常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为 是线性齐次系统（LH）的一个基本解矩阵，由定理2.5知 在区间J上满足矩阵微分系统 ,即 ， 所以由 确定的线性齐次系统（LH）必唯一。 2.证明：因为 ， 分别是 和 的解，所以 ， 因而 所以 常数。 3.证明：设 为系统 的一个基本解矩阵，则由定理2.11知 是系统 的基本解矩阵，由定理2.4知系统 满足初始条件 的特解为 ， 由题可知 与 在 上有界，从而由定理2.24知 和 使得 ,利用常数变易法公式（2.32），可知式 的初始条件为 的解满足 因为 所以 ，利用格朗瓦尔不等式有 记 设 则 有 从而 所以系统 的一切解都在 上有界。 4.解：设以矩阵 为基本解矩阵的线性齐次系统为 则 即 得 整理得 解得 所以齐次系统 即为所求。 5.（1）解：由 ，分离变量得 解得 由 得 ，解得 故原方程组得通解为 （ ， 为不为零的常数） （2）解：由第一个分离变量得 解得 。由 得 解得 故原方程组得通解为 6. (1)解：原方程组化为 可化简为 由初等积分法得   （Ⅰ）又知初值 代入（Ⅰ）得 ，所以 解得 （2）解：①+②得 解得 （ 为常数）③令 则 代入①得 ，即 两边积分得 （ 为常数），整理得 （ ）代回原变量得 ④。将初值 代入③，④得 得 得解 7．证明：令 （ 为常值向量） ，那么 ， 。因为 是 的解，所以由以上两式得 ， 。又因为 ,所以有 ， 。所以根据解的惟一性定理可知， ，因而有 。令 ，代入上式得 ,因而 。 8.证明：此方程的满足初始条件 的初值问题可等价于积分方程 对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只需考虑 , ， ， 由归纳法易知 显然 ，可得原方程的通解为 ，其中c为任意的常值列向量。 9. (1)解：矩阵A的特征值为3，-2，对应于 =3的特征向量 满足代数方程组 ，所以 是 =3的一个特征向量。同理 对应的特征向量为 ， 故 （2）A的特征方程为 ，解之，得特征根为 。对应于 的特征向量 满足代数方程组 所以 是 对应的一个特征向量。同样可得 对应的一个特征向量为 。由A的特征值的特征向量组成的矩阵 ，其逆矩阵 ，所以 （3）解：有： 从而 于是 （4）解：有 ，从而 于是 10.（1）解： ,矩阵A经过初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B有相同的特征值。矩阵B为分块矩阵，设 ,则可知1为B的一个特征值。下面求 的特征值。其特征方程为 。则可得 。对于矩阵A，存在一个非奇异的矩阵P，使得 ,所以 。故 . 11. (2)解：先求对应的齐次方程组 的通解。特征方程为 ，特征值为 。对应于 的特征向量 满足代数方程组 ，所以 是 对应的一个特征向量。同理可得对应于 的特征向量为 。所以得齐次方程组的通解为 。用常数变易法，令 将其代入原方程组，得 解之得 ，积分得 得原方程组的一个特解 因此原方程组的通解为 即 （3）解：先求对应的齐次方程组 的通解。特征方程为 。特征值为 。对应于 的特征向量 满足代数方程组 。所以 是 对应的一个特征向量。此时可得方程组的一个复值解 ，其实部和虚部就是方程组 的两个实值解。且显然它们线性无关。所以得齐次方程组的通解为 ，其中 ， 是不为零的常数。用常数变易法，令 ，将其代入原方程组，得 解之得： ，积分得 得原方程组得一个特解为 ，因此原方程组得通解为 ，即 。 （4）解：先求对应的齐次方程组 的通解。易知特征方程为 特征值为 。因此，齐次方程组有形如 的解。将其代入非齐次方程组并消去 后得 比较t的同次幂的系数可得 ，即 。令 ， ，则 ，那么相应的特解为 ，令 ， 则 ，那么相应的特解为 。因此，齐次方程组的通解为 。用常数变易法，令 ，将其代入原方程组得 解之得 积分得 。