四参数正弦波曲线拟合的快速算法

四参数正弦波曲线拟合的快速算法 王梁志国, 张大治, 孙景宇, 李新良 ( ) 中国一航北京长城计量测试技术研究所计量与校准国防科技重点实验室, 北京 100095 摘 要: 介绍了一种基于信号频率估计方法, 利用三参数正弦波拟合算法实现的四参数最小二乘正弦 ) ) ) ) ) 波拟合算法, 特点是: 1绝对收敛; 2不需要对参数进行预估计; 3算法简洁; 4不需要迭代过程; 5运算速 度高。 仿真实验验证了方法的有效性、正确性和局限性。 关键词: 正弦波; 曲线拟合; 收敛性; 评价 ( ) 中图分类号: 24115 文章编号: 100226061 20060120004204 O 文献标识码: A -- A Fa st A r ithm e t ic M e thod of Fourpa ram e ter S in e W a ve Curvef it 2222, , , L IA N G Zh iguo ZHA N G D a zh iSU N J in gyu L I X in lian g ()N a t io na l L abo ra to ry o f M e t ro lo gy and C a lib ra t io n o f C h angch eng In st itu te o f M e t ro lo gy & M ea su rem en t, B e ijing 100095, C h ina 22: , A b stra c tIn th is p ap e ra fo u rp a ram e te r lea s t squ a re s in e w ave cu rvef it m e tho d b a sed o n th e 22f requ en cy e s t im a t io n m e tho d an d rea lized b y u s in g th e th reep a ram e te r s in e w ave cu rvef it m e tho d is ) );. : 1; 22in t ro du cedT h e fea tu re s o f it a reab so lu te co n ve rgen cew itho u t th e p ree s t im a t io n o f p a ram e te r s ) ) ) 3 ; 4; 5. s im p le an d ea sy to b e rea lizedno ite ra t io nh igh sp eed ca lcu la t io n co u r seT h e s im u la t io n re su lt s ., h ave p ro ved th e co r rec tn e s sr igh tn e s s an d th e defec t o f th is m e tho d : ; 2; ; Key word ss in u so ida l w avecu rvef itco n ve rgen ceeva lu a t io n , 则很容易导致迭代过程发散或值 距离目标值“太远” 概述0 收敛到局部最优点而不是总体最优点上, 致使拟合结 正弦波曲线的四个独立参数分别为: 幅度、频率、 果错误。另外, 多数四参数正弦波拟合算法的共同缺点 相位和直流分量。 是拟合过程需要大量运算时间, 从而影响了算法的效 由正弦波形的等间距采样序列获得其四参数拟合 率 和实时性应用。 因此, 提高运算效率和缩短运行时 , 是一种基本信号处理方法, 在许多场合 正弦曲线函数 间, 也一直是四参数正弦波曲线拟合的目标之一。 一种下获得了应用, 如评价数据采集系统的有效位数、采集 1 显而易见的方法是使用组合方法与技术来达 速率、交流增益、通道间延迟、触发特性等, 在调制信 2- 5 到目的, 即不是同时使用四参数拟合方法获得最终结 号的数字化解调和失真度测量中, 也有应用。 针对 果, 而是通过其它方法首先对信号的频率进行估计, 在 四参数正弦波曲线拟合算法, 已有众多学者 6- 16 此基础上, 再使用已知信号频率的三参数正弦拟合算 作过大量研究工作。对于这类算法, 人们比较关注 12, 16 6 法进行拟合, 最终获得正弦波形的四个参数。当正 其以下几方面的特性: ?相对精度; ?绝对精度; ?效 弦信号采样序列是等间隔采样序列时, 该拟合过程将 率; ?收敛性; ?运行时间; ?残差形式; ?鲁棒性。 不需要叠代运算, 从而具有速度快、过程简洁的特点, 通过上述研究, 人们发现, 已知频率, 关于幅度、相 但精度通常较四参数直接拟合差。 本文下面的过程具 位和直流分量的三参数正弦波曲线拟合是一种闭合的 有这样的特点。 线性过程, 绝对收敛。 而四参数正弦波曲线拟合则不 首先, 将详细介绍一种三参数正弦波曲线拟合算 然, 尚无确切的数学公式可直接计算获得拟合参数, 多 法; 然后介绍一种正弦频率估计方法; 最后, 介绍由它 数已知的方法都属非线性迭代拟合过程, 若拟合初始 们的组合获得的四参数正弦波曲线拟合算法。 [ 15 ]收稿日期: 2005207218 1 三参数正弦波曲线拟合法 ( ) 作者简介: 梁志国 19622, 男, 研究员, 硕士, 研究方向为数字 设理想正弦信号为 ( ) ) ) ((= 0 + 0 + 计方法相结合, 可获得绝对收敛的四参数正弦波曲线22y tA co s Πf tB sin Πf tD 0 () 1 拟合方法。 ) ( = + + 2C 0 co s Πf tΗ0 D 0数据记录序列为时刻, ,, 的采集样本, ,t1 t2 tn y 1 y 2 2 四参数正弦波曲线拟合的快速收敛算法 [ 12 ], y n , 采集速率 v 已知, 采样间隔为 ? t, ti = i×? t= iv , ƒ211 正弦信号序列频率的估计 ) () ( = 1, , , 数字角频率 = 2, 则式 1可表示ƒin ΞΠf v 关于正弦波序列频率的估计方法, 有很多文献做 成 12, 17 , 31 下列离散形式 了讨论, 根据精度、速度、实时性和信号质量的 ( ) ) ( () (y i= A co s Ξi+ B sin Ξi+ D 0 0 不同, 可以采取不同的方法。 0()2 () 当式 1所述正弦信号被执行均匀采样后获得的 ) (= C co s i + Η0 Ξ0 + D 0三参数正弦波曲线拟合过程, 即为输入信号的数 等间隔采样序列为 , ,, , 其表述的函数关系如y 1 y 2 y n 字角频率 已知, 选取或寻找, , , 使下式所述残Ξ A B D () 式 2所示。 令 差 平方和最小: ( ) ) (()4 = 0 + 0 , = 1, , x iC co s ΞiΗinn 2, 2若测量点 的误差为 , = 2, 则有y i Χi g co sΞ ) ) ()((Ε= [ y -A co s ΞiB sin ΞiD ] 3 i ? i= 1 - - ()( ) ( ) 5 y = y i+ Χ= x i+ D + i i 则, 参数A , B , D 即为A 0 , B 0 , D 0 的最小二乘拟合值。为 Χi 寻找出, , , 构造矩阵A B D ( ) ( ) ( ) ()x i+ x i - 2= 2co sΞr x i - 1 ()6 1 co s sin ( )= g r x i - 1 )( ) ( (( ) ) () - + - 2- = - 1- D 7y iD y iD g y i()()Ξ〃1 Ξ〃1 1 = 7 (() - - + - - = - - 8y i D Χi y i- 2 D Χi- 2 g y i- 1 D Χi- co s sin ) 1 ()()y i+ 1 - + - - = - 9 D - Χi+ 1 y i- 1 D Χi- 1 g y i D Χi (()) Ξ〃2Ξ〃2co s 1 sin - 令()()n n 〃〃yΞ Ξ 1 A ()10 y i- 1 = - i y i z y 2B ; y = 0 = x = Φi Χi Χi- ()11 1 - D () () 则由式 8和 9得 y n ()z + z - g z =12 () i+ 1 i- 1 i Φi+ 1 + Φi- 1 - g 则式 3可用矩阵表示为 T Φi() ) ()( ) = = - ΕΕΞ7 x 0 y 7 x 0 由于可以认为 Χi 为随机误差, 故式 12右侧也可 δ ( -() y 当式 3最小时可得 的最小二乘解 :以认为是随机误差。 通过选取 使得0 x 0 xg δ T- 1 T n- 1 () ()= 0 7 7 7 y x2 ) (()z - g z = m inΘ= z +13 i- 1 i i+ 1 ? i= 3 拟合函数为 δdΘ( ) ) ) ((= + + yiA co s ΞiB sin Ξi 令= 0, 则得 dg Dn- 1 z z + z z + 2z z n n- 1 3 2 i i- 1其幅度和相位表达形式? i= 4 δ()2 214 g = n- 1 ( ) ) (= + + yiC co s ΞiΗA + B 其中 C = 2 z i ? DB - i= 3 ) ( a rc tan ;A ?0 A ()()Ξ = a rcco s g 2 15 ƒ= Η - B ( ) 即为数字角频率的最小二乘估计a rc tan ;A < 0 Ξ + ΠA 值。拟合残差为 212 将第四参数正弦波曲线拟合的快速算法 211 节和第 1 节的运算过程结合起来, 即构成 ) ) ((= - - ri y i A co s ΞiB sin ΞiD 了组合形式的四参数正弦波最小二乘拟合算法。 从上 - Ε述过程可见, 两种算法均只涉及使用了加、减、乘、除的 拟合残差有效值为 ′; 其中Εn = n 四则运算, 属于不需要经过叠代的闭合算法, 因而没有 δ22 n (( ) ) y -Ε= ri =yii ?? 收敛性问题, 即过程总是收敛的。 i= 1 i = 1 3 仿真实验验证 , 因而收敛是肯定的。由于这是一种闭合算法 对于四参数正弦波曲线拟合算法的较全面评价需将上述三参数正弦波曲线拟合方法与信号频率估 -5, 5 、采样速率 4 。 当仿真量系统量程ƒƒ要 使用蒙特卡罗仿真方法, 或使用文献 32 所述方法 V GSa sA D 首先获得其指标以最终确定优劣。限于篇幅, 这里只选 位数变化时, 其用本文上述方法获得的四参数拟合结 择在一组特定条件下的不同算法的结果比较来间接考 果如表 1 所示。 表 2 为相同条件下使用文献 4 所述的 察其相对优劣。 频率搜索法获得的拟合结果, 表 3 为相同条件下使用 6 迭代法获得的拟合结果。设 定, 仿 真 信 号 标 称 幅 度 为 4 、标 称 频 率 为N ew to n V 6254321 、标称相位0 、标称直流分量0 。仿真测H zradV 表 1 本文所述方法四参数正弦波拟合结果 (噪信比) 幅度ƒV 频率ƒH z 相位ƒrad 直流分量ƒV 有效位数ƒb it s 信噪比ƒdB ƒƒ A D b it s - 316 0. 