第二章第十三节曲面上法曲率的最值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面[修改版]

第二章第十三节曲面上法曲率的最值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面[修改版] 第二章 曲面论 第十三节 曲面上法曲率的 最大值、最小值、 高斯曲率、平均曲率、极小曲面 根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主 曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念. 一、 法曲率的最大值、最小值 ,, ,,:(,)rruvP曲面上一点 k():ddudv,沿一方向上的法曲率为n ,, k,n , 22LduMdudvNdv()2()，， ,22 ，(1)EduFdudvGdv()2()，， k我们考虑法曲率的最大值、n 最小值问题。 du ,, 设，则有 dv 2LMN,,，，2 k,n2， EFG，，2,, 这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。 22LMNkEFG,,,,，，,，，,2(2)0，n 2()2()0LkEMkFNkG,，,，,,,,，nnn 此二次方程有根，当且仅当 2()()()0MkFLkENkG,,,,,，nnn 222,,，,，,,,()(2)()0EGFkLGMFNEkLNM。nn kk,()kk,设是方程1212 222,,，,，,,,()(2)()0EGFkLGMFNEkLNM，(2)nn 的两个根， kkk,, 则有， 12n k 于是的最大值、最小值分别为n kk, ，且由方程(2)所解出。21 由 韦达定理，便得 2 LNM, kk,122， EGF, LGMFNE,，2 kk，,122 。EGF, kkk,,将代入 n12 2LMN,,，，2 k,n2，EFG，，2,, ,,,k解出两个根，就得到使达到21n最大值、最小值的方向。 ,, ,,:(,)rruv对曲面上一给定 kPuv(,)点, 法曲率 是切方向n ():ddudv,的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向. 二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率 kk, 设分别为曲面上一点处的21 法曲率的最大值、最小值，则将它 kk们的乘积称为曲面在这一点的12 K高斯(Gauss)曲率，通常以表示，Kkk,，它描述了曲面在一点处总12 的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率; 1 ()kk，12它们的平均数称为曲2 H面在这一点的平均曲率，通常以 1 Hkk,，()12表示，，它描述了曲面在2 一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。 由方程(2)及韦达定理，便得 2 LNM, Kkk,,122，EGF, 12LGMFNE,， Hkk,，,()122 。22()EGF, 2kHkK,，,20 。nn 三、 计算高斯(Gauss)曲率、 平均曲率的例题 R, 设是半径为的球面， 11 kkk,,,,n21由于，RR 1 K,2所以球面的高斯曲率，R 1 H, 平均曲率 。 R , ruvuvbv,(cos,sin,)【例1】 求正螺面 的主曲率, 总曲率和全曲率. 【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下 2222 ,,，，()()()duubdv， ,2b ,,,dudv 22， ub， 由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两 个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 , 得到 ,,2Mdudvk,,n22，,，EduGdv()() 122由于 ，|2|||[()()]MdudvMEduGdv,， EG 11,,,MkM所以，有，||||nEGEG 于是 正螺面的主曲率k1; k2, 总曲率K和平均曲率H 分别为 ||||bb kk,,,,212222，()()ubub，， 22,Mb Kkk,,,,12222 ，EGub()， 1 Hkk,，,()012 。 2 ,, Crrs:(),s【例2】 设是一条空间正则曲线, 是自然参 ,,, Srstrsts:(,)()(),，,数，其切线构成的曲面为， ,CS其中是的单位切向量. 