东南大学05-06-2工科数学分析期末试卷(A、B)答案
工科数分05-06-2期末试卷(A、B)参考答案及评分标准 06。1。19
一(填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)
112;2(3)(;3(4)(;4(6)(;5(7)(充分;6(9)( 1(0xy(1ln)，3
111;7(2)(;8(5)(;9(8)( 12,,p,,1,2123，，，，，，，，n23n
,,,,,,,,, ,,,,0,0,,,,()()xxIxxfxfx，,,,，,,,,,00
二(计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)
2x2，;()xxe1,,x21( (5分)(2分) ,,3limlim,22，，,,xx00xxxx1cos,,xx211(),,,，,，x;28224
xxxe1e11e11,,2xxxx2(dddarctand4e,,,， 2222,xxxx,,,,e4e4e422814e，，，，
x1e1,2x,，，，C(2分+2分)arctanln14e(3分) ，，228
,,,,242xxxxsinsind,3(4)((3分)(2分) ,,cossindxxx,cossindxxx,,,0002
,(2分) ,2
，,11ddxtdt1,4(3)(令，(3分) ,x,,,,221020t,，,，xxxtt221221(1)，,t
21,,，，,,，ln11(1)ln(12)tt(4分) ，，0
12,(,)xy三((本题满分9分)设为切点， abxx,,,，1,yxbxx()21,,,,,,,00000002b
a2a,122b()2()d2(1),,,,,Vaxabxxaa(3分)(2分) ,,a，,1,02b4b
222,,令，(2分)当时，Va()0,，当时，,,,,,0,,aa,Vaaaa()2(23)0,333
23,Va()0,，是唯一的极大值点，因而是最大值点，。(2分) b,a,43
四((本题共2小题，满分14分)
222,x,,xx2,1((本题满分6分)(1分)，(2分+3分) yxyx22eyCx,，ee，,
xx(1)，*2x,,,2((本题满分8分)(2分)，解得一特解，解yyx,,2yCC,，ey,,1124
1xx(1)1，2x*2x22xx,,,yy,,2e得一特解(4分)，(1分)， yx,eyCCx,，,，ee212242
9119,由得， yy(0)2,(0),,CCCCC，,,，,,,2,2,1122124424
1(1)xx，,,2xyx,，,，1e1(1分) ,,24,,
x,22x,,,,(,3)(0,3)五((本题满分7分)设，当时，， fx()0,fxxx()e(3),,,
,，,3,03,因此只需讨论在上的零点个数。(2分) fx()，，，，
3122(3,1),,，在和内至少fx()(1,0),fff,,,,,,,,,3e0,(0)10,(1)e20，，
3,,12(3,2)fffx(3)e0,(2)e20,(),,,,,各存在一个零点。在内至少存在一个零
点。因此至少存在三个零点。(3分)现证明至多存在三个零点。设存在四fx()fx()fx()
x,12,,,,,,fx,,,,()e60个零点，反复使用Rolle定理，知至少存在一个零点，但。fx()8x,22矛盾。方程恰好有三个实根。(2分) e(3),,xx
111六((本题满分6分)设为正整数，， kxk,,，,,1,k212121kxk，,,
k，1111三边积分得，(2分)左边关于kn,,1,2,,1相加得: ,,xd,kkxk，,,212121
n1111，右边关于kn,1,2,,相加得: ，，，,,,xndln21,1nx,,352121
n，11111，(3分)所以 ，，，，,,，xn1dln21,1nx,,352121
111(1分) ln2111ln21nn，,，，，，,，,3521n,
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