便宜幂零矩阵

便宜幂零矩阵 幂零矩阵 性质1:A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。 k 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : A为幂零矩阵 ？，,kZstA.0,,， 令为A任意一个特征值，则 ，,,,,,,0,.stA,00 kkA 由引理7知，为的特征值 ,0 kkk 从而有=0即有 ？，,,,,,,0.stA,,,0000 kkkA,0 又有，知 00,,,,AAA kk ？,,,,,,,,,0*(1)(1)00EAAA 为A的特征值。 ？,,00 由的任意性知，A的特征值为0。 ,0 A 的特征值全为0 , n？A 的特征多项式为 fEA(),,,,,, n 由引理2知， fAA()0,, 所以A为幂零矩阵。 得证 k性质2:A为幂零矩阵的充要条件为。 ,,,kZtrA0， A证明:为幂零矩阵，由性质1，知: , A的特征值全为0 即 ,,,,,,,012n kkkkA 由引理7，知 的特征值为 ,,,,,,,012n kkkk从而有 trA,，，，,,,,0 12n kkkk由已知，,,,，，，,kZtrA,,,0(1.1) ,，12n 令为A的不为0的特征值 ,,,,,,12t 且互不相同重数为 nit(1,2,,),,ii 由(1.1)式及引理7，得方程组 nnn,,,，，，,0,1122tt,222nnn，，，,0,,,1122tt,,333 (1.2) nnn，，，,0,,,,1122tt , ,ttt,nnn，，，,01122tt,,,, 由于方程组(1.2)的系数行列式为 ,,,11112t222,,,,,,1212ttB,,,,,12t tttttt,,,,,,1212tt ,,,()12tij,,,,,1jit,,, 又互不相同且不为0， ？,B0,(1,2,)it,i 从而知，方程(1.2)只有0解，即 nit,,0(1,2,,)i 即A没有非零的特征值 ？A的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证 性质3:若A为幂零矩阵 则A的若当 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0 证明:A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 J,,1,,J21,,,TAT, ,, ,,Js,, ,,,i,,1,,,J其中阶数为 nis(1,2,,),ii,, ,,1,i,, 由引理4，知为J和特征值 ,(1,2,,)is,i 又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以 即J的主对角线上的元素全为0 ,,,0(1,2,,)isi nnii(0)()0(1,2,,)JEJis,,,, 由引理8，知 ii 为幂零矩阵 得证 JJJ,,,12s 性质4:若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有 AEEA，,,,1,1 k证明:为幂零矩阵， A？，,kZstA.0,， kk A一定不可逆 ？,,,,00AAA 由性质1，得 A的特征值为 ,,,,,,,012n 由引理7，得 AEEA，,,的特征值分别为 ,,,,,,,,,,,,,,,011,101,,,,，,,,,,,, 1212nn n,,,AE,,,11，,,,且有 12n n,,,,,,EA,,,11,,,, 12n 即 得证 AEEA，,,,1,1 AE，性质5:若为幂零矩阵，则A非退化 证明:令为A的特征值 ,,,,,,12n 若A退化，则有 A,0 由引理7，得 A,,,,,012n , 至少存在=0为A的特征值 ？i0 ,，,,110AE，又由引理7，得 为的一特征值 i0 AE，这与为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化 ABBA,性质6:若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有， n AB则也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵 kA证明:为幂零矩阵 ？，,,kZstA.0 ， kkkkABBA, 又 ()00ABABB,,,, ？AB 也为幂零矩阵 得证 kA,0性质7:若A为幂零矩阵且， ,,121k则(1) ()EAEAAA,,，，，， 1111,,,1211kk(2) mEAEAAAm，,,，，，,,()(1)(0)23kmmmm kkkk？,,,,EEAEA证明: A,0 21k, ,,，，，，()()EAEAAA ,,121k 即 ()EAEAAA,,，，，， 任意，有 m,0 Akkkkk [()]？