微波仿真论坛_第05章 电磁辐射

微波仿真论坛_第05章 电磁辐射 第五章 电磁辐射 本章主要介绍自由空间电磁场的特性、计算方法以及几种展开方法。电磁场的计算包括严格计算和近似计算，辐射源的类型包括点源、线源和口径场，电磁场的展开方法包括平面波展开、多极展开和球面波展开。此外，还给出辐射矢量的定义。 5-1 电磁场的求解 z eJm J ,r,r dV E,H , V P r ,r , y O x 图5-1-1 分布源的电磁场 如图5-1-1所示，设源区为V，源区外P点的场强为E，H。由1-7节获知，电磁场的源和场满足下列非齐次Helmholtz方程 2m,，,，E(r),kE(r),,j,,J(r),,，J(r) (5-1-1) 2m,，,，H(r),kH(r),,j,,J(r)，,，J(r) (5-1-2) 由式(3-8-118)和式(3-8-119)获知，电流及磁流在自由空间共同产生的电磁场为 m,,,,,E(r),[,j , , J(r),,，J(r)],G(r,r) d V (5-1-3) 0,V m,,,,,H(r),[,，J(r), j,,J(r)],G(r,r) d V (5-1-4) 0,V ,式中自由空间并矢Green函数为 G(r,r)0 1,,,, (5-1-5) G(r,r), (I，,,)G(r,r)002k ,G(r,r)这里自由空间Green函数为 0 ,jkrr,,e,(r,r), (5-1-6) G0,4πr,r 这样，已知电流和磁流分布以后，原则上根据式(5-1-3)和式(5-1-4)即可计算空间任一点电磁场。但是这种积分计算通常是很困难的，尤其当源的分布函数比较复杂时，求积更难。实际中，根据场点位置的远近，可以简化上式，以求得近似解。 由上可见，计算分布源产生的电磁场时，与距离r 有关的仅是自由空间Green函数公 178 1,r,,r式。在此公式中，影响场强振幅的因子是，考虑到通常，因此可以认为,r,r 11,,。但是，包含在相位因子中的不能如此简单地近似取代，因为相位常数r-r,r,rr 2π,，必须考虑波源尺寸相对于波长的大小。因为如果波源的波长尺寸很大，很小的rk,, 取舍，将会引起很大的相位误差。由图5-1-1可见， 2,,rr,,,,22,,,()2cos,12cos,r,r,r，r,rr,r，, ,,,,rr,,,, ,r,,r由于，上式中根号因子可以展开为 23,,(r)(r)22,,r,r,r,rcos,，sin,，cos,sin,，？ (5-1-7) 22r2r 工程实际应用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，如果相位误差小于,/8，对于场强计算不会产生显著影响。因此，对于式(5-1-7)，若取一次近似，令 ,, (5-1-8) r,r,r,rcos, π那么，此时引起相位误差的最大项是式(5-1-7)中的第三项，而且当,时，该项达到,2 2,(r)最大值，其余项为零。为了满足相位差小于,/8要求，必须满足下列不等式 2r 2,()πrk, 2r8 由此求得场点距离r必须满足下列不等式 2,(r)r,8 (5-1-9) , D,若波源的最大尺寸为D，且令坐标原点位于最大尺寸的中点，即，代入上式，r,2得 22Dr, (5-1-10) , 满足上式的距离称为远区或Fraunhofer 区。由此式可见，波源尺寸越大，Fraunhofer 区域离开波源越远。也就是说，若取一次近似式(5-1-8)计算场强，为了满足相位误差不超过,/8，场点位置必须离开波源足够远，以满足不等式(5-1-10)。波源尺寸越大，适用距离越 ,(r-r)远。此外，由式(5-1-7)可见，一次近似实际上是近似认为差矢量的方向与场点的 r位置矢量方向是平行的。 179 若对式(5-1-7)取二次近似，即令 12,,, (5-1-11) r,r,r,rcos,，(rsin,)2r 此时，相位误差的最大项是式(5-1-7)中的第四项。为了求出该项的最大值，对角度,求导，令导数 33,,，，rr,()()222 cos,sin,,sin,[,sin,，2cos,],0,,22rr,22,，， 求得当时，式(5-1-7)中的第四项达到最大值。取此,值代入下列不等式 ,,arctan2 3,(r)π2kcossin,,,, 2r8 求得满足二次近似的距离为 3,(r) (5-1-12) r,1.76, 与前同理，若波源的最大尺寸为D，且令坐标原点位于最大尺寸的中点，求得满足二次近似的场点距离r应该满足下列不等式 3D (5-1-13) r,0.62, 满足二次近似的区域称为Fresnel区。由式(5-1-10)和式(5-1-13)可见，Fraunhofer 区的适用距离大于Fresnel区。所以，Fresnel区又称为中区。 对于比Fresnel区更近的区域称为近区。在此区域中，计算场强时必须保留式(5-1-7)中更多项，否则将会引起很大的误差。近区中的电磁能量，主要成分是与波源交换的能量，辐射能量所占的比重很小，因此，近区又称为电抗区。近区的距离范围满足下列不等式 3D (5-1-14) 0,r,0.62, 上述关于电磁场的区域划分，在天线测量技术也十分重要。因为天线的方向性是指天线的电磁辐射特性，场点必须位于Fraunhofer 区域。所以，天线尺寸越大，测试点必须离开天线越远，否则将会引起误差。直径为数十米大型抛物面天线，只好利用星体发出的射电信息，测量其方向性。 5-2 辐射场 ,在Fraunhofer区域内，如果同时满足条件，那么此处的电磁场称为辐射场。r,r,,, 将式(5-1-5)代入式(5-1-3)，同时考虑到式(3-8-20)，得 1m,,,,,,, E(r)[j , , J(r)J(r)] (I)G(r,r) d V,,,,，,，,,02,V k 1m,,,,,,,,,, [j J(r)J(r)jJ(r)]G(r,r) d V,,,,，,,,,0,V ,, 180 1m,,,,,, (5-2-1) [J(r)]G(r,r) d V，,,，,,,02,V k 再利用(3-8-16)，可将上式第二个积分的被积函数中的算子作如下变换 mm,,,,,,,,,，J(r),,,,,J(r),(,，,,) 由于任何标量梯度的旋度恒等于零，因此式(5-2-1)中第二个积分为零，得 1m,,,,,,,,,,,,,,，,,,,E(r)[j J(r)J(r)jJ(r)]G(r,r) d V 0, V,, 12m,,,,,,,,{kJ(r)jJ(r)[J(r)]}G(r,r) d V,，,,，,，,,, (5-2-2) 0,Vj,, ,，上式中被积函数第三项可以简化。 