求的Gauss曲率.,()s k,,【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为， ,,, ,,,,,基本向量为 。 ,,,,, rsrstk,,，,,,(),()则，ts 于是 ,,,, ErrFrr,,,,,,1,1, ttts ,,22 Grrtk,,,，1ss 进一步计算得到 ,,, rrk,,0,,， ttts ,,,,2,， rtksktkstk,,,,()(()),,，，，ss ,, ,,rr，ts,n,,,,; ||||rr，ts 所以 ,, Lnr,,,0， tt ,, Mnr,,,0， st ,, Nnrtk,,,, ss 因此曲面S 的Gauss曲率为 2LNM, K,,02 。 EGF, 例1、 求曲面 z,f(x,y),(x,y),D,: 的高斯曲率、平均曲率。 解 我们已经得出 第一类基本量为 ,,2Errf,,,，1()， xxx ,, Frrff,,,xyxy， ,,2Grrf,,,，1(); yyy 第一基本形式为 2222,,，，，，(1())()2(1())()fdxffdxdyfdy;xxyy 第二类基本量为 ,,fxxLnr,,,xx22，，，ff1()()xy f,,yy Nnr,,,yy22，1()()，，ffxy 第二基本形式为 fffxyyy22xx。()2(),,,，，dxdxdydy2222221()()1()()1()()，，，，，，ffffffxyxyxy 代入计算，可得 2fff,()xxyyxy K,222， [1()()]，，ffxy 22(1)2(1)，,，，fffffffyxxxyxyxyyH,。2232(1)，，ffxy 1,f Hdiv,容易验证 。221||，,f 221xy2,:z,c(1,,)求上半椭球面上122ab的高斯曲率; 221xy2,,,,,:(1)zc求下半椭球面上222ab 的高斯曲率。 例2、求旋转曲面 , rxtxtzt,(()cos,()sin,()),,,:。 02,,,,(这里， xtatb()0,,,, ) 的高斯曲率、平均曲率。 , rxtxtzt,(()cos,()sin,()),,解 ， , rxtxt,,(()sin,()cos,0),, ，, , ,,,rxtxtzt(()cos,()sin,()),,,，t ,22Erxt,,||||() ， , ,, Frr,,,0， ,t ,222,,Grxtzt,,，||||(())(())，t 22,,，EdGdt()(),， ,,2||||rrEGF，,, ,t 22,,,，xtxtzt()(())(())， ,, ,,,rr,，{()cos,()sin,()}ztztxt,,,,tn,,,,22||||rr，,,(())(())xtzt，t, , rxtxt,,,(()cos,()sin,0),,，,, , ,,rxtxt(()sin,()cos,0),,,,，,t , ,,,,,,rxtxtzt(()cos,()sin,()),,,，tt ,,,xtzt()()Lnr,,,,,,， 22,,(())(())xtzt， ,, Mnr,,,0， ,t ,,,,,,,,xtztxtzt()()()(),Nnr,,,tt22。,,(())(())xtzt， 22,,,，LdNdt()(),。 22,,，LdNdt()(), k,,n22 ,，EdGdt()(), 22LEdNGdt()(),,， ，2222，，EEdGdtGEdGdt()()()(),, LNLN min{,}max{,},,kn则有 。EGEG LNLNk,min{,}k,max{,}12， 。EGEG LN Kkk,,12将基本量代入， EG 1LGNE，Hkk,，,()12，22EG 可算出 ,,,,,,,[()()()()]()xtztxtztzt, K,222，,,xtxtzt()[(())(())]， 22,,,,,,,,,ztxtztxtxtztxtzt()[(())(())]()[()()()()]，，,H,,。