,，,，,，mEmEAmEAmEm A111211kk,, ,，,，，，,mEEAAA()((1))121k,mmmm 111211kk,, ,，,，，，,mEAEAAA()((1))121k,mmm 1111211kk,, 即有 mEAEAAAE，,,，，，,,()((1))121k,mmmm 1111,,,1211kk？，,,，，，,mEAEAAA()((1))121k,mmmm E111211kk,,,,，，，,AAA(1)23kmmmm 性质8:若A为幂零矩阵且A0,，则A不可对角化 BN， 但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化 n kA证明:为幂零矩阵 ？，,,kZstA.0且A的特征值全为零 ， nn fEA(),,,,,,为A的特征多项式且 fAA()0,, 为A的最小多项式，则有 令m(),mf()|(),,AA k0 从而有mkn()(1),,,,, 0A k0 由于，又此时 mk()2,,,, A0,k1,？,00A即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化 B为阶方阵 由引理3，知 n 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 ,,,iJ,,1,,,,1J,,21, 其中阶数为 nis(1,2,,),,,J,iTBT,i,,,,,,,,1J,s,,i,, ,,,i,,,i,,,D 令 阶数为 nis(1,2,,),ii,, ,, ,i,, 0,, ,,1,,, 则有JJD,,,阶数为 nis(1,2,,),iiii,, ,,10,, nnii,,,J(1,2,,)is, 由引理8，知 即为幂零矩阵 (0)()0JEJ,,,,iinii D,,,,,1J1,,,,D2,,,,,JD, 现令 2,J,,,,,,,,,,,Ds,,,,,Js,, ,,,JD，J,,111,,,,,,,JJD， 2,122,,,TBTJD,,,，,,,,,,,,,,J,,s,,,JD，ss,, ,,,111,, 即 BTJDTTJTTDT()(1),，,， ,,11, 又D为对角阵，由(1)式知 可对角化 BTJTTDT,,,1,,TJT 令N= 且取 则有 knnn,max(,,,)12s k,,,J1,, k,,,Jk2,J,,0,,,,,,k,,,Js,, k,,,J1,,k,,,J kkkkkk,,,,11112,,NTJTTJTTTTT,,,,,,,,,()()()()()00,,,,,,k,,,Js,, 即有可对角化且N为幂零矩阵 得证 BN， 性质9:阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若nn 当块的阶数 证明;令A为阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得 n J,,1,,J21,,,TAT, ,, ,,Js,, 0,, ,,1,,其中J,阶数为 nis(1,2,,),ii,, ,,10,, ni且 ()0J,1(1,2,,),,,nnisii 取，则 且有 kn,knnn,max(,,,)12s kJ,,,,J11,,,,kJJ2kk,,,1112,,,,ATTTTTT,,,,,,()00(1.5),,,, ,,,,k,,JJs,,,,s kA,0即 k0A,0若令为A的幂零指数，则 kkkn,,00 k0J,0，,istnk.若，则 且 kk,i00i000 由(1.5)式，得 k0,,J,,J11,,,,k0JJ2kk,,112,,,,00 ()0ATTTT,,,,,,, ,,,,k,,0JJs,,s,, k0A,0这与矛盾。 得证 kkn,,0 性质10:与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明:令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0 若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值 ？B 的特征值也全为0，由性质1，知 B也为幂零矩阵 A为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得 J,,1,,J21,,,TATJ,, ,, ,,Js,, 01,, ,, ,,其中阶数为 J,nis(1,2,,),ii,,1 ,,0,, ni且 ()0J,1(1,2,,),,,nnisii ，知 为A的幂零指数 由性质9knnn,max(,,,)As12 又A与B相似，A与J相似 从而有B也与J相似 J,,1,,J21,,,PBPJ,,可逆矩阵P 使得 ？