [4]成国强,刘静.孙清池等.环境与微粒材料.环境保护科学,1996,22(2);l (5]萧纪美.环境与材料.材料科学与 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 ,1997,15(2):l PhilosophyofThinkingaboutEnvironmentMaterials YIHui-yang,LUJiang-lin (DepartmentofChemistryandEnvironmentEngineering, HubeiNormalUniversity,HubeiHuangshi435002) AbstractBecauseoffacetherigoroussituationofpopulationinflation,resourcesmissingand pollutionofthe environment,theconceptofenvironmentmaterialwasputforward.Expatiationtheparticlematerialsthatisvery potentialintheenvironmentmaterialhaveafewexamplesoftheapplicationforeground.Fromthedialectics standpoint,tOresearchenvironmentmaterialwithdevelopwillbringintoplayaveryimportant,positivefunctionin thecoexistencetotallygloryofthepersonandnature. Key word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 sEnvironmentEngineering;Particlematerial;dialectics (上接第28页) 参考文献: C1]LuShanzhen,YangDachun.BoundernessofsubliearoperatorsinHerzspacesonVilenkngroupsandits application.Math.Nachr.,1998,191:229 C2]YangDachun.ApplicationsofweightedweakHerz— typespacesoverVilenkingroups.Indian.Journalof Mathematics,1999,41:455 (3]LuSZ,YangDC.ThedecompositionofHerz-spacesonlocalfieldsanditsapplications.J.ofMath.Ana1.8L App1.,1995,196l296 [43FanDashan,YangDachun.Herz— typeHardyspacesonVilenkinggroupsandtheirapplications.ScienceinChina (SeriesA),2000,43:481 C5]LuSZ,SorizF.SublinearoperatorsOntheBeurlingalgebraswithpowerweights.J.ofBeijingNormalUniversity (NaturalScience),1994,30:170' SublinearOperatorsonaClassofHerzSpacesOver LocallyCompactVilenkinGroups ZHENGLu—zhouX10NGGeZHENGRong—zhen (DeparmentofMathematics,HubeiNormalUniversity,HubeiHuangshi435002) Abstract:Inthispaper,boundednesstheoremofsuhlinearoperatorsonaclassofHerzspaceswithpowerweightsover locallycompactVilenkingroupsisobtained.Forthecaseunweightedwealsogetasufficientcondition. Keywords..Vilenkingroup;powerweight;Herzspace;sublinearoperator ?37?