44510763 6555294 - 0. 393 0. 0398 2. 04 8. 92 6. 69×10 - 3 17 3. 44814602 6332723 - 0. 914 1. 03 7. 99 0. 580 2. 86×10- 518 3. 95509717 6274806 - 0. 232 2. 88 19. 13 0. 140 2. 50×10- 5- 0. 0474 19 3. 99635777 6259173 4. 95 31. 59 0. 0331 - 5. 11×10- 5 20 3. 99965827 6255220 - 0. 000787 7. 38 46. 22 0. 00613 - 1. 43×10- 6 21 3. 99992657 6254553 0. 00709 9. 34 58. 01 0. 00158 - 4. 63×10- 622 3. 99998701 6254365 0. 00931 11. 76 72. 57 0. 000295 - 1. 39×10- 723 4. 00000456 6254306 0. 0100 13. 25 81. 55 0. 000105 - 1. 91×10- 724 3. 99999176 6254349 0. 00950 12. 41 76. 49 0. 000188 - 4. 89×10 表 2 频率搜索迭代方法四参数正弦波拟合结果 () ƒƒ噪信比 幅度ƒV 频率ƒH z 相位ƒrad 直流分量ƒV 有效位数ƒb it s 信噪比ƒdB A D b it s - 33 3. 81532263 6254382 - 0. 500 3. 34 21. 90 0. 106 9. 17×10 - 3- 2 4 3. 93456138 6254349 - 0. 250 4. 30 27. 71 9. 52×105. 25×10- 3- 2 - 0. 125 5 3. 97683421 6254330 9. 71×105. 29 33. 67 2. 62×10- 3- 2- 26 3. 99179210 6254325 6. 29 39. 69 - 9. 76×106. 25×10 1. 30×10- 3- 2- 3 7 3. 99709260 6254321 7. 30 45. 74 - 9. 81×103. 13×106. 49×10- 3- 2- 38 3. 99896206 6254323 8. 30 51. 79 - 9. 81×101. 57×103. 23×10- 3- 3- 39 3. 99962387 6254322 9. 31 57. 83 - 9. 81×107. 83×101. 61×10- 3- 3- 410 3. 99987049 6254322 10. 31 63. 86 - 9. 81×103. 91×108. 04×10- 3- 3- 411 3. 99995484 6254321 11. 31 69. 89 - 9. 82×101. 95×104. 02×10- 3- 4- 412 3. 99998731 6254321 12. 32 75. 94 - 9. 83×109. 76×102. 00×10- 3- 4- 413 3. 99999714 6254321 13. 31 81. 93 - 9. 83×104. 90×101. 00×10- 3- 4- 814 4. 00000198 6254315 - 26. 51 161. 37 9. 90×102. 45×101. 07×10- 3- 4- 515 4. 00000038 6254321 15. 85 97. 24 - 9. 82×101. 22×101. 72×10- 3- 5- 516 4. 00000020 6254321 16. 22 99. 43 - 9. 82×106. 09×101. 34×10- 3- 5- 517 3. 99999997 6254321 15. 80 96. 90 - 9. 82×103. 05×101. 79×10- 3- 5- 518 4. 00000006 6254321 - 15. 52 95. 22 9. 82×101. 52×102. 17×10- 3- 6- 519 4. 00000001 6254321 16. 52 101. 25 - 9. 82×107. 52×101. 09×10- 3- 6- 620 4. 00000002 6254321 17. 80 108. 93 - 9. 82×103. 73×104. 49×10- 3- 6- 821 3. 99999944 6254323 26. 04 158. 55 - 9. 80×101. 83×101. 48×10- 3- 7- 922 3. 99999916 6254324 26. 97 164. 19 - 9. 79×108. 93×107. 74×10- 3- 7- 823 3. 99999941 6254323 25. 83 157. 29 - 9. 80×104. 07×101. 71×10- 3- 7- 8 24 3. 99999942 6254323 - 26. 55 161. 64 9. 80×101. 73×101. 04×10 表 3迭代法四参数正弦波拟合结果 N ew to n () ƒƒ噪信比 幅度ƒV 频率ƒH z 相位ƒrad 直流分量ƒV 有效位数ƒb it s 信噪比ƒdB A D b it s - 43 3. 