，,, ,,Js,, 又由性质9，知 为B的幂零指数 knnn,max(,,,)Bs12 从而有 kk,AB 01,, ,, ,,(1,2,,)is,J,又 为严格上三角 i,,1 ,,0,, J,,1,,J2,,？,J也为严格上三角形 ,, ,,Js,, 即A，B都相似于严格上三角形J 得证 ,,性质11:若A为幂零矩阵，则AAAmAmZ,,,()都为幂零矩阵，特别有,,， ,2 ()0A, kA？，,,kZstA.0证明:为幂零矩阵 ， kk,,,由引理1，知 ()()00AA,,, ,,,kk ()()00AA,,, kkkk ()(1)(1)00,,,,,,,AA ,,都为幂零矩阵 AAA,,？, kkkk ()()()00mAmAm,,,, 也为幂零矩阵 ？,mAmZ()， rAn()1,,又A为幂零矩阵 即 A,0rAn()1,,，则有A的所有阶代数余子式都为0 若n,1 ,,,2A,0则有 从而有 ()0AA,,rAn()1,,若，则由性质3知， 存在可逆矩阵T，使得 J,,1,,J21,,,TATJ,, ,, ,,Js,, 0,, ,,1,,J,其中阶数为 且 rJn()1,,nis(1,2,,),iiii,, ,,10,, 又显然A与J，所以有 sss rArJrJnnsnsn()()()(1)1,,,,,,,,,, ,,,iii,,,111iii 0,, ,,1,1,,？,s1 即有TATJB,,, (1.3) ,, ,,10,, n，1,,0(1), ,, ,,2,,,B又 ？,()0B,, ,,,,0,, ,,,,,,,11由(1.3)式及引理1，知 ATBTTBT,,()() ,,,,,,,,,21212 得证 ()[()]()()0ATBTTBT,,, 2A,01、A为实对称矩阵且，则有 A,0 ,，则由A实对称 ？A,A 证明:令A,(a)ijn，n nn22,A,AA,a,0 且 ,,iji,,11j 又为实数 即 a？a,0i,j,1,2,？？,nA,0ijij 2、所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似 n nk证明:令A为阶次幂零矩阵 即 A,0A,0(k,n)nn n？A 的最小多项式 m(,),,A ？A 又A幂零矩阵 的特征值全为0 nf(,),,E,A,,,D(,)？A 的特征多项式为 n n 由引理9，知 d(,),m(,),,nA ,D()nnd,(),,,？D(,),1 又 nn,1D(),n,1 从而有 d(,),？？,d(,),d(,),1n,121 n 所以所有的阶次幂零矩阵的不变因子都是 1,1,？？,1,,nn 所以所有阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 n 3、所有阶n,1次幂零矩阵相似(n,1为幂零指数) n n,1k证明:令A为阶n,1次幂零矩阵， 则 A,0A,0(k,n,1)n n,1？A 的最小多项式 m(,),,A ？A 又A幂零矩阵 的特征值全为0 nf(,),,E,A,,,D(,)？A 的特征多项式为 n ,D()nnd,(),,,？D(,),, 又 nn,1D(),n,1 nf(,),,E,A,,,d(,)d(,),？,d(,) 又 12n 从而有 d(,),,d(,),？？,d(,),d(,),1n,1n,221 n,1 所以所有阶次幂零矩阵具有相同不变因子 n,11,1,？？,1,,,,n 所以所有阶次幂零矩阵都相似 n,1n kk，1k，s1、设阶方阵，求证:(1)存在，使得 r(A),r(A),？？,r(A),？k,Zn， kk，1 (2)存在，而且 ， 1,k,nr(A),r(A),？k,Z， 证明:(1)、由引理3，知 在复数域上，可逆矩阵T 使得 ， J,,1,, (1.4) ,,,,Jt,1TATJ,,,,Jt，1,,,,,,,,Js,, ,,,i,, 其中 阶数为 ni,1,2,？？,s1？i,,J,i,,？？,,,,1,i,, i,1,2,？？,t 令 为的若当块 J,J,？？,J,,012ti i,t，1,t，2,？？,s 为的若当块 J,J,？？,J,,0t，1t，2si 0,,,,1？,,J 由于 由引理8，得 ,i,,？？,,,,10,, nn,1iii,1,2,？？,t(J),0 且 ()0J,ii ri,1,2,？？,t？(J),0 r,k,max(n,n,？？,n)i12t niJ,,,0i,t，1,t，2,？？,s 即可逆 Jiii rri,t，1,t，2,？？,s ？,,,rZJ()0有r(J),r(J),n iii，i 由(1.4)式，知A与J相似，且 p,,J1,,,,？,, pJ,,,111ppt,,(TAT),TAT,TT,p,Z，p,,J，1t,,？