高中数学三角函数解题方法技巧

高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 三角函数解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 方法技巧 高中数学三角函数解题方法技巧 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制:把等于半径长的圆弧所对的 L圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其r中r是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为(x,y)，到原点的距离为r,则正弦 xyxyr函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,yrxrx r. 余割函数cscα=y 111定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系:tanα=,sinα=，cosα=;cot,csc,sec, ,,sincos,商数关系:tanα=,cot,;乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;cos,sin,222222平方关系:sinα+cosα=1, tanα+1=secα, cotα+1=cscα. 定理2 诱导公式(?)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(?)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (?)sin(π-α)=sinα, cos(π- ,,,,,,,,,,α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (?)sin=cosα, cos=sinα, ,,,,22,,,, ,,,,,tan=cotα(奇变偶不变，符号看象限)。 ,,2,, 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx(x?R)的性质如下。单调区间:在区间 ,3,,，，，，kk2k,，,2k,，,2,,2，上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为,,,,,,2222，，，， ,,2,. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k,-时, y取最小22 ,值-1。对称性:直线x=k,+均为其对称轴，点(k,, 0)均为其对称中心，值域为[-1，1]。2 这里k?Z. 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x?R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性: ,,,k，,0直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时，y取,,,2,, 最大值1;当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k?Z. ,,,定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(x,kπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函222 ,数, 最小正周期为π，值域为(-?，+?)，点(kπ，0)，(kπ+，0)均为其对称中心。 2 ,,,定理6 两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcos ,,,(tantan),,.βcosαsinβ; tan(αβ)= ,,,(1tantan) 定理7 和差化积与积化和差公式: ,，,,,,,，,,,,,,,,,,,,sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos, ,,,,,,,,2222,,,,,,,, ,，,,,,,，,,,,,,,,,,,,cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, ,,,,,,,,2222,,,,,,,,11sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], 22 11cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 222222定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα, ,2tan.tan2α= 2(1,tan), ,,，,,,(1cos)(1cos),,,,,,定理9 半角公式:sin=,cos=, ,,,,2222,,,, ,,,,sin(1,cos)(1,cos),,.,tan== ,,,2,,(1cos)sin，(1，cos,),, ,,,,,,22tan1,tan,,,,22,,,,,,cos,sin,定理10 万能公式: , , ,,,,,,221，tan1，tan,,,,22,,,, ,,,2tan,,2,,,, tan.,,,2,1tan,,2,, 22,定理11 辅助角公式:如果a, b是实数且a+b0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b) ba的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α. 2222a，ba，b 22asinα+bcosα=(a，b)sin(α+β). abc定理12 正弦定理:在任意?ABC中有，其中a, b, c分别是角A，,,,2RsinAsinBsinC B，C的对边，R为?ABC外接圆半径。 222定理13 余弦定理:在任意?ABC中有a=b+c-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得 1,y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin(),x,,0, 的图象(周期变换);横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象(振幅变换); ,y=Asin(x+)(>0)的图象(周期变换);横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx,, ,,,的图象(振幅变换);y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到,,,y=Asinx的图象。, ,,,,，，定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x?[-1, 1])，函数,,,,,x,,,,22，，,, y=cosx(x?[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x?[-1, 1]). 函数 ,,,,，，y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x?[-?, +?]). y=cosx(x?[0, π]),,,,,x,,,,22，，,, 的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x?[-?, +?]). n定理15 三角方程的解集，如果a?(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)arcsina, n?Z}。 ,方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k?Z}. 如果a?R，方程tanx=a的解集是 ,,{x|x=kπ+arctana, k?Z}。恒等式:arcsina+arccosa=;arctana+arccota=. 22 ,,,x,0,定理16 若，则sinx0，求证:,, ，,2.,,,,,,sinsin2,,,, 注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3(最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 4(三角最值问题。 2例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。 1，cosx ,<π，求sin的最大值。 例6 设0<(1，cos,),2 例7 若A，B，C为?ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 注:三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5(换元法的使用。 sinxcosx例8 求的值域。 y,1，sinx，cosx 1，2,1a,n,1例9 已知a=1, a=(n?N)，求证:a>. 0n+nn，2a2n,1 注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 ,,,0,另外当x?时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，学完导数后，证明,,2,, 是很容易的。 ,,6(图象变换:y=sinx(x?R)与y=Asin(x+)(A, , >0). ,, ,由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再 1,保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象;也可以由y=sinx的图象,, 1先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最, ,,后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。 ,, ,,例10 例10 已知f(x)=sin(,x+)(,>0, 0??π)是R上的偶函数，其图象关于点 ,,3,,，，M,00,,对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 ,,,,,42,,，， 7(三角公式的应用。 ,,355,,,,,,,2,，sin(α+β)=- ，且α-β?，α+β?，求sin2α,cos2β例11 已知sin(α-β)=,,,,221313,,,,的值。 112，,,例12 已知?ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求cosAcosCcosB A,C的值。 cos2 ::例13 求证:tan20+4cos70. 三、基础训练题 1(已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 1，cosx1,cosx，,2(适合-2cscx的角的集合为___________。 1,cosx1，cosx 3(给出下列命题:(1)若α,β，则sinα,sinβ;(2)若sinα,sinβ,则α,β;(3)若sinα>0，则α为第一或第二象限角;(4)若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。 14(已知sinx+cosx=(x?(0, π))，则cotx=___________。 5 ,,,,,,tt，,5(简谐振动x=Asin和x=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。 ,,,,,,1236,,,, 6(已知3sinx-4cosx=5sin(x+)=5sin(x-)=5cos(x+)=5cos(x-)，则，，，分别,,,,,,,,12341234是第________象限角。 7(满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 31111，，cosx8(已知，则=___________。 ,,x,2,22222 :::cos40，sin50(1，3tan10)9(=___________。 ::sin701，cos40 ::::10(cot15cos25cot35cot85=___________。 15,11(已知α,β?(0, π), tan,, sin(α+β)=，求cosβ的值。 2213 ,m,2sinx,,0,12(已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。 ,,2cosx,, 四、高考水平训练题 1(已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________. 2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 2,sinxy,3. 函数的值域为__________. 2,cosx ,,,2sin2x，,lgx4. 方程=0的实根个数为__________. ,,6,, ,,,,,0,5. 若sina+cosa=tana, a，则__________a(填大小关系). ,,23,, ::::6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________. ,7. 若00, k=-1，求f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数(包括整数本身)间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 221(若x, y?R，则z=cosx+cosy-cosxy的取值范围是____________. x,2222(已知圆x+y=k至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k3sink 的取值范围是____________. 3(f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________. ,,,, 34(方程sinx+cosx+a=0在(0，2π)内有相异两实根α，β，则α+β=____________. 5(函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. aaa6(设sina>0>cosa, 且sin>cos，则的取值范围是____________. 333 7(方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解. 8(若x, y?R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. ,m2m+19(若0<<, m?N, 比较大小:(2m+1)sin(1-sin)__________1-sin. ,,,,+2 ::10(cot70+4cos70=____________. sinx，siny,a, ,cosx，cosy,b11. 在方程组中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。 , ,cotx,coty,c, ,,,222,0,12(已知α，β，γ，且cosα+cosβ+cosγ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。 ,,2,, ,,sin3sinx，y,a, ,,,sin3sinx，y,a13(关于x, y的方程组有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求, ,xsin3,，ysin,,a, sinα+sinβ+sinγ的值。 ,,,,0,14(求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对(x, y), x, y. ,,2,,联赛一试水平训练题(二) 1(在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与 2函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________. a，1 5,,,,,2，，,,,,,,x,,,,xxx，，，2(若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________. ,,,,,,,,312366，，,,,,,, cotC2223(在?ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a+9b-19c=0，则=__________. cotA，cotB 1515,,,,2,,4(设f(x)=x-πx, α=arcsin, β=arctan, γ=arccos, δ=arccot, 将f(α), f(β), f(γ), f(δ),,,,3434,,,,从小到大排列为__________. 5(logcos1=a, logtan1=b, logsin1=c, logtan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为sin1sin1cos1cos1 __________. 6(在锐角?ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα?tanβ?tanγ=__________. ,7(已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0<<π)，且对任何x?R, ,,2 243f(x)=sin?x+?x+cos?0，则此矩形面积的取值范围是__________. ,, 8(在锐角?ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________. 229(已知当x?[0, 1]，不等式xcos-x(1-x)+(1-x)sin>0恒成立，则的取值范围是__________. ,,, 22210(已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cosx+ cosy+ cosz=__________. 111(已知a, a, …,a是n个实常数，考虑关于x的函数:f(x)=cos(a+x)+cos(a+x) +…12n1221+cos(a+x)。求证:若实数x, x满足f(x)=f(x)=0，则存在整数m，使得x-x=mπ. n121221n,12 sinA，sinB，sinC,12(在?ABC中，已知，求证:此三角形中有一个内角为。 ,33cosA，cosB，cosC 8n13(求证:对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 5 六、联赛二试水平训练题 1(已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0?(w?R). n，111,,,,+n2,1,12. 已知a为锐角，n?2, n?N，求证:?2-2+1. ,,,,nnsinacosa,,,, y2n1，x33. 设x, x,…, x,…, y, y,…, y,…满足x=y=, x=x+, y=，求证:12n12n11n+1nn+1n21，1，yn y<3(n?2). 2m，求证:对一切x都有2|sinx-cosx|?3|sinx-cosx|. ,,2,,7(在?ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 n8(求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2a, …中的每一项均为负数。 n,,,+2,0,9(已知，tantan…tan=2, n?N, 若对任意一组满足上述条件的 ,,,,,,i12n2,, ，，…，都有cos+cos+…+cos?λ，求λ的最小值。 ,,,,,,12n12n w w w . k s 5 u . c o m 来 源 : 高 考 资 源 网