数学悖论奇景

数学悖论奇景 “悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主要有三种形式:1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的(佯谬);2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了(似是而非);3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。 悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道:“这套戏法是怎么搞成的,”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。 著名的《科学美国人》杂志社编的《数学悖论奇景》中，有不少生动而奇妙的 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目，下面几则便选自其中。有的题目作了简略的分析，有的只提出问题，留侍读者去思索。 1.唐?吉诃德悖论 小说《唐?吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题:“你来这里做什么,”回答对了，一切都好办;回答错了，就要被绞死。 一天，有个旅游者回答:“我来这里是要被绞死。” 旅游者被送到国王那里。国王苦苦想了好久:他回答得是对还是错,究竟要不要把他绞死。如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了～如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。实在是左右为难～ 2.梵学者的预言 一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。 苏椰:你是一个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。 学者:我肯定能。 苏椰:不，你不能。我现在就可以证明它～ 苏椰在一张纸上写了一些字，折起来，压在水晶球下。她说: “我写了一件事，它在3点钟前可能发生，也可能不发生。请你预言它究竟是不是会发生，在这张白卡片上写下‘是’字或‘不’字。要是你写错了，你答应现在就买辆汽车给我，不要拖到以后好吗,” “好，一言为定。”学者在卡片上写了一个字。 3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿出来，高声读道:“在下午3点以前，你将写一个‘不’字在卡片上。” 学者在卡片上写的是“是”字，他预言错了:“在下午3点以前，写一个‘不’字在卡片上”这一件事并未发生。但如果他在卡片上写的是“不”呢,也还错～因为写“不”就 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示他预言卡片上的事不会发 生，但它恰恰发生了——他在卡片上写的就是一个‘不’字。 苏椰笑了:“我想要一辆红色的赛车，爸爸，要带斗形座的。” 3.意想不到的老虎 公主要和迈克结婚，国王提出一个条件: “我亲爱的，如果迈克打死这五个门后藏着的一只老虎，你就可以和他结婚。迈克必须顺次序开门，从1号门开始。他事先不知道哪个房间里有老虎，只有开了那扇门才知道。这只老虎的出现将是料想不到的。” 迈克看着这些门，对自己说道: “如果我打开了四个空房间的门，我就会知道老虎在第五个房间。可是，国王说我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五个房间。” “五被排除了，所以老虎必然在前四个房间内。同样的推理，老虎也不会在最后一个房间——第四间内。” 按同样的理由推下去，迈克证明老虎不能在第三、第二和第一个房间。迈克十分快乐，他满怀信心地去看门。使他惊骇的是，老虎从第二个房间跳了出来。 迈克的推理并没有错，但他失败了。老虎的出现完全出乎意料，表明国王遵守了他的诺言。也许，迈克进行推理的本身就与国王关于老虎“料想不到”的条件发生了矛盾。迄今为止，逻辑学家对于迈克究竟错在哪里还末得到一致意见。 4.钱包游戏 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说:“我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另一个钱包中的所有钱。” 学生甲想:“如果我的钱多，就会输掉我这些钱;如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要比输的多，这个游戏对我有利。” 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 请问，一个游戏怎么会对双方都有利呢, 5.一块钱哪儿去了, 一个唱片商店里，卖30张老式硬唱片，一块钱两张;另外30张软唱片是一块钱三张。那天，这60张唱片卖光了。30张硬唱片收入15元，30张软唱片收入10元，总共是25元。 第二天，老板又拿出60张唱片。他想:“如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖三张，何不放在一起，两块钱卖5张呢,”这一天，60张唱片全按两块钱5张卖出去了。老板点钱时才发现，只卖得24元，而不是25元。 这一块钱到哪儿去了呢, 6.惊人的编码 外星的一位科学家基塔先生，来到地球收集人类的资料，遇到了赫尔曼博士。 赫尔曼:“你何不带一套大英百科全书回去,这套书最全面地汇总了我们的所有知识。” 基塔:“可惜，我带不走那么重的东西。不过，我可以把整套百科全书编码，然后只要在这根金属棒上作个标记，就代表了百科全书中的全部信息。”真是再简单不过了～ 基塔先生是怎样做到的呢, 基塔:“我先把每个字母、数字、符号，都用一个数来代表，零用来隔开它们。例如cat一词就编为3,0,1,0,22。我用高级袖珍计算机快速扫描，就能把百科全书的全部内容转变为一个庞大的数字。前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数，例如…… 基塔先生在金属棒上找到了一个点，这个点将棒分为a和b两段，而a,b刚好等于上面那个十进制分数值。 基塔:“回去后，测出a和b的值，就求出了它们的比值;根据编码的 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ，你们的百科全书就被破译出来了。” 这样，基塔离开地球时只带了一根金属棒，而他却已“满载而归”了～ 7.不可逃遁的点 帕特先生沿着一条小路上山。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨沿同一小路下，晚上七点又回到山脚，遇见了拓扑 学老师克莱因。 克莱因:“帕特，你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同,” 帕特:“这绝不可能～我走路时快时慢，有时还停下来休息。” 克莱因:“当你开始下山时，设想你有一个替身同时开始登山，这个替身登山的过程同你昨天登山时完全相同。你和这个替身必定要相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定会有这样一点。……” 帕特明白了。你明白了吗, 8.橡皮绳上的蠕虫 橡皮绳长1公里,一条蠕虫在它的一端。蠕虫以每秒1厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行;而橡皮绳每过1秒钟就拉长1公里。如此下去，蠕虫最后究竟会不会到达终点呢, 乍一想，随着橡皮绳的拉伸，蠕虫离终点越来越远了。但细心的读者会想到:随着橡皮绳的每次拉伸，蠕虫也向前挪了。 如果用数学公式表示，蠕虫在第n秒未在橡皮绳上的位置，表示为整条绳的分数就是(推导过程从略): 当n足够大(约为e100000)时，上式的值就超过了1，也就是说蠕虫爬到了终点。 9.棘手的电灯 一盏电灯，用按钮来开关。假定把灯拧开一分钟，然后关掉半 分钟，再拧开1/4分钟，再关掉1,8分钟，如此往复，这一过程的末了恰好是两分钟。 那么，在这一过程结束时，电灯是开着，还是关着,这个问题实在是难～ 10、罗素悖论 一天，一个理发师挂出了一块招牌:“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他:“您的头发由谁理呢,”理发师顿时哑口无言。因为如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那一类。但是，招牌上说明他不给这类理发，因此他不能自己理发。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上说明他要给所有不自己理发的人理发，因此他应该自己理。由此可见，不管做怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为他们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论是基础上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年“罗素悖论”的提出，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新 成果，也带来了数学观念的变革。 11、上帝不是万能的 用反证法证明证明:假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的;但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾;所以原假设不成立，即上帝不是万能的