,,p,,Js,, ppAJ从而，得与相似， sssk，kkkkpr(A),r(J),r(J),r(J),r(J)综上可得， ,,,iii,1,，1,，1iitit 且 k,max(n,n,？？,n),p,Z12t， kk，1k，s即得证 r(A),r(A),？？,r(A),？ (2)、由(1)知， ，k,max(n,n,？？,n)12t kk，1k，s使得 r(A),r(A),？？,r(A),？ i,1,2,？？,t又已知 1,n,ni 得证 ？1,k,n 22134特别当时，可得 r(A),r(A)r(A),r(A),r(A),r(A)？ AB,BA2、A，B为阶方阵，B为幂零矩阵且，则有 A，B,An 证明:由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 ,,,,,,11,,,,,,,,2211,,,,,,,,TATTBT ,,,, ,,,, ,,nn,,,, 又B为幂零矩阵 所以B的特征值全为0，即 0,, ,,0,,1,,TBT, ,, ,,0,, ,,,1,,,,21111,,,,,,TABTTATTTTT()B，,，, ,, ,, ,n,, ,1 ,,2111,,,TABTTATTT()B，,，, ,n ,1 ,,2又可逆 AB ？T，,,,,T,0,,,12n ,n ,,,1,,,,2,1,,TAT,由知为A的特征值 ,,,,？？,,12n,, ,, ,n,, 由引理7，得 A,,,,？,,12n 从而得证 A，B,A,,,,？,,12n 3、A为阶方阵，求证，B可对角化，C为幂零矩阵且 A,B，CBC,CBn 证明:由性质3，知 A，N 存在幂零矩阵N，使得可对角化 ,,,1,,,21,,,，,,,TANTD() 即存在可逆T，使得 ,, ,, ,n,, ,1 即有 A,TDT，(,N) 由性质11，知 N幂零矩阵则也幂零矩阵 -N ,1,1TDT？TDT 又与D相似，可对角化 ,1B,TDT 令 C,,N，则有A,B，C ,1B,TDT 可对角化 C,,N为幂零矩阵 ？D 又为对角阵 ,1,1,1,1？BC,TDTC,TTDC,DC,CD,CDTT,CTDT,CB 得证 AC,CABC,CBC,AB,BA4、A，B，C为阶方阵，且， n k证明:存在自然数 k,n,s.tC,0 AC,CABC,CBC,AB,BA证明:由于， ？,m,Z， mm,1m,1m,1m,1m,1C,C(AB,BA),CAB,CBA,A(CB),(BC)A m,1m,1,A(CB),(CB)A m,1m,1由引理11，得 tr(A(CB)),tr((BC)A) mm,1m,1m,1m,1 tr(C),tr(A(CB),(BC)A)),tr(A(CB)),tr((BC)A),0 由性质2，得 C为幂零矩阵 k由性质9，知 得证 ，k,n,s.tC,0 5、在复数域上，阶方阵A相似于对角阵等价于 n 2对于A的任一特征值，有 与的秩相同。 ,AE,,()AE,, 证明:因为A对角化，则存在可逆矩阵T，使得 , ,,,1,, ,21,,,,TAT,,,,n,,, 从而有 ,,,,,1,, ,,,2,1,,TAET(),,,,,,,,,,n,,2,,(),1,,,,2(),,122,,,,TAET(),,,,,,,2,,(),n,,,, ,1,12 所以与相同 TAET(),,TAET(),, 2 即AE,, 与的秩相同 ()AE,, 由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得 , J,,,,,1i,,,, 其中阶数为 nis(1,2,,),J1i21,,,,,TAT,,Ji,,,,,,,,J1s,i,,,, 若不全为对角阵，则不妨令不可对角化，且有，有 Jis(1,2,,),Jn,1i1i 0,,,,1,,JE,,1n1,,,, 10,, 0,,,,0,,2,,()JE,,11n1,,,,,,100,, 2,1()JE,JE,从而知的秩大于的秩，即有的秩大于TAET(),,n11n11 ,12的秩 TAET(),, 2也即 的秩大于的秩，这与已知矛盾 AE,,()AE,, 为对角阵，从而得证A相似于对角阵 所以所有Jis(1,2,,),i xy0？00,,,1,,A例 求 主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 0xy？00,,,,A,？？？？？？,,000？xy,,,,000？0x,,n，n xy0？00100？00010？00,,,,,,,,,,,,0xy？00010？00001？00,,,,,,解 ,,,,,,？A,,x，y？？？？？？？？？？？？？？？？？？,,,,,,000？xy000？10000？01,,,,,,,,,,,,000？0x000？01000？00,,,,,, ,xE，yJn 010？00,,n,,其中 且有 J,0001？00n,,,,J,？？？？？？n,,000？