Considering r,r,,, ,,,,,,,,(J,,),G,J,G，J,G，J,G已知 (5-2-3) 0x0y0z0,x,y,z ,,r,r,R令，，上式中 r,r,R j,kR,,，，,,e1,,,,, ,,k，Gej,,0R,,,,,,,,xRxR4π,,，，,, ,，，,12k2x,x,,,,,,2其中 jk，G,,k，j，G,,,,,,002,,,,xRRRR,,,,,,，， ,eRRexx,,1,,1,,,,,RxRe,,，,,， ,,,,R2,,,,xxRRxxRRR,,,,,,,, 代入前式，整理后得 2,,1Gk3k3,,,0,,,, ,G,,ejk，，e,，j，(x,x)G,,0xR023,,,,xRRRRR,,,,同理可得 2,,1Gk3k3,,,0,,,, ,G,,ejk，，e,，j，(y,y)G,,0yR023,,,,yRRRRR,,,, 2,,1Gk3k3,,,0,,,, ,G,,ejk，，e,，j，(z,z)G,,0zR023,,,,zRRRRR,,,,将上述三式代入式(5-2-3)，得 2,,1Gk3k3,,0,,,,(J,,),G,,jk，J，e,，j，,,0R23,,RRRRR ,,,, ,,,,, J(xx)J(yy)J(zz)G,，,，,xyz0 181 ,,,xxyyzz,,,考虑到 ，则上式可表示为 ()J()J()J()J,e,，，RxyzRRR ，，1G31,,,,20,, (5-2-4) J,,,,,，J,J,ee，，J,ee()Gjkk()jk()G,,,,0RRRR0,,RRRR,,,,，， k2π11,由于，，则上式中包含以上的高次项均可略去，r,r,R,,,,,,22,RRRR 1仅保留包含项，求得下列近似式 R 2,, (5-2-5) (J,,),G,,k(J,e)eG0RR0式(5-2-2)被积函数中第二项也可化简。由于 ,,,,mmmmm,,Jr，,,e,，e,[()]G(JJ)G(JJ)G0xyz0yzx0,z,y,x,z (5-2-6) ,,mm ，e(J,J)Gzxz0,z,x ,,1x,x式中 G,(jk，)()G00,xRR ,,1y,yG,(jk，)()G 00,yRR ,,1z,z G,(jk，)()G00,zRR 那么，式(5-2-6)可写为 1mm, (5-2-7) (J，,)G,(jk，)(J，e)G0R0R k2π11,与前同理，考虑到，，仅需保留包含项，上式变r,r,R,,,,,,2,RRRR为下列近似式 mm, (5-2-8) (J，,)G,jk(J，e)G0R0 将式(5-2-5)和式(5-2-8)代入式(5-2-2)中，得 122m,, (5-2-9) E(r),[k J,k(J,e)e,k,,(J，e)]G(r,r) d VRRR0, Vj,, ,,,e,e对于Fraunhofer区域, 可取。同时还可认为，r,r,r,rcos,,r,r,eRrr11,。将这些结果代入上式，得 Rr ，，,,,,kr,ej,krjmr,E(r),,jeJ,(J,e)e,(J，e)edV (5-2-10) ,,rrr, V,4πr，， 182 同理可以求得 ，，,,,,r,ejk,jkrmmrH(r)jeJ(Je)e(Je)edV,,,,,， (5-2-11) ,,rrr, V4πr,，， ,应注意，式(5-2-10)及式(5-2-11)为同时满足及Fraunhofer区域近似条件r,r,R,,,的场强公式。由此两式可见，由于E与H同相，在此区域中只有向外辐射的能量，因此，它们称为辐射场。由上述结果，可知辐射场具有下列特点: ? 由于(J,e)e为J在e方向上投影，式(5-2-10)中J的r分量被第二项抵消，即rrr m (J，e) , e。第三项与e方向垂直，即。可见，电场强度E及J,(J,e)e,J，Jrrrrr,, 电场强度H均垂直于传播方向，因此，一切辐射场为TEM波。电场强度E和磁场强度H之间的关系为 ,1Z,E,ZH，e， ， 。 H,e，Err,Z ? 场强振幅与距离r一次方成反比，这就证明了一切尺寸有限的波源，产生的辐射场满足前述辐射条件，即 ，EE，,,,,,,,,e limr,，，jk，,0,,r,,,,,,rHH,,,,，， ,(r,e)? 不同方向，标积的数值不等，可见，一切辐射体具有方向性。 r ? 因为式(5-2-11)中的积分可能是复数，辐射场的相位不仅取决于积分号外的相位 ,jkr因子，同时与积分数值有关。因此，辐射场不一定是球面波。 e EEe既然辐射场仅具有垂直于传播方向的横向分量，因此，它们可以分解为及两,,r E,E,e 个分量。因，，同时考虑到 E,E,e,,,, [J,(J,e)e],e,J,e,J rr,,, mmm (J，e),e,J,(e，e),J r,r,, [J,(J,e)e],e,J rr,, mmm (J，e),e,J,(e，e),J r,r,, 代入式(5-2-10)，求得电场强度的两个分量为 ,,,,,,kr,ej,krjmr,,,E,,jeJ,JedV (5-2-12) ,,,,,, V4πr,,, 183 ,,,,,,r,ejk,jkrmr,,EjeJJedV,,， (5-2-13) ,,,,,, V4πr,,,磁场强度的两个分量为 ,, H,E; H,,E ,,,,,,5-3 辐射矢量 m由式(3-1-25)及式(3-1-26)知，电磁场可用矢量磁位A和矢量电位A表示如下: m,,,A(r),，A(r),E(r),,j A(r),j, (5-3-1) ,,,, m,,,A(r),，A(r)m,H(r),,j A(r),j， (5-3-2) ,,,,对于无限大的自由空间，式中两个位函数为 ,,,A(r),J(r)G(r,r)dV, (5-3-4) 0, V mm,,,A(r),J(r)G(r,r)dV, (5-3-5) 0, V ,G(r,r)这里为自由空间格林函数，即 0 ,jkrr,,e, (5-3-6) (r,r),G0,4πr,r 11,,, ,对于Fraunhofer区域，，再取，则矢量磁位r,r,r,rcos,,r,r,er,r,rr mA(r)及矢量电位 分别近似为 A(r) j,kr e,,jkr,er,,A(r),J(r)edV (5-3-7) , V4πr j,kr e,,jkr,emmr,,A(r),J(r)edV (5-3-8) , V4πr 通常令两个矢量L和N分别为 ,jkr,er,,LJ(r)edV, (5-3-9) ,V ,jkr,emr,,NJ(r)edV, (5-3-10) ,V 矢量L及N称为辐射矢量，它们仅决定于波源的分布特性，与距离无关。那么，矢量 mA(r)磁位及矢量电位可分别用辐射矢量L及N表示为 L,eL，eL，eLrr,,,, 184 ,jkr e,A(r),L (5-3-11) 4πr ,jkr e,mA(r),N (5-3-12) 4πr 根据已知的远区辐射场的特性，式(5-3-1)及式(5-3-2)可以简化。由前节知，辐射 场的振幅与距离r成反比，因此式(5-3-1)中第2项和第3项均为距离r的高次项，可以略 去。又知辐射场是TEM波，仅具有横向分量，电磁场的关系为E,ZH，e。因此，由电r流J产生的电磁场可用矢量磁位A的横向分量A表示为 t eE,,j,A (5-3-13) t 1,ee (5-3-14) H,e，E,,je，ArrtZZ 式中横向分量A为 t A,e A，e At,,,, 而上式中由式(5-3-7)求得。 A, A,, mmA由磁流产生的电磁场可用矢量电位的横向分量表示为 At mmH,,j,A (5-3-15) t mmm (5-3-16) E,ZH，e,,j,ZA，errt mA式中横向分量为 t mmm A,e A，e A,,,,t mm而上式中决定于式(5-3-8)。 A, A,, m这样，由电流J及磁流J共同产生的远区辐射场可以表示为 em (5-3-17) E,,j,A,j,ZA，ertt ,em (5-3-18) H,,jA,je，A,trtZ 在球坐标系中，辐射矢量可用其分量表示为 (5-3-19) L,eL，eL，eLrr,,,, (5-3-20) N,eN，eN，eNrr,,,, 那么，考虑到式(5-2-12)和式(5-2-13)，远区电场可用辐射矢量的横向分量表示为 185 ，，,,,,jkrEjeLN,,, (5-3-21) ,,,,,4πr,，， ，，,,,,jkrEjeLN,,， (5-3-22) ,,,,,4πr,，， 式中 ,jkr,er,, (5-3-23) LJ(r)edV,,,,V ,jkr,er,, LJ(r)edV (5-3-24) ,,,,V ,jkr,emr,, NJ(r)edV (5-3-25) ,,,,V ,jkr,emr,,NJ(r)edV (5-3-26) ,,,,V 由此可见，这些结果与前节完全一致。