3222,,2()[(())(())]xtxtzt， ,,(2)若 的全曲率处处为零, 试判断曲面 的形状? ,(3) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : 若 的经线有垂直于旋转轴的切线, 则切点是曲面 ,上的抛物点. (2) 由(1)知, 全曲率处处为零的充要条件是 ,,,,,,,， [()()()()]()0xtztxtztzt,, , (i) 若 ，则f (常数), 因而曲面是垂直于z -轴的平面.zt()0,ztC(), ,,,,,,(ii) 若 ， xtztxtzt()()()()0,, ,,,,xtzt()()即，那么 ,,,xtzt()() ,,xtCztxtCztC()(),()(),,，， 1 C,0当常数时, 曲面为圆锥面; C,0当常数 时, 曲面为圆柱面. (3) 若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴), ,则zt()0, 从而K = 0, 所以切点为抛物点. xOz 特别地，将平面上曲线xxz,()z，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为 , rxzxzz,(()cos,()sin,),,， ,22Erxz,,||||()， , ,, Frr,,,0， ,z ,22,Grxz,,，||||1(())， z 2222,xzdxzdz()()[1(())](),,,，，， ,,2||||rrEGF，,, ,z 2,,，xzxz()1(())， ,, ,rr,，{cos,sin,()},,xz,,zn,,,,2||||rr，,1(())xz，z, , rxzxz,,,(()cos,()sin,0),,，,, , ,,rxzxz(()sin,()cos,0),,,,，,z , ,,,,rxzxz(()cos,()sin,0),,,，zz ,,xz() ,,,,Lnr,,， 2,，1(())xz ,, Mnr,,,0， ,z ,,,,xz() Nnr,,,zz2。 ,1(())，xz 122,,,,,,,，[()()()()]xzdxzdz 2,，1(())xz ,, k,n , 22,,1()()()(),，xzdxzdz,,,22222,xzdxzdz()()[1(())]()，，,,1(())，xz LN Kkk,,12将基本量代入，EG 1LGNE， Hkk,，,()12，22EG 可算出。 ,,xz() K,,22， ,xzxz()[1(())]， 2,,,1(())()()，,xzxzxz H,,32。2,2()[1(())]xzxz， zzt,()xOz 将平面上曲线(，zzx,() xt,z)绕轴旋转一周，则所得旋转 , rttzt,(cos,sin,()),,曲面为， 22,,,,,,,,,ztxtztxtxtztxtzt()[(())(())]()[()()()()]，，,H,, 3222,,2()[(())(())]xtxtzt， 2,,,,ztzttzt()[1(())]()，，,, 322,2[1(())]tzt， 2,,,,zxzxxzx()[1(())]()，，,, 。 322,2[1(())]xzx， 四、 极小曲面 定义 一个曲面如果它在每一 H,0点处的平均曲率，则称之为极小曲面。 可以证明，给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所 有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面，即平均曲率为零的曲面。 平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。 五、 旋转的极小曲面 现在我们要寻找出旋转的极小 H,0曲面，即求出的旋转曲面。 xxz,()xOz将平面上曲线， z绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为 , rxzxzz,(()cos,()sin,),,。 我们已知 2,,,1(())()()，,xzxzxz H,,32 。2,2()[1(())]xzxz， H,0 由可得， 2 ,,,1(())()()0，,,xzxzxz， 由此得 ,,,,xzxzxz()()() ,2， ,1(())()，xzxz 即 12 ,,,{ln(1(()))}(ln())，,xzxz 2 积分后，我们得到 2 ,xzaxz()1(()),，a,常数，。 从而可得 ,xz() ,1 2 xz() , ,12 a 上式可变成 2 xzxz()()1 ,,ln(1)}，,,2,aaa 积分后，得 2 xzxzz()() ln(1)，,,2,aaa 于是 z2xzxz()()a，,,1e2, aa z2,xzxz()()a,,,1e2又， aa 故得 zz,aaa()(),，xzee ， 2 这里省去了积分常数，因为它 只不过表示沿平行于旋转轴的平移 而己。 因此 因此曲面是由悬链线 zz,aaa,，()xee 2 旋转而成，称为悬链面。 在形状上它很像压扁了的单叶双曲旋转面。 故 旋转的极小曲面是悬链面。 