01,,,,000？00,, n,1,,1yyn,1,,(1),,2nxxx,,n,2 ,,1y21n,n,2JJJE0(1),,,11nnnnn,1,,AxEyJ,，,,，，，,,()(1)xxn23n,,xxxx00,,,,1,,00x,, n2,1,,1？aaa,,A例 求 特别的a也是1可表为若当块的幂的矩阵和逆 n,101？aa,,,,A,？？？？？,,,,a00？1,,00？01,,n，n 2n,,aa？a1,,n,1解: a？a01,,2n,12n,,A,,E，aJ，aJ，？？，aJ？？？？？nnn,,,,？a001,,？0001,, 100？00,,010？00,,,,,,010？00,,其中 001？00,,,,,,E,？？？？？？J,？？？？？？n,,,,000？10,,000？01,,,,,,000？01000？00,,,,n，nn，n 010？001,a0？00,,,,,,,,001？0001,a？00,,,, ,1,,,,A,E,aJ,E,a,？？？？？？？？？？？？n,,,,000？01000？1,a,,,,,,,,000？00000？01,,,, J,,1,,性质1:当k=2即复数域C上的n阶2-幂零矩阵A的Jordan标准型为，其,,,,Jm,,0，，m,,1kn,中()，，且至少存在一个j，kim,,0,1,2;1,2,,,iiJ,ii,1,,,,10，，kk，ii 00，，使即至少存在一个 k,2J,jk,,j10，， n，，r,性质2:设C是复数域，而A是C上2-幂零矩阵，设A的秩为r，则，而A的Jordan,,2，， 00，，标准型为，其中对角线上有r个。 00，，,,,,1010，，,,,,,,00,,,,10,,0,,,,,,0,,，， 性质3:两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。 0，，,,kl1引理1.2:设，则，而。 Jk(0,)0,,Jklk(0,)0,(1),,,,,Jk(0,),,,,,10，，kk， J,,1,,定理1:复数域C上的k-幂零矩阵A的标准型具有形式， ,,,,Jm,, 0，，,,其中()，且至少存在一个若当块，使kk,。 kkim,,0,1;1,21ji,,,Ji,,,,10，，，kkiin,证明:因为A为幂零矩阵，故A的特征值全为0，于是A的特征多项式为。设幂零 mkkkk1,im2,kn,,,,(kk矩阵的A的初等因子为可能相同，且)，每一个初等因子,i1mi,1 J,,1,,对应一个J块()，这些J块构成一个若当形矩阵 0,,kki,,,,Jm,, 0，， ,,1,,因为A为k-幂零矩阵，所以J中存在即至少存在一个j，使J,kj,, ,,10，，kk， kk,j 推论2:秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。 定理 可逆矩阵A的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A的多项式 nn,1 证明:设A特征多项式faaa,,,,,，，，， ，，11nn, 利用hamilaon-cayley定理 nn,1则有fAAaAaAaE,，，，，,0 ，，11nn, naA,,,10而A可逆，得 ，，n 1,,,112nn从而 AAaAaE,,，，，，，11n,an n,,,nn*112以及 AAAAaAaE,,,，，，1，，，，n,11 一 、定理: 若A是幂零矩阵，则A不可逆. 性质 幂零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K次幂、伴随矩阵都是幂零矩阵 性质 幂零矩阵的特征值为零，特征值为零矩阵为幂零矩阵。 性质 幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。 《幂零矩阵的性质》 性质 同阶可交换的矩阵的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。 k性质 设A为菲零的幂零矩阵，且r是A的幂零矩阵，则E、A、…A线性无关. 性质 相似于对角矩阵的幂零矩阵是零矩阵。 2T性质 若A=0且 A=A,则A=0 二、 性质 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幂零矩阵。 性质 与幂零矩阵可交换的矩阵仍为幂零矩阵。 《幂零矩阵的性质及其应用》 性质 菲零的幂零矩阵A不能对角化，对任意的矩阵B，存在幂零矩阵M使得可以B+M 对角化 性质 任意的n节下三角矩阵都相似与一个上三角矩阵。《幂零矩阵和幂零线性变换》 m,三、、 性质 m阶幂零矩阵A的最小多项式为 性质 是n维线性空间的幂零线性变换，m为的指数，则对任意的非零向量，向量,,, m-1,,,,、、组线性无关 《幂零矩的标准型》