由于辐射矢量与波源的分布特性密切相关，为了计算方便起见，根据波源的分布特性，应该选取适当的坐标系。例如直线源应取直角坐标系，环状源应选圆柱坐标系，而球状源应取球坐标系。但无论选取何种坐标系，都可转换为辐射矢量在球坐标系中相应分量。然后，再利用式(5-3-21)和式(5-3-22)计算其辐射场。 5-4 点源场的平面波展开 m由于电流元和磁流元的尺寸远小于波长，通常称为点源。已知三维 , 函数IlIl 1m,,r的量纲为，位于处的电流元和磁流元的密度可用三维 , 函数分别表,(r,r)IlIl3L 示为 ,,J(r),Il,(r,r) (5-4-1) mm,,J(r),Il,(r,r) (5-4-2) mA因此这些点源产生的矢量磁位和矢量电位分别满足下列方程 A 22,,A，kA,,,Il,(r,r) (5-4-3) 2m2mm,,A，kA,,,Il,(r,r) (5-4-4) 由(3-7-7)知，上述方程在自由空间的解为 ,,,A(r),IlG(r,r),(rr)dV,,, (5-4-5) 0,V mm,,,A(r),IlG(r,r),(rr)dV,,, (5-4-6) 0,V ,G(r,r)式中为自由空间Green函数，即 0 186 ,jkrr,,e, (5-4-7) (r,r),G0,4πr,r ,r对于点源，可以认为为常数。因此，上述自由空间的解变为 ,jkrr,,e (5-4-8) A(r),,l,I,4πr,r ,jkrr,,emm (5-4-9) A(r),,l,I,4πr,r ,,rr由此可见，位于处的点源产生的电磁场是以为中心的球面波。所以，点源场的平面波展开，实际上就是将球面波展开为平面波。由于平面波的特性已很熟知，这样，经过这种展开即可利用平面波的特性研究其他类型的电磁波。平面波的展开式又称为点源场的角谱或波谱。 由式(5-4-8)和式(5-4-9)可见，点源场的平面波展开实际上就是三维自由空间Green ,,G(r,r)G(r,r)函数的平面波展开。通过三维Fourier变换可将三维自由空间Green函数00表示为 ,,,j[k(xx)k(yy)k(zz)],,，,，,,xyz1e, , (5-4-10) G(r,r)dkdkdk0xyz32222,,,，，,8π(kkk)kxyz,, 222,,k,k，k令 (5-4-11) xy 代入上式，得 ,,kzz,j(,)z ,1e,,kxxkyyj[()()],,，,xy, (5-4-12) G(r,r),edkdkdkxyz0322,,, ,,,,8πkz,, k为了计算上式中第二个积分，可在复平面上利用围道积分及留数定理求值。这里直接利z 用3-7-4节结果，由式(3-7-53)推知上式中第二项积分应为 ,,,,jk(zz),jk|z,z|z ,eπ e (5-4-13) k,,djz22, ,,,,k,z 因此 ,,,kxxkyyzzj[()(),||],,，,，,,xyje,, (5-4-14) G(r,r)dkdk,xy02,,,8π,, 2222k,k考虑到式(5-4-11)，，因此，上式中对于一组确定的及，指数,,，k，k,kxyxy 1,,,j[k(xx)k(yy),|zz|],,，,，,xye函数代表平面波的相位因子，而代表该平面波的振幅，可见式28π, ,r(5-4-14)代表了无限多传播方向不同、振幅不等的平面波之和，因此，该式称为处的点源发出的球面波的平面波展开式，或称为三维自由空间Green函数的积分表示。 为了便于数值计算，式(5-4-14)积分尚可演变为其它形式。若令 187 ,,,kcos,,,,,,xxcos,x ,,,k,sin,,y,y,,sin,y,, 考虑到，则式(5-4-14)积分可变为 dkdk,,d,d,xy 22,,,,,jk|zz| π,,,je,j,,cos(,,,),G, (r,r)d, ed, (5-4-15) 02,,22, 0 π8πk,, 由附录三中Bessel函数积分表示式得知，上式中第二项积分可变为第一类零阶Bessel J(,,)函数，那么 0 22,,jk,,|z,z| ,,,,jJ()e0,G, (r,r),d, (5-4-16) 0,22 04πk,, 为了便于数值计算，再令 ,,ksin,则 j,,jk|zz|cos,,,, (5-4-17) G(rr) J(k,sin,)sin,ed,,,00, C4π 式中积分路径C取决于k值。 ,,,,,,当k值为实数时，因得 ,，j,,ksin(,，j,) ,,,,,,,ksincosh, ,,,,,,,kcos,sinh,, ππ,,,,由此可见，当由时，由，而由，因此积,0,,,,0,k,,0,0,,,22分路径C如图5-4-1(b)中实线所示。 ,,,,,j, , 平面 , 平面 π ,,,, k O O 2 , 实k 复k ,0 (a) (b) ,G(r,r)图5-4-1 的积分路径 0 ,,,k,k，jk当k为复数时，，则 ,,,,,,,,,,,,,,,,,ksincoshkcossinh, ,,,,,,,,,,,,,,kcos,sinh,，ksin,cosh,, 188 ,,那么平面上的实轴变换到平面上时，由于 (,,0),, ,k,,,,,,,,,,,, , 0,kcos,sinh,，ksin,cosh,,,tan,,tanh,,k ,求得的渐近线为 , ,k,,,,,,,,,,,,,,,,,arctan, ,,0 ,,,,k,, ,而,平面上的虚轴变换到,平面上时，由于 (,,0) ,,k,,,,,,,,,,,, , 0,ksin,cosh,,kcos,sinh,tan,,tanh,,k ,得知的渐近线为 , ,,k,,,,,,,,,,,,,,,arctan, ,,0 ,,,k,, ,,,,, 显然，当时，上述两条渐近线与前述相似。再观察当时，得 ,,,0k,0 ,k,,,,, m (,,π)~,,, ,,0,,k ,,k,,,, m (,,π)~,,, ,,0,k ,,可见，该渐近线的斜率决定于值的大小。 k 综上所述，当k为复数时，式(5-4-17)的积分路径C如图5-4-1(b)中虚线所示，图 ,,,,,arctan(k/k)中。 0 利用附录四中公式 1(1)(2) J(x),[H(x)，H)(x)]mmm2 m(2)(1) H(,x),(,1)H(x)mm 式(5-4-16)积分又可变为 22,kzz,j,,,(1) ,,,,jH()e0,Grr,(,),d, (5-4-18) 0,22 ,,8πk,, 22,kzz,j,,,(2) ,,,jH()e0,Grr,(,),d,或 (5-4-19) 0,22 ,,8πk,, 若利用,,ksin,变换，则上两式又可表示为 jk,,jkzzcos,,,(1), (5-4-20) G(r,r) H(k,sin,)sin,ed,,00, c8π jk,jkzzcos,,,(2), (5-4-21) G(r,r), H(k,sin,)sin,ed,00, c8π 式中积分路径如下节图5-4-1所示，与k值有关。 ,G(r,r) 式(5-4-17)至式(5-4-21)为三维自由空间Green函数的柱面波展开式，或0 ,r者认为是位于处的点源发出的球面波的柱面波展开。 若对式(5-4-14)仅作下述变换，令 189 k,,cos,,k,,sin,xy 22,,,,xx),,yy,k,zz,j[(,cos，(,)sin，,, π ,,je,G, (5-4-22) (r,r),d,d,d,02,,22 ,π 08πk,, 若再令，则上式积分又变为 ,,ksin, πj,k,,,jk[xx)sincos(yy)sinzzcos],,,,，,,，,,, (5-4-23) (rr)d,esin,d,G,,02,, π C,8π 上式中积分路径C取决于k值，如图5-4-1所示。 上面利用直角坐标系中三维Fourier变换以及积分变量的变换求得三维自由空间Green ,,G(r,r)G(r,r)函数的各种积分表示。已知三维自由空间Green函数为 00 ,j,kr,rek(2),, G(r,r),,,jh(kr,r)00,4πr,r4π 因此，上述各种积分表示又可为第二类零阶球Hankel函数的积分表示。 [25]三维自由空间Green函数还有其它形式的积分表示，读者可以参阅有关文献。 5-5 线源场的平面波展开 无限长的线电流或线磁流称为线源，它们产生的电磁场也可展开为平面波，该平面波展开式称为线源场的角谱或波谱。即将可见，线源场产生的电磁场是柱面波，所以这种展开又可认为是将柱面波转换为平面波。 1m,,I已知二维 , 函数,(ρ,ρ)的量纲为，位于处无限长的线电流和线磁流的ρI2L 密度可用二维 , 函数分别表示为 ,, (5-5-1) J(ρ),I,(ρ,ρ) mm,,J(ρ),I,(ρ,ρ) (5-5-2) mmAI那么，无限长的z方向线电流和线磁流产生的矢量位和分别满足下列方程 IA 22,AkA,I,(ρρ)e,，,,, (5-5-3) z 2m2mm,AkA,I,(ρρ)e,，,,, (5-5-4) z ,利用二维, 函数,(ρ,ρ)满足微分方程式(3-7-33)，仿照3-7-7节方法，可以求得 上述方程在自由空间的解为 ,,A(ρ),,IG(ρ,ρ)edS (5-5-5) 0z,S mm,,A(ρ),,IG(ρ,ρ)edS (5-5-6) 0z,S ,G(ρ,ρ)式中为二维自由空间Green函数，即 0 190 j(2),, (5-5-7) G(ρ,ρ),,H(kρ,ρ)004 ,为常数。那么，求得 对于无限长的线源，ρ ,A(ρ),,IG(ρ,ρ)e (5-5-8) 0z mm,A(ρ),IG(ρ,ρ)e, (5-5-9) 0z ,,由此可见，位于处的无限长线源产生的电磁场是以为轴线的柱面波。所以线源场的平ρρ 面波展开就是将柱面波转换为平面波，或者认为是二维自由空间Green函数的平面波展开。 ,G(ρ,ρ) 对于二维自由空间Green函数，通过二维Fourier变换可将其表示为 0 ,,j[k(xx)k(yy)],,，,,xy1e, (5-5-10) ,G(ρ,ρ)dkdk0xy2222,,，,4πkkkxy,, 22,k,k,令 (5-5-11) x 则式(5-5-10)可变为 ,kyy,j(,)y , ,1e,kxx,j(,)x, , (5-5-12) G(ρ,ρ) edk dkxy0222,, ,, ,,,,4πky k与上节同理，在复平面上利用围道积分及留数可求得上式中后一积分，即 y ,,,j(,),j,kyykyyyy ,eπ e k,,djy22, ,,,,k,y 代入式(5-5-12)，得 ,,kxxτyy,j[(,)，,]x ,1e,G(ρ,ρ),,jdk (5-5-13) x02, ,,,4π ,,,j[k(x,x)，τy,y]222xk，,,ke 由式(5-5-11)知，，因此，上式中指数函数代表传播方x 1向位于xy平面内的平面波的相位因子，而为其振幅。可见，上式积分代表无限多传播4π, ,方向不同振幅不等的平面波之和，所以，它代表位于ρ处的线源发出的柱面波的平面波展 开。 k,ksin,,,kcos, 若令，则，那么式(5-5-13)又可变为 x 1,,jk(xx)sinyycos],,,,，,, (5-5-14) G(ρ,ρ),,jed,0, c4π 式中积分路径C决定于k值。与前同理分析可知，当k值为实数时，积分路径C 如图 5-5-1中实线所示; 当k值为复数时，积分路径C如图5-5-1 中虚线所示。 ,G(ρ,ρ)已知二维自由空间Green函数 0 191 为 j,,,(2),, (5-5-11) G(ρ,ρ),,H(kρ,ρ) 004, 平面 因此，上述各种积分展开式又可作为第二类 零阶Hankel函数的积分表示。 π ,,,,,,,A(r),l(r,r)(r,r)IGdV0O ,2C V π,jkrr,, e ,, l(r,r)l,,,IG,I20,4πr,r 复k 实k 5-6电磁场的多极展开 已知根据源的分布特性，可以通过矢 m ,G(ρ,ρ)图5-5-1 的积分路径 A(r)量磁位及矢量电位求解空间 A(r)0 mmA(r)任一点场。位函数及与源J及J关系为 A(r) ,,,A(r),,J(r)G(r,r)dV (5-6-1) 0, V mm,,,A(r),,J(r)G(r,r)dV (5-6-2) 0, V ,G(r,r)式中自由空间Green函数为 0 ,,jkr,re,rr , (5-6-3) G(,)0,r,r 但是当波源的分布特性非常复杂时，上述积分很难计算。若波源的最大尺寸远小于观察 ,,r,,rG(r,r)距离，即，可将Green函数展开为幂级数，且仅取前几项即可。由下面分0 析可见，展开式中各项分别对应于偶极矩、四极矩、八极矩等高阶矩的源产生的位函数，因 此，这种展开方法称为多极展开。 ,若令，由图5-1-1知 r,r,R 22,,R,r，(r),2rrcos,,r1，, (5-6-4) 22,,,,rrr,er,,,,,,,,r,,式中 ,,,, 2cos2,,,,,,,,rrrr,,,,,,,, 113523,1,x，x,x，？, (x,1)已知 28161,x 1,r,,r考虑到，数值,,,1，因此，可将按上式展开。若仅取前三项，得 1，, 111132,,(1,,，,) (5-6-5) Rr28r1，, 192 11123又知 1，x,1，x,x，x,？, (x,1)2816 112,jkr(,,,),jkr(1，,1),,jkR,jkr,jk(R,r),jkr28则 e,ee,ee,e 11x23再利用展开式 e,1，x，x，x，？ , (x,1)26 11111,jkR,jkr2222则 e,e[1,jkr(,,,),(kr)(,,,)]28228 11,jkr22 (5-6-6) ,e{1,jkr,,[,jkr，(kr)],}28 由式(5-6-5)及式(5-6-6)得 jj,kR,kree13122,{1,(1，jk,)，[1，jkr,(kr)],} (5-6-7) Rr283 2,r,,将, 值代入上式，且略去以上各项，得 ,,r,, 2kRkr,j,j,,,,,ee11rer,,，，,,2r,,，，，, 1(1jk)1jkr(kr),,,,,,Rr2r2r,,，，,,,, 这样，矢量磁位A可以表示为三项之和，即 A,A，A，A 123 jkr,, e,,A(r),J(r)dV式中 (5-6-8) 1, V4πr jkr,(1，jkr) e,,,,A(r),(e,r)J(r)dV (5-6-9) 2r2, V4πr 1,,22jkr, 1，jkr,kre,,,22,,,,, (5-6-10) A(r),J(r)(r)dV33, V4πr 类似地，也可将矢量电位F近似展开为与上结构相同的三个积分之和。 