813509567 6254384 - 0. 500 3. 34 21. 90 0. 106 - 2. 90×10 - 2- 4 4 3. 934210345 6254349 - 0. 250 4. 30 27. 71 5. 25×10- 3. 03×10- 4- 25 3. 976735055 6254330 - 0. 125 5. 29 33. 67 - 1. 11×102. 62×10- 2- 56 3. 991778903 6254325 6. 29 39. 69 0. 0130 - 6. 25×10 - 6. 96×10- 6- 2- 37 3. 997088078 6254321 7. 30 45. 74 - - 9. 43×103. 13×106. 49×10- 5- 2- 38 3. 998962075 6254323 8. 30 51. 79 - - 1. 92×101. 57×103. 23×10- 5- 3- 3 9 3. 999623494 6254322 - 9. 31 57. 83 - 1. 44×107. 83×101. 61×10- 5- 3- 410 3. 999869645 6254322 - 10. 31 63. 87 - 1. 61×103. 91×108. 03×10- 6- 3- 411 3. 999953984 6254321 11. 31 69. 91 - - 2. 95×101. 95×104. 01×10- 6- 4- 412 3. 999986439 6254321 12. 32 75. 95 - 5. 81×109. 76×102. 00×10- 6- 4- 413 3. 999996275 6254321 13. 32 81. 97 - 2. 44×104. 90×101. 00×10- 7- 4- 514 3. 999999306 6254321 - 14. 32 87. 99 4. 71×102. 45×105. 00×10- 7- 4- 515 4. 000000368 6254321 15. 32 94. 03 - - 1. 51×101. 22×102. 49×10- 7- 5- 516 4. 000000196 6254321 16. 32 100. 07 - 1. 35×106. 09×101. 24×10- 8- 5- 617 3. 999999971 6254321 17. 33 106. 10 - 2. 65×103. 05×106. 21×10- 8- 5- 618 4. 000000052 6254321 18. 32 112. 08 - - 1. 75×101. 52×103. 12×10- 8- 6- 619 4. 000000007 6254321 19. 31 118. 06 - 2. 83×107. 52×101. 57×10- 9- 6- 720 4. 000000021 6254321 20. 30 124. 04 - 4. 39×103. 73×107. 88×10- 10- 6- 721 4. 000000015 6254321 - 21. 29 129. 94 8. 93×101. 81×103. 99×10- 9- 7- 722 3. 999999996 6254321 22. 15 135. 16 - - 3. 14×108. 58×102. 19×10- 9- 7- 723 4. 000000002 6254321 22. 81 139. 11 - - 1. 76×103. 83×101. 39×10- 10- 7- 724 3. 999999994 6254321 23. 15 141. 16 - - 1. 42×101. 49×101. 10×10 算法。从上述仿真过程及结果可见, 本文所述方法的运 参考 文 献 算速度最快, 也最为便捷, 没有收敛性问题, 但对数据 王1 梁志国, 孙景宇. 正弦波模型化测量方法及应用 [. 航空计测J 要求较高, 且拟合精度最差, 当ƒ位数低到 16 位时,A D ( ) 技术, 2001, 21 6: 327. 拟合结果已经非常差了, 原因在于本文方法的频率估2 梁志国, 朱济杰. 调相信号的一种数字化精确解调方法 [. 计 J 计精度受数据质量影响非常严重; 频率搜索方法的运 ( ) 量学报, 2003, 24 4: 3252329. 算 速度最慢, 但收敛性较好, 精度中等; 而法的N ew to n 王3 梁志国, 孙景宇. 调幅信号的数字化解调 [J . 测控技术, 2004, ( ) 23 10: 17220. 精度最高, 速度中等, 但有时拟合结果不收敛。 王4 梁志国, 孙景宇. 调频信号的数字化解调 [ J . 测试技术学报, 结束语4 ( ) 2005, 19 2: 1902194. 综上所述可见, 用本文所述方法进行四参数正弦 王5 梁志国, 朱济杰, 孙景宇. 正弦信号总失真度的一种精确评价方 法[ .J ) 波拟合, 具有如下特点: 1不存在过程的收敛问题, 因 ( ) 计量学报, 2003, 24 2: 1442148. 