数学物理方程试卷A答案

数学物理方程试卷A答案 A 315 1、B 2、C 3、A 4、A 5、D 420 0ij,,1、. ,22Jij,,，，1i, uds,,K2、. 4, ，,3、cos*cosxfxfxd,,,,,,. ，，，，,,, 4、. xds,0,,, 2mm,,,，，,x,15、Jx,,，，,. ,,02,,m2，，!m,0,, 65 22,,,uu,,,,,,,1020xt22,,,tx,,1、 求解定解问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 02（15分） uutI|0,2|0,30.,,,,,,,，，,xx,, ,,u00,tt,,|0,4|,502uxx,,,,,,,,,t,, 解：（1）设uxt(,)uxtXxTt(,)()()6,,,是<1><2><3><4>的解，设 （1分） （2）把<6>代入<1><2><3><4>得： '''',,TtTt()()07，,,,,XxXx()()08，,,,, 和（） IIIII,,0，，，，,,T(0)09,,,XX(0)(2)010,,,,,, （3分） （3）分别由(III)和(II)求Tt()和. Xx，， 2n,,, ? 解(III)得：本征值,,,n,1,2, n,,2,, n, 本征函数n,1,2,XxCx()sin,，. （3分） nn2 n, ? 解(II)得：n,1,2,TxDt()sin,，. （1分） nn2 nn,, 因此，n,1,2,uxtXxTtEtx,sinsin,,，. （1分） ，，，，，，nnnn22 共5页，第1页 （4）叠加 ,,nn,, ,,sinsin11,,,,uxtuxtEtx （2分） ，，，，,,nn,,22nn11 （5）将<11>代人<5>中得： ,nn,, xEx,,,sin12 （1分） ,n,22n1 由得： ,,12 8n,1 （2分） E,,1，，n22n, 因此，定解问题(I)的解为： ,8n,n,xn1,，，，，,1sinsin,,uxtt. （1分） ,2222n,n1, 222,,,,uuu，,,,,,,,,，,,xy3401,,022,,,,,xxyy,4,x2、用行波法求解下列初值问题0uexI,,,,,,,，,|2,(). （10分） ,y, ,,u0y,,,,,,,,,，,x|13,,y,, 22解：(1) 特征方程为：dydxdydx,,,34()0 （1分） ，， 特征曲线为：4,xyCyxC,,，, （1分） 12 ,,,4xy, 特征变换为：. （1分） ,,,，yx, 2,u (2) 经特征变换后，方程<1>化为：,0. <4> （1分） ,,,, <4>的解为： uff,,,,,,，，，，，，，12 即： <5> （1分） uxyfxyfyx,4,,，，，，，，，，12 (3) 求及. fxy4,fyx，，，，，12 由<2><3>得： 4x,fxfxe46，,,,，，，，12, （2分） ,1，，，，,，,，,,fxfxxC47,12,4 由<6>,<7>得： 共5页，第2页 414414,,x4xy,4(4),,,,,fxexC,,,fxyexyC，，，，11,,,,555555 （2分） ,,,144144x44xy，4,,，,，，，fxexC,，，fxyexyC22，，，，，，,,555555,, 因此，定解问题（I）的解为： 41444xyxy,，，，，， （1分） uxyfxyfyxeey,4,,，，,，，，，，，，，1255 222,,,,uuu，，,,,,0,10z222,3、利用Green函数法解边值问题,,,xyzI.（13分） ，，, ,0ufxyxy|,,2,,,,,,,,，,，，z,, 解：（1）设MM为空间内的任意一点。令为关于边界的Mxyz,,z,0z,0，，100000 对称点，则M点的坐标为：. （2分） Mxyz,,,，，11000 （2）设在MM点处放置个单位的负电荷，则点在空间内任意一点点Mqz,011 q处产生的点位为，则有 r4,MM1 q1<3> ||,zz,,0044rr,,MMMM10 由<3>得： q,1. （4分） 11 （3）Green函数为： <4> （2分） ,GMM,,，，044rr,,MMMM01 ,G （4）因此，uMfds,,, （2分） ，，0,,,nz0, z,,GG10 其中，||,,,, . （2分） zz,,003,,nz2,2222，，xxyyz,，,，，，，，000，， 因此，边值问题（I）的解为： ，,，,z10 ,uMfxydxdy,. （1分） ，，，，03,,,,,,2,2222，，xxyyz,，,，，，，，000，， 共5页，第3页 22,,,uu,,,,,，,,xt9,10,0,22,,tx,,0,,,,,,,utuxttI|cos,2lim,0,304、利用积分变换法解定解问题.（14分） ，，，，,x,x,，,,,u00,tt,,ux,,,,,,,,，,|0,4|0,50,,t, 解：（1）对<1>的两端对t取Laplace变换， ，,,st 设，由<4><5>, <1>变为： UxsLuxtuxtedt,,(,),,，，，，，，，，,0 22dUxs,，，s ,,,,Uxs,06 （3分） ，，2dx9 （2）对<2><3>的两端对t取Laplace变换， ，,,st 记FsLttedt,,,coscos，则<2><3>变为： ，，,,,0 UsFs0,7,,,,，，，，, （3分） ,lim,08Uxs,,,，，,x,，,, s,xa （3）由<6><7><8>解得：. （4分） UxsFse,9,,,，，，， （4）对<9>的两端取Laplace逆变换求. uxt,，， x,0t,s,,x，，3,11,,3 （4分） uxtLUxsLLte,,cos,,,，，，，，，,,,,,，，xx,,，，,costt,,,,,33,,, 2,,,uu,,2,0,x,1,t,0,2,t,x,5、求解定解问题u|,,1,u|,0,t,0.（I） （13分） ,x,x,012,u|x0x1,,,t,0,, 解：（1）令，，，，，，，，ux,t,vx,t，wxvx,t，使得函数满足以下边界条件： 2,vv,,,0x1,t0,,,,,2tx,,, . (II) (3分) v|0,v|0,t0,,,,0x,x,l2,，，v|xwx0x1,,,,0t,,, ,,，，wx,2, 因此，，，wx满足. (III) (1分) ,，，，，w0,,1,w1,0, 共5页，第4页 2，，wx,x,1 （2）由（III）得，. (2分) （3）利用分离变量法求解定解问题(II)得 2 本征值 ， n,1,2,？，，,,n,n 本征函数 ，，Xx,Csinn,x，. n,1,2,？nn 22,n,t 且 ， n,1,2,？，，Tt,Benn ,22,,nt 定解问题(II)的解：，，vx,t,Desinn,x. （4分） ,n,n1 2n 其中，,,. D,1,(,1)nn, ,222nnt,, 即， ，，,,，，vx,t,1,,1esinn,x. （2分） ,n,n1, （4）因此，定解问题（I）的解： ,2222,nn,t ,,，，，，，，ux,t,vx,t，wx,x,1，1,(,1)esinn,x. （1分） ,n,,1n 共5页，第5页