系综理论（DOC）

系综理论（DOC） 第九章 系综理论 1,,Es习题9.1证明在正则分布中熵可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为其中是系统,,eS,,k,ln,sss,Zs 处在 s 态的概率。 ,Z1ln,,E,,Ess,证: 多粒子配分函数 S,kZ,Z,e,Z,e(1)(ln),,,,s ,E,kEe,,kZln,k (2),E,,k,e,,k 1E,,s由(1)知 ,,e,Z,,,,E,lnZ，ln,;,E,lnZ，ln,sssss, ,lnZ111; 代至(2)得 ,,,lnZ，ln,,,lnZ，,ln,,,ssss,,,,,ss ,,,lnZ,,于是 S,klnZ,,,,k,ln,,ss,,,,s,, 习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 N1,E,222s证: ;，，Z,eE,p，p，p,,sixiyiz2m,si1 符号 dp,dpdpdpixiyiz,i 符号 dq,dxdydziii,i NN,,222222，,N,，，，，,，，，，ppppppixiyizixiyiz,,2m1V2mi,1i,1,,Zedpdqedp,,3N3NN!hN!h,, N3N/2,NN222(ppp),，，，，，,,,,xyzVV2m2m,,,edp,Z,,,3N3N,,,,,,N!hN!h,,，， ,Z,ZNTk1ln1,P,,,利用式(9.5.3)类似求U,S。 ,,,,Z,VV nn习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温12 度为。 T 试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。 解: ,222222,,，，，，,p，p，p，p，p，pixiyizjxjyjz1,2mZ,edpdpdpdxdydzdpdq,,ixiyiziiijj3(n，n),12!!nnhij12 3，，n，n/212(n，n)12,,,V2m,,,,Z ,,3(n，n)12,n!n!h,,12 n，nkT，，1,lnZ12 ,P,,,PV,(n，n)kT12,,VV 习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。 3N/2,,,12m,,Z,Q解: ,,N!,,, 3N/23N/2,,，，,,,,,,lnZ，，2m12mQ,,，，,,13N/2,,,,,,,，，U3N/2Q/Z ,,,,,,,,,,,N!N!,,,,，，,, 21,QN11,NN,, (3/2);,N,Q,V，Vfdr12,,2Q, 2,f,f,QN，，r,,,N,1,,,121212 ,,Vdr;？f,e,1,,,,e12,,2,,,,, 2NN,1,,,2Vedr,,,QNN,1,2,,;3/2,,V,edrU,NTk，，，,,12,N2N,1,V，NVfdr12,2 2Nfdr一般认为较小; 122V 2N1N,,,,Vedr,,2U,3NTk/2，,3kNT/2,a/V 2,,NN,,V1，fdr12,,,2V,, 习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用， 试用 ,,pS,NTk1，B/S正则分布证明，二维气体的物态方程为，其中: N,,/kTB,,，，e,12,rdr;S为液体的面积，,为两分子的互作用势。 ,2 解: 二维气体 ,,221,,pp,,(，)，,ixiyi,,m2,,1i,j,, Zedpdpdxdy,,,ixiiN,2iy!Nh ,112mN ,,()Q122,,,()r,,(p，p)ij,ixiy,N!,m22ijN,N!hedqedpdq,, (r),,,ij,,,,(r)i,jij其中 定义 Qedrdrdr,f,e,112nij, ,Q,(1，f)drdrdr,(只保留前部分)(1，f)drdr ,,ij12nij1n,,,ij,ij 2NN, ,S，fdrdr;其中fdrdr,Vfdrdr,111212ijnijn,,,i,j 2N2NN,QSSfdrdr变量代换 ,，，，R,r，r/2;r,r,r12121221,2 2NNN,1,Q,S，Sfdr 12,2 22，，NNQ,NS，，fdr,NS，fdr据式(9.5.3) lnlnln1ln1212,,,,22VS，， 1lnZ1lnQNB,,，，，， PPVNTk1fdrkNT1,,,,,,,，12,,,,,,,,S2SS,,，，，， L习题9.7仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内 能和热容量。 