得非齐次方程组的一个特解为 于是，原方程组的通解为 。即 12.解：对于方程组 ，由 ，分离变量得 解得 由 得 ，解得 故原方程组得通解为 （ ， 为不为零的常数），则得系统的一个通解为 ，则它的基本解矩阵 ，又 ，故 。C的特征方程 。故其特征值为 。有 得 ，故 ，则得该系统的特征乘数 ，特征指数 。 13.证明：设 是系统（LHP）的一个基本解矩阵，由定理2.19可知，存在一个可微的周期为T的非奇异矩阵函数 ,以及一个常值矩阵R，使得 ，设J是矩阵R的约当标准型，则存在非奇异常值矩阵S使得 ,所以 。根据定理2.8，且因为 是系统（LHP）的一个基本解矩阵，所以 也是系统（LHP）的一个基本解矩阵。记 。所以 。由该系统有一个特征指数是 ，则该系统就有形如 的解，由 是一个常数，故证明了该系统有一个特征指数是 的充分必要条件是该系统有形如 的解。 14.证明：系数矩阵的特征方程为 。则可得特征值为 。 。又 ， ， 求C的特征方程为 ，故得C的特征值为 。故此系统的特征乘数为 。 15.证明：1）设 是系统（LNP）的以T为周期的周期解，则显然必须有 。反之，设 是(LNP)的解，且 .下证 是以T为周期的函数。由 以及     可得 并且 ， 由初值问题（1）的解得存在惟一性知 。 2）设 是以 ， ， 为列向量的 阶方阵，则用常数变易法可求得(LNP)的任一解为 即 由1）知 是以T为周期的解得充要条件是 ，因此 亦即 由下述方程确定 其中 是 阶单位矩阵。此式子能惟一确定 的充要条件是 即矩阵 没有等于1的特征根。 16.  解: 作变换，令 ，则 ， ，那么，原方程组变为 ，其特征方程为 ，特征值为 。 相应于 的特征向量 应满足 即 ，令 ，则 ，那么相应于 的特解为 。 相应于 的特征向量 应满足 即 ，令 ，则 ，那么相应于 的特解为 。 所以方程组得通解为 代回原变量得方程组得通解为 即 ，（ 为非零常数） 它们的朗斯基行列式为 。 在 时等于0，但当 时 ，这不与定理2.7矛盾，因为在计算过程中 ，所以 在 是都不等于零。 17.证明： 充分性：由式（2.88）成立，则可知零解是一直稳定的。不失一般性，令 ，则对 有 ，于是零解是全局指数稳定的。 必要性：设系统（LH）的零解 对 是全局指数稳定的。则由定义1.12知道，有 ，使得对任何 ，存在 ,使得当 时，对于一切 有 于是有 即证式（2.88）成立。 18.证明：系统 的满足初始条件 的特解为 ，由于它的零解是渐进稳定的，由定义1.4可知，对 ，存在 使 时对一切 有 ，同时 使得当 时 。利用常数变易法可得系统 的解为 。对于上述 ，当 时，对一切 ， 从而可知系统 的一切在 上有界，即它的零解对 是稳定的。对于上述 当 时 而 由迫敛性知 。所以系统 的零解对 是渐近稳定的。 19.证明：系统 满足初始条件 的特解为 。由于该系统的零解是稳定的，由定义1.4知，任取正数 （b为常数）存在 使得当 时 ， 利用常数变易法可得系统 的解为 ，因此 ， 。因为 所以记 即 由此可见系统 的一切解在 上有界。 20.证明：对于系统 ，令 ，则原系统可化为 ，此系统对应的特征方程为 ，其特征值为 ，故可得到该系统的零解是稳定的，又由对于线性自治系统来说，稳定与一致稳定是等价的，故系统 的零解是一致稳定的。 对于系统 。令 ，则原系统可化为 ，此系统对应的特征方程为 ，其对应的特征值为 ，这两个特征值的实部均大于0，所以这个扰动系统的零解是不稳定的。 23.证明：对于线性系统 ，设 是一个未受扰解，令 则得扰动系统为线性齐次系统 ，系统 的未受扰解 对应扰动系统的零解 。设 是系统 的一个基本解矩阵，则该系统满足初始条件 的特解为 。因为 为不变的量，故 与初始值成比例，比例系数为 ，则可得系统 解的稳定性结果与初始值的大小无关，又由系统 的稳定性与 零解的稳定性一致，故得对于线性系统 的任何解 ，局部稳定性与全局稳定性是等价的。 继续阅读