此外，由上述三个积分表达式可见，它们均代表以r = 0的坐标原点为中心的球面波， n其振幅与电流J成正比，与距离r 成反比。由于幂次愈高，即n值越大，对场的贡献也越 小。因此，通常在上述展开式中，仅取前几项即可。 A,A,A下面分别讨论上述三个积分代表的波源分布特性。 123 B(A,dS),[(A,,)B，B(,,A)]dV利用恒等式 ，得 ,,SV ,,,,,,,r(JdS)[(J)rr(J)]dV,,,,，,, ,,SV ,,,,,,(J,,)r,J考虑到及，得 r,xe，ye，zexyz 193 ,,,,, (5-6-11) r(JdS)[(Jr(J)]dV,,，,,,,,SV 已知J分布在包围的体积中，因此在 表面的内侧只可能是J的切向分量或者为零。SS 故式(5-6-11)的左端面积分为零，得 ,,, (5-6-12) [(J，r(,,J)]dV,0,V 因上述等式对于任何体积皆成立，故知被积函数一定为零，即 ,,,, J,,r(,,J),j,,(r)r ,,,,,得 J(r)dVj,,(r)rdV (5-6-13) ,,,VV 因N个电矩之和为 NN ,P,p,qr ,,iii,1i,1 对于连续分布的电矩，考虑到，因此 q,,dV ,,,P,(r)rdV (5-6-14) ,,V 比较式(5-6-13)与式(5-6-14)得 ,,J(r)dV,j,P ,V 代入式(5-6-8)得 P ,,,jkr (5-6-15) A(r),je1r4π A(r)由此可见，矢量位可以认为是电矩为P的电偶极子产生的。 1 ,,A(r)(e,r)J(r)再讨论产生的波源分布。式(5-6-9)中被积函数可以表示为 2r 11,,,,,(e,r)J,[(e,r)J,(e,J)r]，[(e,r)J，(e,J)r]rrrrr22 11,,, ,[(r，J)，e，[(e,r)J，(e,J)r]rrr22 因此 j,kr,(1jkr) e，,,A(r),{(r，J)dV}，e2r2,V8πr (5-6-16) j,kr,(1，jkr) e,,, ，[(e,r)J，(e,J)r]dVrr2,V8πr ,考虑到连续分布在V中的总磁矩与V中的电流密度J(r)的关系为 1m,,, P(r)[rJ(r)]dV,，,V2 mP(r)由此可见，式(5-6-16)中第一项可以认为是由磁矩为的磁偶极子产生的。 194 ,,,,考虑到及，式(5-6-16)中第二项的被积函数可以表示为 e,,(e,r)(J,,)r,Jrr ,,,,,,,,(e,r)J，(e,J)r,{[(e,r)J],,}r，r[J,,(e,r)]rrrr ,,,,,,,,, ,{[(e,r)J],,}r，r{,,[(e,r)J]},r(e,r)(,,J)rrr ,,,,,,,,,,那么 (er)J(eJ)rdVr(er)(JdS)r(er)(J)dV,，,,,,,,,,rrrr,,,VSV ,,,与前同理，上式中闭合面积分应为零。考虑到，则前式变为 ,,J(r),,j,,(r) ,,,,,,,(e,r)J，(e,J)rdV,,jr(e,r),(r)dV,j,Q,e rrrr,,VV ,,,,Q,(rr),(r)dV其中并矢 ,V 称为四极电矩。因此，产生A(r)的源可以认为是由磁偶极子与四极电矩之和。 2 A(r)同理分析可知，产生的源可以认为是四极磁矩。若在式(5-6-7)展开式中，保留3 更高次项，则更高次项代表更高阶矩产生的场，由于他们对于场的贡献更小，通常可以忽略。这样，我们仅需考虑电偶极子、磁偶极子、四极电矩及四极磁矩等到四种典型的源产生的电磁场，即可近似求解任何波源产生的电磁场。已知远区辐射场的振幅与距离r的一次方成反 A(r)比，因此对于远区辐射场仅需第一个矢量位即可。 1 电磁场的多极展开适用于计算介质极化和磁化产生的二次电磁场。 5-7 电磁场的球面波展开 已知在球坐标系中，自由空间中的任意波源产生的电磁场通过Debye位函数或矢量波函数表示为球坐标中的标量波函数的线性组合，该和式中各项系数决定于源的分布。由于球坐标系中每组标量波函数代表一个单元球面波，因此，这种任意波源电磁场的球面波函数的表示称为电磁场的球面波展开。 下面使用矢量波函数，将任意源产生的电磁场展开为球面波之和。位于无源区中的电磁场是无散无旋的，因此，由3-5-1节获知，仅需两个矢量波函数M和N表示为 E,,(aM，bN) (5-7-1) ,,mnmnmnmnmn kH,,(aN，bM) (5-7-2) ,,mnmnmnmn,,jmn 式中 M,,，(r,) (5-7-3) mn 1 (5-7-4) N,,，,，(r,)mnk ,对于无限大的自由空间，上式中标量波函数应取为 mn (2)mjm, (5-7-5) ,,h(kr)P(cos,)emnnn 195 当源的分布给定后，式(5-7-1)中的系数决定于源的分布。为了求出展开系数与波源的关系，以矢量r标乘式(5-7-1)两端，考虑到 r,M,0 (5-7-6) mn nn(，1) (5-7-7) ,r,N,mnmnk 得 1r,E,,n(n，1)b, (5-7-8) ,,mnmnkmn 1r,H,n(n，1)a, (5-7-9) ,,mnmnj,,mn (2)mjm,因为每组标量波函数代表一个球面波，这种展开称为电磁场的,,h(kr)P(cos,)emnnn 球面波展开。 已知电流J产生的电磁场满足下列方程 2,，,，E(r),kE(r),,j,,J(r) (5-7-10) 2,，,，H(r),kH(r),,，J(r) (5-7-11) 再以矢量r标乘上式两端，同时利用矢量恒等式 222(,，k)(r,A),2,,A，r,,(,,A),r,,，,，A，kr,A 上式可以表示为 1122(,，k)(r,E，r,J),,r,,，,，J (5-7-12) j,,j,, 22(,，k)(r,H),,r,,，J (5-7-13) 利用自由空间格林函数求得上述非齐次标量Helmholtz方程的解为 11,,,,,,,rErJ(r)[rJ(r)]G(r,r)dV,,,,，,,，,， (5-7-14) 0,V,,,,jj ,,,,rH[(rJ(r)]G(r,r)dV,,,,， (5-7-15) 0,V ,G(r,r)式中自由空间格林函数为 0 ,jkrr,,e,(r,r),G (5-7-16) 0,4πr,r ,r,r式(5-7-14)中V代表源区体积。