zzx,()xOz将平面上曲线 zzt,()xt,z(，)绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为 , rttzt,(cos,sin,()),,， 我们已知 2,,,,zxzxxzx()[1(())]()，，H,, 。 322,2[1(())]xzx， H,0 若， 2,,,,zxzxxzx()[1(())]()0，，,则有， 2,,1[(())]1zx ,, ， 22,,2(())[1(())]zxzxx， 2,1(())zx ,,(ln)(ln),,x 2,2[1(())]，zx 2,1(())zx lnln,,，xC， 2,2[1(())]，zx 22,(())zxa ,a,0 ，常数， 22,[1(())]，zxx ,a,0(若，，，此时旋转曲面为平面。)zx()0,zxC(), 2axx,,zxa()ln(1),,,,，,2，22aaxa, 2xx zxa()ln(1),,，,， 2aaz2xxa1，,,e， 2aa z2,xxa,,,1e， 2aa zz,aaa,，()xee故得 。 2 法曲率的最值的特征值性质 k考虑法曲率的最值和最值方向n 的特征值、特征向量性质。 EFLM,,,, B,A,,,,,令，，MNFG,,,, 则有 ,, k,n , 22LduMdudvNdv()2()，， ,22 EduFdudvGdv()2()，， du,, (,)dudvB,, dv,,, du,,， (,)dudvA,, dv,, x,,， X,,,y,, 因此，最大值、最小值问题转化为 讨论 TTfXXBX(),在条件下的最大XAX,1值、最小值问题。 2T因为是有界闭集， SXRXAX,,,{:1} TfXXBX(),S在上连续， S所以kk在上存在最大值和最小值.fX()mM XXS,,存在，使得 Mm fXkfXk(),(),,。MMmm T记 。 ||||XXAX, ,,Xth，2MhR,fk,对任意的实数及都有，，t,,M,,Xth，M,, 展开计算，得 1T， XthBXthk，，,，，，，MMM2Xth，M ， T2XthBXthkXth，，,，，，，，MMMM TTTTTT22XBXtXBhthBhkXAXtXAhthAh，，,，，2(2)MMMMMMM ， TTTT222(2)tXBhthBhktXAhthAh，,，MMM TTTT2(2)XBhthBhkXAhthAh，,，t,0对时，有，MMM TT，XBhkXAh, 令，得 ; t,0MMM TTTT2(2)XBhthBhkXAhthAh，,，t,0对于时，有，MMM TT,XBhkXAh, 令t,0，得 ; MMM TT2XBhkXAh,hR,故有，(任意) MMM TT,1XBkXABXkAX,,,从而， ABXkX,MMMMMMMMM ,1BXkAX,ABXkX,同理可证 ， mmmmmm ()0BkAX,,()0BkAX,, 方程组，，MMmm ||0BkA,,||0BkA,,有非零解当且仅当，。 Mm 由于 LMEFLEMF,,,,,,,, ||||BA,,,,,,,,,,MNFGMFNG,,,,,,,, 2,,,,,()()()LENGMF,,, 222，,,,,，，,()(2)()EGFLGMFNELNM,, 222kk,满足 ，Mm()(2)()0EGFLGMFNELNM,,,，，,,,, 即是该方程根。 由韦达定理，便得 2LNM,LGMFNE,，2， 。kk,kk，,MmMm22EGF,EGF, ,1等价于， ||0BA,,,||0,EAB,, ,1kk,是特征方程的两个根， Mm||0,EAB,, detB,1,,kkABdet() 所以 有， MmdetA ,1kktrAB，,() 。 Mm 1,1detB,HtrAB()K,于是，，这与前面的一致，便于记忆使用。detA2 TTTTkk,XBXkXAX, 当时，有，，MmXBXkXAX,MmmMmMmMMm TT由此可得，， XAX,0XBX,0MmMm 即两方向XX,垂直、共扼。 Mm duu,,,,,设,， ,,XXMm,,,,dvv,,,,, EFu,,,,,则有(,)0dudv， ,,,,,FGv,,,,, LMu,,,,,(,)0dudv。 ,,,,,MNv,,,,, ,,,,,,drr,,drr,,,0dnr,,,0于是， ，即是曲面上垂直、共扼 的切方向。 u,,,(,)0EduFdvFduGdv由， ，，,,,v,,, u,,,， (,)0LduMdvMduNdv，，,,,v,,, EduFdvFduGdv，，得到 ， ,0LduMdvMduNdv，， 22，()()()()()0MELFduNELGdudvNFMGdv,，,，,, 容易验证，此式还能写成如下形式 22()()dvdudvdu, 。 EFG,0 LMN