6 , , .Jo h n Kuffe lT e rence R M cCom bR y sza rd M a lew sk i ) 而总是可以获得一个估计结果; 2不需要对参数进行 2Com p a ra t ive E va lua t io n o f Com p u te r M e tho d s fo r C a lcu la t ing th e B e st ) 预估计, 算法简洁; 3不需要迭代过程, 所有结果都可 2[. F it S inu so id to th e D ig ita l R eco rd o f a H igh P u r ity S ine W ave J IE E E ) 以一次运算获得, 因而具有较高的运算速度; 4量化噪 ( ) T ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t, 1987, 36 3 : 4182 声和随机误差对本文所述频率估计算法影响非常大,422. 因此其最适合于测量数据比较精确的序列模型估计;7 T e rence R M cCom b, Jo h n Kuffe l and B ryan t C L e Ro ux, A Com p a ra t ive E va lua t io n o f Som e P rac t ica l A lgo r ithm s U sed in th e ) 5估计过程对序列所含信号周期数没有要求, 故可以 [ . E ffec t ive B it s T e st o f W avefo rm R eco rde r s J IE E E T ran sac t io n s o n 依据精确的局部周期数据对参数模型进行估计, 此为 ( ) , 1989, 38 1: 37242.In st rum en ta t io n and M ea su rem en t ) 其重要特点; 6如果对测量序列进行一下预处理, 使其 8 . J eng Y CH igh p rec isio n sinu so ida l f requency e st im a to r ba sed 近似含有整数个信号周期, 将可以进一步降低估计结 o n w e igh ted lea st squa re m e tho d [ J . IE E E T ran sac t io n s o n ) ( ) 果的不确定度。 7如果选取其它效果更加优良的信号 , 1987, 36 2: 1242127. In st rum en ta t io n and M ea su rem en t () 频率估计方法, 将可以获得更加有价值的正弦波拟合 下转第 47 页 2[ . func t io n m ea su rem en t tech n ique fo r sm a llp ixe l de tec to r s J O p t ica l 小了定焦带来的测量不确定度。 另外采用双刀口扫描 ( ) , 1993, 32 2: 952100.E ng inee r ing 可进行器件调平判断和环境振动、噪声的判断, 以便及 4 M ile s N W e rn ick , G M ich ae l M o r r is. E ffec t o f sp a t ia l 时发现问题, 设法消除其对测量不确定度的影响。 2co h e rence o n k n ifeedge m ea su rem en t s o f de tec to r m o du la t io n t ran sfe r 参 考 文 献( ) [. , 1991, 30 9: 139421398.func t io n J O p lica l E ng inee r ing 光学传递函数及数理基础 [.北京: 国防工业出版 麦伟麟. M 1 5 光学传递函数测量导则[ .ƒ4315. 2- 1998, GB T S 社, 1979.6 Jo h n C F e ltz, M o h amm ad A Ka r im. M o du la t io n t ran sfe r 2 王庆有.CCD 应用技术[M . 天津: 天津大学出版社, 1991. func t io n o f ch a rge2co up led dev ice s [ J . A pp lica t io n O p t ica l, 1990, 27 3 M o du la t io n t ran sfe r M ik e M a rch yw k a, D enn is G So ck e r. ( ) 2: 7172722. m ea su rem en t in e lec t r ic pow e r sy stem s [J . IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r ()上接第 7 页 1989, 4: 157321578. D e live ry. 29 ,Y ih C h yun J enq P h ilip B C ro sby. S inew ave P a ram e te r 21 G irg is A A , P e te r so n W L. A dap t ive e st im a t io n o f pow e r E st im a t io n A lgo r ithm w ith A pp lica t io n to W avefo rm D ig it ize r E ffec t ive f requency dev ia t io n and it s ra te o f ch ange fo r ca lcu la t ing sudden pow e r [ . B it s M ea su rem en t J IE E E T ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and [ . , 1990, 5:sy stem o ve r lo ad s J IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r D e live ry ( ) , 1988, 37 4: 5292532.M ea su rem en t 2594. 