解:一维线形原子链 ,,ck,k,2,n/L,n,0,,1,...... N共有个振动，存在最大频率 ,dn,Ldk/2,;D(,)d,,Ld,/2c,D,DLD,(),d,N,d,,N,,,2,Nc/L D,,2c,0 ,,L,,,,/kT,x,,d,,kTdx()U,U，D,d,,U，d,令 00,,,,,,,12c,kTkTee 2222LkxTdxLTkxdxU,U，,U， 00,,xx,,2c2,c,(e,1)e,1 22LTk1;x,,U,U，dx,U，kNT高温近似 00,2,,c 22LTk22x低温近似其中 U,U，dx,U，,kNT/6,k,,,,xD00DD,e,1,2c, 习题9.8仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链(一维晶体)在高 温和低温下的内能和热容量。 解: 二维: sdkdk,skdkdxy面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为 ,dkdkxy224,4, 2,,SkdkS横波按频率分布为 d,,d,,22,024c,,1 2,,SkdkS 纵波按频率分布为 d,,d,,22,024c,,2 ，，S11,,,,,,,,,,,，,，,DdDdDddBd，，，，，，,,纵横22,2cc12，， ，，S11,，B,,22,2cc12，， ,2D,N42D DdNBN,,,,,,,,()22D,B2 0 ,,2DD,,,,d,，,， ，，UUD,UB,d,00,,,,,,00ktkt,1,1ee ,,,x,,d,,kTdx令 kT 2kT,,,,2Dx,,32kTkTkTx,,,,,,,，,,，, UUBdxUBdx,,00,,xx,,,1,1ee,,0 33,2kTxkT,,,,UUB,dxUB,,，,，2.404低温近似 ,,,,00x,,,e,1,,,,0 ,,D233kT,,kTkT1,,,,,,D,,U,U，Bxdx,U，B,,高温近似 ,,,,00,,,2kT,,,,,,0 C计算略。 v lnZ习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数，从而求内能和熵。 解:式(3.9.4) ,,,,2e,,,0 lnZ,lne，ln,,,,,1,ei N93德拜频谱 ,,DB,,,,,,2,,,eD,,,lnZ,lne，ln,D,d0,,,,,，，,,01,e,,,, ,,,,,,2,,,eD2对于振动 ,,,,，Bln,d,(代换,,,,x),,0,,,,,01,e,,,, ,,,,,,,BDD,,2,x2,,,, ,,，Bd,ln，，1,exdx ,,0,,3002，，,,,, 344,,,,1BN1,,,,,,U，,,U， 003,,,,,35，，,,15D,, S 计算略 T,, 高温近似， ， ,,,,0 3,,,,,,,1DD2,,,,，，ZBdB,dln,,,ln,,,ln ,,,,,,,,00,,,,,,00,3,,,,,, 3,，，,1Dab2，，,,B,,,d,,,,ln,, 00,,,033，， 33,,DDln，，,,,B,，B ,,,,039 ，，,,,,,3Nln,,,，N(计算略) 0 VU习题9.10固体的结合能和德拜特征温度,都是体积的函数。利用上题求0D 得 ,ln,D,,lnZ,的求低温条件下固体的物态方程。令，试证明，在高温及低温,lnV 下， dUU,U00,p,,，固体的物态方程都可表为:。 dVV 解: 以低温为例 334,,,,,N11,3,,,,，，Z,,U，,,U，A,,U，A,,,,, lnD000,,,,,5,,,,DD,,,, V据正则分布热力学公式(9.5.3)，将及视为体积的函数。 U,0D ,,U,,Zln,4,40D,,,,,,,A3D,V,V,V (1) ,U,,,Z1ln,4,40Dp,,,,3A,,D,V,V,V, ,lnZ,4,4据热力学式(9.5.1)得出: ,,U,3A,,D0,, ,lnZ,4,4 (2) U,,,U，3A,,D0,, ,UU,U,，，,00Dp,,,联立(1)(2)得出: ,V,V,D ,dUdUU,U,ln000D,,,，，U,U,,，, 0dVV,lnVdVV ,ln,D,, 其中; 原式得证。