函数项级数一直收敛性的研究
标题:函数项级数一致收敛性的研究
作者:丘富文
关键词:函数级数柯西收敛准则一致收敛的M判别法费马定理运用极致的思想和一致收敛函数列与函数项级数的性质
指导老师:刘伟群
专业:数学与应用数学(师范)
正文:
1引言与预备知识
目前通用的数学分析教材(如华东师范大学,复旦大学,吉林大学,北京师范大学等)其介绍的主要内容如下:M判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法,柯西收敛准则等,用来判别一些级数的一致收敛性问题,其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。然而一些特殊级数作以上的这些方法难于求解,故需进一步的讨论。
定义1.1
设{Un}是定义在数集E上的一个函数列,表达式:U1(x)+U2(x)+~~~+Un(x)+~~~,x∈E 称为定义在E上的函数项级数,简记为∑Un(x)。
定义1.2
设{Sn(x)}是函数项级数∑Un(x)的部分和函数列。若{Sn(x)}在数集D上一致收敛于函数S(x),则称∑Un(x)在D上一致收敛于函数S(X),或称∑Un(x)在D上一致收敛。
定理1.1(函数项级数一致收敛的柯西收敛准则)
函数项级数∑Un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为:对任给的正数ε,总存在某正整数N,使得当n>N时,对一切x∈D和一切正整数p,都有|Sn+p(x)-Sn(x)|<ε。
此定理中当p=1时,得到函数项级数一致收敛的一个必要条件。
推论
函数项级数∑Un(x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列{Un(x)}在D上一致收敛于零。
设函数项级数∑Un(x)在D上的和函数为S(x),称Rn(x)=S(x)-Sn(x)为函数项级数∑Un(x)的余项。
定理1.2(费马定理)
设函数f在点X0的某领域内有定义,且在点X0可导。若点X0为f的极值点,则必有f在X0的导数为零。
费马定理的几何意义非常明确:若函数f(x)在极值点X=X0可导,那么在该点的切线平行于X轴。
定理1.3(魏尔斯特拉斯判别法)
设函数项级数∑Un(x)定义在数集D上,∑Mn为收敛的正项级数,若对一切x∈D,有|Un(x)|≤Mn, n=1,2,…则函数项级数∑Un(x)在D上一致收敛。
注:定理1.3也称为M判别法或优级数判别法。
下面讨论定义在区间I上形如:
∑Un(x)Vn(x)=U1(X)V1(X)+U2(X)V2(X)+…+Un(x)Vn(x)+…的函数项级数的一致收敛性判别法(1)
定理1.4 (阿贝耳判别法)设
(ⅰ) ∑Un(x)在区间I上一致收敛;
(ⅱ) 对于每一个x∈I,{Vn(x)}是单调的;
(ⅲ) Vn(x)在I上一致有界,即对一切x∈I和正整数n,存在正数M,使得|Vn(x)|《
M,则级数(1)在I上一致收敛。
定理1.5(狄利克雷判别法)设
(ⅰ)∑Un(x)的部分和函数列 Un(x)=∑Uk(x) (n=1,2,…)在I上一致有界;
(ⅱ)在I上Vn(x)一致收敛于0 (n趋近无穷);
则级数(1)在I上一致收敛。
我们在学习导数和微分的概念的时候已经知道,如果函数在某点X0可导,则有即在该点X0的附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为高阶无穷小量。虽然在许多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或更高次的多项式逼近,并要求误差为0((X-X0)的n次),其中n为多项式的次数。为此,我们考察任一n次多项式逐次求它在点X0处的各阶导数,得到由此可见,多项式的各项系数由其在点X0的各价导数值唯一确定。
对于一般函数f,设它在点处存在直到N阶的导数,由这些导数构造一个N次多项n 式称为函数在点处的泰勒(TALOY)多项式,它的各项系数称为泰勒多项式系数。由上面对多项式系数的讨论,易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至N阶导数值,即
定理1.6
若函数f在点X0存在直至n阶导数,则有f(x)=Tn(x)+0((X-X0)n次)。
2下面讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性,可积性与可微性。
定理2.1
设函数列{Fn}在(a,X0)∪(X0,b)上一致收敛于f(x),且对每个n,limFn(x)=An,则limAn和limf(x)均存在且相等。
这个定理指出:在一致收敛的调件下,{fn(x)}中两个独立变量x与n,在分别求极限时其求极限的顺序可以交换。
定理2.2(连续性)
若函数列{Fn}在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续。
由此定理可知:若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续,则此函数列在区间I上不一致收敛。
例如:函数列{x^n}的各项在(—1,1],但其极限函数f(x)={0,-1
总结
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和发展。
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