58510 , , . F e lice C ennam o P a squa le D apo n teM a r io Sava stanoD 22 T e rzija V V , D jr ic M B , Ko vacev ic B D. V o ltage p h a so r and [ . ynam ic T e st ing and D iagno st ic s o f S igna l A na lyze r s J IE E E 2[ . lo ca l sy stem f requency e st im a t io n u sing N ew to ntyp e a lgo r ithm s J ( ) , 1992, 41 6 : 8402T ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t , 1994, 9: 136821374.IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r D e live ry 844. 23 . [. Guo W e iE st im a t io n s o f f requency and it s d r if t ra te J IE E E 11 G iaqun in to N , T ro t ta A. F a st and accu ra te A D C te st ing v ia an ( ) , 1997, 46 1: 79282.t ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t IE E E t ran sac t io n s o n enh anced sine w ave f it t ing a lgo r ithm [ J . 24 D a sh P K , Sw a in D P , Ro u t ray A , L iew A C. A n adap t ive ( ) , 1997, 46 4: 102021025. In st rum en ta t io n and M ea su rem en t neu ra l ne tw o rk fo r th e e st im a t io n o f pow e r sy stem f requency [ J . 12 Zh ang J Q , Z X inm in , H X iao , S J inw e i. S ine w ave f it . , 1997, 41: 2032210.E lec t r ic pow e r sy stem R e s 2a lgo r ithm ba sed o n to ta l lea stsqua re s m e tho d w ith app lica t io n to A D C 25 T ich av sk y P. Com p a ra t ive study o f fo u r adap t ive f requency [ . effec t ive b it s m ea su rem en t J IE E E t ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n 2[ . , 1997, 45: 1473 t rack e r s J IE E E T ran sac t io n s o n S igna l P ro ce ssing( ) , 1997, 46 4: 102621030.and M ea su rem en t 1484. 13 . 221057 2 P e te r H ande lP rop e r t ie s o f th e IE E E STD Fo u r 26 . N ish iyam a KA no n linea r f ilte r fo r e st im a t ing a sinu so ida l [ . P a ram e te r S ine W ave F it A lgo r ithm J IE E E T ran sac t io n s o n : signa l and it s p a ram e te r s in w h ite no iseo n th e ca se o f a sing le sinu so id ( ) , 2000, 49 6: 118921193.In st rum en ta t io n and M ea su rem en t [. , 1997, 45: 970- 981.J IE E E T ran sac t io n s o n S igna l P ro ce ssing 14 田社平, 王坚, 颜德田, 等. 基于遗传算法的正弦波信号参数提 27 , . S idh u T SSach dev M SA n ite ra t ive tech n ique fo r fa st and ( ) 取方法[. 