高温情况可作类似处理(略) ,,lnV 4,,Ak习题9.11 固体中某种准粒子遵从玻色分布，具有以下的色散关系。试 证明 3 2T在低温范围内，这种准粒子的激发所导致的热容量与成比例。(铁磁铁中的自 旋波 具有这种性质) 2N,,Ak证: 色散关系;粒子体系(固体) ,,2,2,VVV22,,,,,，，Dd,dkdkdk,ksindkdd,kdk xyz332,,,,,44,,0000 ,,VdV1/2,,,d, 223/2A2A,,,2AA VB,,令， 23/22,A 3,,3NDD1/22 ，，D,d,,B,d,,N,,,D,,002B 3,,DD2,,,,,，,，，，，，UUD,,dUBD,d,00,,,,,,00kTkT,1,1ee 3,D2,,,,，，，UUB,D,d, 0,,,0kT,1e 332kT,,2kTx,,,,D,,,,,,kTx,,，UUBdx代换; 0x,,1e0 35,22kTx，，T,0U,U，Bdx当时; 03x,e,102, 35,U22，，，， ,U,U,kT于是 ,C,Tv0;,T 习题9.14用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。 解:参照9.17关于玻耳兹曼体系配分函数的处理 ,,,,,,,l ln,,ln,,ln,,el,,l,l0ll0,, 过渡到连续能量分布得: 3,,，,，,2222，，pppp,,，，,，，,xyzVV,,mm22ln,,edpdpdp,eedp,,xyz,,33 hh,,,,，， 32,,,，，，,,,p,,,,,,V2mm2,,,,,,,,, eed.,3,,,,,2mh,,0,,，， 33322,,,,,Vmm22,,,,2,,,eeV,,,, 32,,,,,h,h,,,, 3U,NkT利用热力学式可求得, 等 (略) pV,NkT2 l,注:--------单粒子处于能级的能量。 l 习题9.16设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡，被吸附的分子可 2p以在吸附面上作二维运动，其能量为，束缚能是大于0的常数。试根,,,002m 据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。 解: ,,N,e(,),Eqp,,ed,,2N,N!h0,N2,p,NNN,,,,(,)AeA2m0,,,,2NN2m0,,,,,edp,,,,dp,()e ,,1N2N,,,N!hN!h00,,NN ,2mA,,，,,0,exp{e}2h, mkTA2,,,，,,0因而， ,,e ln2h ,,,mkTA2,,，,,0N,,,，又 e2,,,h 33,220,2Amphph,,kT22，故， e,()N,()e2,,kT2mkT2mkTh ,120NphkT2,得出， ()eA,kT2mkT 习题9.17利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。 NE,,,,s解: ;由于玻耳兹曼系，粒子可分辨，从而 ,,e,,NS ,,Ea,，，，,llNl,,e ,!!!,,,,,!aaaa,,a123,l 为简单起见，考虑无简并(有简并情况完全可类似处理) 1，，,,，,Ea,,Ea,，，，,llll1,el,,,,e ,a!!!!,,,,,!aaaa,,aa123l,lll ,1a,,，，Ea,，，，,,,，llll,,,,e,Cxpe ,!aa0,ll ,a，，,,,，ll于是: ,,,,expe,l0, ,,aa,，，，ll，，ae1,,aa,，，，lmme,,,,,!!aa,,aaml1,NE,，，，lmlmS，，aae,, ,,ll1,aa，，,,，,NSlle,,!aalll a,,,，aa，，llle,a!,1all,,,, l11,,,，，,，,,aalle,,aa!!aallll 1,,，，,，,a,，，,，,,ll ,,,,expe,e,,,l ,，，,，,,l即对无简并情况 a,el ,，，,，,,l对有简并者，类似处理可得 (略) a,,ell ——简并度 ,l