若待求的场位于无源区，即，则式(5-7-14)中第一项应为零，即 196 1,,,,,,rE[rJ(r)]G(r,r)dV,,,,，,， (5-7-17) 0,V,,j 由球Bessel函数叠加定理式(6-6-1)，得知 ,,jk(2),,,,，,(2n1)j(kr)h(kr)P(cos), rr,nnn,,rr,,jk4πe,,n0, (5-7-18) ,,,,rrjk(2),,,,(2n，1)j(kr)h(kr)P(cos,), r,r,nnn,4π,n0, ,,,式中 (5-7-19) cos,cos,cos,sin,sin,cos(,,),，, nnm()!,,mmjm(,,,),P(cos,),P(cos,)P(cos,)e (5-7-20) ,nnnnm(，)!m,-n ,r,r因此，对区域，获得下列展开式 ,jk,,rr,ejk(n,m)!,(2)mjm,,,(2n，1)h(kr)P(cos)e,nn,,4π(n，m)!rr (5-7-21) n,0 ,m-jm,,,, j(kr)P(cos,)e r,rnn ,m-jm,,,若令 (5-7-22) ,j(kr)P(cos,)e,mnn 考虑到式(5-7-5)，则式(5-7-21)可以表示为 ,jkrr,,,ejk(nm)!,, ,,(2n，1),, r,r,mnmn,rr,4π(n，m)!0n, 将此结果代入式(5-7-17)中，得 n,Z(n,m)!,,,,,r,E,,(2n，1),,[r,,，,，J(r)]dV (5-7-23) ,,mnmn, V4π(n，m)!n0m-n,, 利用矢量恒等式 ,,(A，B),B,,，A,A,,，B，上式中体积分可表示为 ,,,,,,,,,,,,,,[,，J(r)，(r)]dV，[,，J(r),,，(r)]dVmnmn,, V V ,,,,,,,, [J(r),(r)]dS[J(r)(,r)]dV,,，，,，,，,,，mnmn,,S V ,,,,,,,,,,[,，J(r)，(r)],dS，[J(r)，,，(r)],dSmnmn,,SS (5-7-24) ,,,,, [J(r)(,r)]dV，,,，,，mn, V ,,,，J(r),0考虑到，同时由于电流J仅存在V中，因此，在包围区域V的边界S上， ,J(r),0体电流密度，或者只可能存在与表面相切的表面电流。这样，上式中两项面分值为零，得 197 n,Z(nm)!,,,,,,r,E,,(2n，1),J(r),[,，,，(,r)]dV (5-7-25) ,,mnmn, V4π(n，m)!n0m-n,, b将上式与式(5-7-8)比较，求得系数为 mn n,,,(2n1)(nm)!，,,,,,,b,J(r),[,，,，(,r)]dV (5-7-26) ,,mnmn, V4πn(n，1)(n，m)!n0m-n,, 同理可得 n,jk(nm)!,,,,,r,H,,(2n，1),J(r),[,，(,r)]dV (5-7-27) ,,mnmn, V4π(n，m)!n0m-n,, a-7-9)比较，求得系数为 将上式与式(5mn n,,,k(2n1)(nm)!，,,,,,a,J(r),[,，(,r)]dV (5-7-28) ,,mnmn, V4πn(n，1)(n，m)!n0m-n,, ab上面通过场强的r分量求得系数和，它们同样也适合其它分量。 mnmn ab由式(5-7-26)及式(5-5-28)可见，系数和均与距离r无关。因此，该系数适mnmn 用于任何场点。通常，已知源的分布，若采用直接积分的方法，对于每一个场点均须重新求积。可见，球面波展开方法较为简便，尤其适合于近场计算，因为近区电磁场与距离的关系比较复杂。此外，球面波展开式的级数求和比积分求积简单，尤其适合数值计算。 ,jkre(2)1n，kr,h()j对于远区场，由于，则，那么 kr,,nkr ,jkre,nmm，1j,，,,，,rrψ,()j[P(cos)e] mnnr ,jkre,nmmj,，,，,,，，,rerψ,()j[[P(cos)e] mnrnr 将此结果代入式(5-7-3)和式(5-7-4)中，那么由式(5-7-1)求得远区辐射场为 ,jkrn,n,,，，ej，1j,j,nmmmm,a，,，b，，,E(r)je(Pe)e[r(Pe)](5-7-29) ,,,,mnrnmnrn,,rkn,,0m,n，，,, ,jkrn，1n,n,,，，ejjj,j,mmmm,a，，,，b，,H(r)e[r(Pe)]e(Pe)(5-7-30) ,,,,mnrnmnrn,,rkZZn,,0m,n，，,, 5-8 口径场辐射 微波波段使用的面天线，例如反射面天线及喇叭天线等，通常可以归结为通过一个有限的口径向外辐射电磁场，如图5-8-1所示。 198 计算这种天线的辐射场通常由两种方法:其金属面 口径 一是直接根据金属反射面上的真实表面电流计 算辐射场;其二是首先基于面等效源原理，由口 径及金属面构成一个封闭表面包围整个天线，以 闭合面上的等效源代替天线，再根据Huygens 原理的绕射公式计算辐射场。无论那一种方法均 不考虑金属背面上电流辐射作用。因为金属背面 处于馈源照射的阴影区，感应的电流强度很弱， 尤其对于实际感兴趣的正前方的辐射场贡献很图5-8-1 口径场辐射 小，因此可以忽略。但是利用面等效源原理时， 如果认为金属背面上的等效源为零，那么在金属面与口径交界边缘处一定存在线电荷及线磁荷，以保持等效表面电流及表面磁流的连续性。当计算口径辐射场时这些边缘线电荷及线磁荷的辐射作用必须考虑。 这里利用Huygens原理的矢量绕射公式计算有限口径天线的辐射场，同时考虑口径边缘处的线电荷及线磁荷的辐射作用。 首先讨论如何计算金属面与口径交界处的线电荷及线磁荷。设表面电流仅存在于口径表面A上，而表面S上无表面电流，如图5-8-2所示。 en l eJS eenlt A S 图5-8-2 边缘线电荷及线磁荷计算 , 根据电流连续性原理，已知体电流密度和体电荷密度 之间的关系为 J JS,,,dj d,,V (5-8-1) ,,SV J,边缘上的面电流密度与积聚的线电荷密度之间存在类似的关系为 Sl J,edl,,j, , dl (5-8-2) Slln,,ll e式中为垂直于dl的法向单位矢量。由上式得 nl J,e,,j,, (5-8-3) Snll e令为表面S及口径A的法向单位矢量，则表面电流与口径磁场之间的关系为 n J,e，H (5-8-4) SnS 199 将上式代入式(5-8-3)中，得 (5-8-5) j,,,,e,J,,e,(e，H),,(e，e),HlnlSnlnSnlnS e，e,ee由图5-8-2可见，，式中为边界上切向单位矢量。那么由式(5-8-23)得 nlntt (5-8-6) j,,,,(e,H)ltS 因此求得口径边缘线电荷与口径磁场的关系为 1,,,(e,H) (5-8-7) ltS,j 同理可以求得口径边缘线磁荷与口径电场的关系为 1m,,,(e,E) (5-8-8) ltS,j m,那么，由矢量绕射公式(4-5-8)求得由线电荷及线磁荷产生的电场E(r)和磁场H(r),ll分别为 1,,,,,E(r),(r),G(r,r)dll0, l, (5-8-9) 1,,, ,j(e,H),G(r,r)dltS0, l,, 1m,,,,,H(r),(r),G(r,r)dll0, l, (5-8-10) 1,,, ,(e,E),G(r,r)dltS0, l ,,j 上两式中的线积分尚可进一步演变为对于闭合边界l包围的口径A的面积分。