计量技术, 2005, 5: 325.J [. accu ra te m ea su rem en t o f pow e r sy stem f requency J IE E E t ran sac t io n s 21994, 105715 IE E E standa rd fo r d ig it izing w avefo rm IE E E S td , 1998, 13: 109121105.o n Pow e r D e live ry reco rde r s [ S . 28 , , . D a sh P K P radh an A K P anda GF requency e st im a t io n o f 16 , . 2B e r to cco M N a rduzzi CS inef it ve r su s d isc re te Fo u r ie r d isto r ted pow e r sy stem s signa ls u sing ex tended com p lex Ka lm an f ilte r 2[ . t ran sfo rm ba sed a lgo r ithm in SN R te st ing o f w avefo rm d ig it ize r s J [J . IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r D e live ry, 1999, 14: 7612766. ( ) , 1997, 46 2 :IE E E t ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t 29 D a sh P K , J ena R K , P anda G, Ro u t ray A. A n ex tended 4452448. com p lex Ka lm an f ilte r fo r f requency m ea su rem en t o f d isto r ted signa ls 17 , , . P h adk e A GT ho rp J SA dam iak M A new m ea su rem en t [ . , 2000,J IE E E T ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t , tech n ique fo r t rack ing vo ltage p h a so r slo ca l sy stem f requency and ra te 2753. 49: 746[. . . ,o f ch ange o f f requency J IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r A pp a ra tSy st 30 , , . Ro u t ray A P radh an A K R ao K PA N o va l Ka lm an F ilte r 1983, 102: 102521038. fo r F requency E st im a t io n o f D isto red S igna ls in Pow e r Sy stem s [ J . 18 , . G irg is A A Hw ang T L DO p t im a l E st im a t io n o f vo ltage ( ) IE E E T ran sac t io n s o n In st rum en ta t io n and M ea su rem en t, 2002, 51 3: p h a so r s and f requency dev ia t io n u sing linea r and no n linea r Ka lm an 4692479. 1984, 103: f ilte r ing [ J . IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r A pp a ra t. Sy st. , 31 王肖芬, 徐科军. 基于小波变换的基波提取和频率测量[. 仪 J 22949. 2943 ( ) 器仪表学报, 2005, 26 2: 1462151. 19 Sach dev M S, G iray M M . A lea st squa re tech n ique fo r 32 L iang Zh iguo , L u Ke jie, Sun J ingyu. E va lua t io n o f So f tw a re de te rm in ing pow e r sy stem f requency [ J . IE E E t ran sac t io n s o n Pow e r 22[ . o f Fo u rP a ram e te r S ine W ave C u rvef it J T ran sac t io n o f N an jing . . , 1985, 104: 4372443.A pp a ra tSy st ( ) , 2000, 17 1: 1002106.U n ive r sity o f A e ro nau t ic s & A st ro nau t ic s 20 Sach dev M S, G iray M M . O ff2nom ina l f requency