为此，将梯度 ,,,G(r,r)函数在直角坐标中展开，则式(5-8-9)中的线积分变为 0 ,,,G,G,G000,,,, (5-8-11) ,,(e,H),G(r,r)dl,(e,H)e，e，edltS0tSxyz,,,, l l ,,,,x,y,z,,式中 GGG,,,,,000,,,(e,H)dl,(H),dl,,，(H),dS (5-8-12) ,,SSSt,,,llA ,,,xxx,,,,,考虑到 ,G,G,G000,,,,，H,,，H，,，H ()SSS,,,,x,x,x dS,edS若令，则 n 200 ,G,G,,00,,,，H,e,,(e，H),,， ,,SSnn,,,x,x,, ,G,G,,,,00,,,,，H,e,jE,e,,,,SSnn,,,x,x,,,, ,G0，， ,j,,e,ESn,,x 将这些结果代入式(5-8-12)中，得 ,,,GGG,,，，000,e,Hdl,j,,(e,E),(e，H),,dS (5-8-13) ,,tSnSnS,,,,lA ,,,,x,x,x,,，， 同理可得， ,,，，,,,GGG000, (5-8-14) ,,e,H,e,E,e，H,,dlj,,()()dSSSStnn,,,,,,lA ,,,,,,yyy,,，， ,,,GGG,,，，000,e,Hdl,j,,(e,E),(e，H),,dS (5-8-15) ,,tSnSnS,,,,lA ,,,,z,z,z,,，，将上面三式合并后，得 ,,,,,,,,(e,H),Gdl,j,,(e,E),G,(e，H),,,GdS (5-8-16) tS0nS0nS0,,lA 将上式代入式(5-8-9)中，得 1,,, (5-8-17) ,,,,E(r),jj,,(e,E),G,(e，H),,,GdSSSn0n0,A,, 这样， 已知口径面积和口径场，根据上式即可计算口径边缘线电荷及线磁荷产生的电磁场。 至于口径场的辐射可以利用前述的标量绕射公式、矢量绕射公式、并矢绕射公式，或直接根据金属表面上的真实电流分布均可进行计算。如果利用矢量绕射公式(4-5-9)，且考虑到 ()(),，H,,H，ee，H,,SSnnSe,E,e,,,, (5-8-18) nSn,,jj,,j,, 则整理合并后，求得计及边缘电荷时口径场产生的电场为 12,,E(r),k(e，H)，(e，H),,,,,,nSnS,A,,j (5-8-19) ,,, ，j,,(e，E)，,GdSnS0 同理可得，考虑边缘磁荷时口径场产生的磁场为 12,,H(r)k(eE)(eE),，，，,,,,,,nSnS,A,,j (5-8-20) ,,, ,j,,(e，H)，,GdSnS0 201 已知闭合面的矢量绕射公式为 ,,, (5-8-21) E(r),[,j,,(e，H)，(e，E)，,，(e,E),]G(r,r)dSnSnSnS0,S 如果利用前述变换式(5-8-18)，将式(5-8-19)改写如下 ,,, (5-8-22) (),,j,,()()()G(,)dSEr,,e，H，e，E，,,e,E,rrnSnSnS0,A 将此式与式(5-8-21) 比较可见，当计及边缘电荷与磁荷时，仅需变更被积函数中第三项前的 符号即可。 对于Fraunhofer 区域中的电磁场，可以认为 2,, ,,,,(e，H),,,G,,k(e，H),eGenS0nSr0r ,,,(e，E)，,G,jk(e，E)，eG nS0nSr0 ,,, r,r,r,rcos,,r,r,er 将这些结果代入式(5-8-18)中，得 ,jkr，，,ke,ˆjr,krE(r),,je，(e，E),e，(e，H)edS (5-8-23) ,,nnrSrS,A,r，，由于Fraunhofer区域中电磁场为TEM波，磁场与电场的关系为 , (5-8-24) ,,H(r),e，E(r)r, 上述方法称为口径场方法。 如果根据反射面上真实的表面电流计算辐射场，考虑到理想导电表面上不可能存在切向 电场分量，那么式(5-8-19)变为 12,,,E(r),,k(eH),,(eH)GdS,，，，,,, (5-8-25) nSnS0,S,,j ie，H,J式中为反射面上的表面电流。若入射波的磁场强度为，则反射面上的表面HnSSS电流为 iJ,2(e，H) (5-8-26) SnS J式中右边2倍系数表示为合成电流。根据反射面上真实的表面电流计算辐射场的方法称S 为物理光学法。 5-9 平面口径辐射场的计算 上节讨论了任意口径场产生的电磁场计算。对于平面口径场产生的辐射场计算，利用空 间Fourier变换方法比较简便。 E已知在直角坐标系中，无源区内电场强度的分量满足齐次标量Helmholtz方程，即 x 22,E，kE,0 (5-9-1) xx 202 由3-4-1节获知，上述方程在无限大自由空间的解可取下列积分形式 ,kxkykzj(),，，xyz (5-9-2) E(x,y,z),F(k,k)edkdkxxyxy,,,, 2222式中 (5-9-3) k，k，k,kxyz E若平面口径场仅有分量，空间任一点电磁场也xx 可用式(5-9-2)的积分形式表示。如果令口径平面位于平面，如图5-9-1所示。那么，平面上z,0z,0 E的口径场分量可表示为 z x Ex ,y kxkyj(),，xy E(x,y,0),F(k,k)edkdkxxyxy,,,, 图5-9-1 平面口径场 (5-9-4) E(x,y)由此式可见，口径场与被积函数恰好构二维空间Fourier变换，因此被积F(k,k)xxy函数为 ,1kxkyj()，xy (5-9-5) F(k,k),E(x,y)edkdkxyxxy2,,4π,, 函数称为口径场的角谱或波谱。 F(k,k)xy E(x,y)这样，已知平面口径场即可求出角谱，利用式(5-9-2)即可计算空F(k,k)xxy E(x,y,z)间任一点产生的分量。 x E(x,y)这种口径场相当于分布在口径的y方向的磁流，因此，它在空间除产生x E(x,y,z)E(x,y,z)分量外，还存在分量。已知空间各个平面波分量必须满足，k,E,0xz 即 (ek，ek，ek),(eE，eE),0xxyyzzxxzz由此得 kxE,,E (5-9-6) zxkz那么，空间任一点场为 kxE(x,y,z),eE，eE,(e,e)E (5-9-7) xxzzxzxky E(x,y,z)将式(5-9-2)代入，求得位于平面上口径场在空间任一点产生的电场为 z,0x 203 ,,,kjkr,,x,, (5-9-8) E(x,y,z),eE，eE,e,eF(k,k)edkdkxxzzxzxyxy,,,,kz,,,, 已知平面波的磁场与电场关系为 ,1H,e，E; Z, k,Z 式中 22，，，kkkkk1xyxy，,，,,，,eEEeeek ,,kxyzykkkk,,zz，， E(x,y,z)因此，位于平面上口径场在空间任一点产生的磁场为 z,0x 22,，，，kkkk1xyxy,jk,r,,，,H(x,y,z)eeekF(k,k)edkdk (5-9-9) ,,xyzyxyxy,,,,kk,,zz,,，， 利用平面口径场的角谱计算口径场辐射的方法称为平面波展开法或Fourier变换法。 注意，上述计算公式并未考虑口径边缘电荷及磁荷的辐射作用。此外，式(5-8-8)及式(5-8-9)的求积较难，通常应用稳定相位法获得近似解。 习 题 1、设电流环的电流为I，半径为a，位于z = 0平面，中心与坐标原点重合，试用并矢格林函数求解其远区辐射场。 Il,eIl2、若电流元，试求Fraunhofer区域的辐射场。 x 3、试求长度为2l的对称天线在Fraunhofer区域的场强。 J,eJ,(y)JJ4、设两种电流源和分别为和，比较它们产生的辐射场J,eJ,(x)2x0211y0 特性。 5、已知电流源的分布函数为 22 J,e[,(x,),(y),,(x，),(y)], ,l,z,l1zdd 且，试求其远区辐射场。 l,,, ,q, 2q, ,q，其中q,qsin,t，分别位于z,,d, 0, d6、已知三个时变点电荷的电量分别为 处，试求其远区场。 7、推导式(5-4-10)。 8、推导式(5-5-6)。 9、已知旋转抛物面天线的口径直径为D，焦距为f，被接收的平面波电场强度E及磁场强度H分别为 aai,jkzi,jkzE,eeH,ee， xyDDππ 当该天线以主射方向接收该平面波时，试用球面波展开法计算抛物面焦点场强。 204 10、已知矩形口径的尺寸为a×b，若其口径场的分布函数为 πxaa (x)cos(), xE,e,,,ya22 试求其平面波展开式及Fraunhofer区域中的场强 11、在上题中，若口径场的分布函数为 πxaa2()cos(), E,e,,,xxy22a 再求其平面波展开式及Fraunhofer区域中的场强 12、设均匀平面波垂直投射到具有一个圆孔的无限大金属板上，试求其绕射场 参 考 文 献 (以出版年代为序) 1. J. A. Stratton. Electromagnetic Theory. New York: McGraw-Hill, 1941 2. S. Silver. Microwave Antenna Theory and Design. New York: Dover Publications, 1949 3. S. A. Schelkunoff. Advanced Antenna Theory. New York: John Wiley &Sons, 1952 4. C. J. Bouwkamp and H. B. G. Casimir. On Multipole expansions in The Theory of Electromagnetic Radiation. Physica Vol. 20, pp. 539-554, 1954 5. R. F. Harrington. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. New York: McGraw-Hill, 1960， 2001(2nd) 孟侃译. 正弦电磁场. 上海:上海科学技术出版社，1964 6. P. C. Clemmow. The Plane Wave Spectrum Representation of Electromagnetic Fields. New York: Pergamon Press, 1966 7. E. C. Jordan and K. G. Balmain. Electromagnetic Waves and Radiating Systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1968 8. G. Tyras: Radiation and Propagation of Electromagnetic Waves. New York: Academic Press, 1969 9. R. E. Collin and F. J. Zucker. Antenna Theory (Part 1 & 2). New York: McGraw-Hill, 1969 10. L. B. Felsen & N. Marcuwitz: Radiation and Scattering of Electromagnetic waves, New Jersey: Prentice-Hall, 1973 11. 任朗. 天线理论基础. 北京:人民邮电出版社，1980 12. F. H. Read. Electromagnetic Radiation. New York: John Wiley &Sons, 1980 13. P. J. Wood. Reflector Antenna Analysis and Design. London: Peter Peregrinus, 1980 14. W. L. Stugzman and G. A. Thiele: Antenna Theory and Design, New York: John Wiley &Sons, 1981. 15. R. S. Elliott. Antenna Theory and Design. New York: Prentice-Hall, 1981 16. E. V. Jull. Aperture Antennas and Diffraction Theory. London: Peter Peregrinus, 1981 17. C. A. Balanis: Antenna Theory, Analysis and Design, New York: John Wiley & Sons, 1982 18. 谢处方，邱文杰. 天线原理与设计. 西安: 西北电讯工程学院出版社, 1985 19. J. Van Bladel. Electromagnetic Fields. New York: Hemisphere Publishing Corparation, 1985 20. D. S. Jones: Acoustic and Electromagnetic Waves, Oxford: Clevendon Press, 1986 21. 谢处方. 近代天线理论. 成都: 成都电讯工程学院出版社, 1987 22. C. A. Balanis. Advanced Engineering Electromagnetics. New York: John Wiley & Sons, 1989 23. 杨儒贵,陈达章,刘鹏程. 电磁理论.西安:西安交通大学出版社,1991 24. A. Ishimaru. Electromagnetic Wave Propagation, Radiation and Scattering, New Jersey: 205 Prentice-Hall, 1992 25. 杨儒贵.电磁理论中的辅助函数，北京:高等教育出版社，1992 rd26. M. A. Heald and J. B. Marion. Classical Electromagnetic Radiation (3). New York: Brooks Cole, 1994 27. 楼仁海，符果行，袁敬闳. 电磁理论.成都:电子科技大学出版社，1996 28. 傅君眉，冯恩信. 高等电磁理论. 西安:西安交通大学出版社，2000 29. L. W. Li, X. K. Kang, M. S. Leong. Spherical Wave Functions in Electromagnetic Theory. New York: Wiley-Interscience, 2001 30. 杨儒贵.电磁定理和原理及其应用.成都:西南交通大学出版社,2002 31. Jin Au Kong. Electromagnetic Wave Theory. (1), (2), (3). 北京:高等教育出版社影印版， 2002 32. S. N. Makarov, Antenna and EM Modeling with MATLAB. New York: John Wiley & Sons, 2002 33. R. E. Raab and O.L. De Lange. Multipole Theory In Electromagnetism. London: Oxford University Press, 2005 34. 王一平, 郭宏福. 电磁波—传输、辐射、传播. 西安:西安电子科技大学出版社, 2006 35. J. D. Kraus and R. J. Markefka. Antennas for All Applications. New York: McGraw-Hill, 2002 章文勋译. 天线 (上、下两册). 北京: 电子工业出版社, 2004 & 2006 206