第十六章多元函数的极限与连续

第十六章多元函数的极限与连续 第十六章 多元函数的极限与连续 ?1 平面点集与多元函数 1. 判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域,并分别指出它们的聚点与界点: (1);(2);(3); [a,b)，[c,d){(x,y)|xy,0}{(x,y)|xy,0} 2{(x,y)|y,x}(4);(5); {(x,y)|x,2,y,2,x，y,2} 22,,(x,y)|x，y,1或y,0,0,x,1(6); 22,,(x,y)|x，y,1或y,0,1,x,2(7); 1,,(x,y)|y,sin,x,0(8);(9). {(x,y)|x、y均为整数},,x,, 解 (1)该点集是有界集，也是区域.但不是开集又不是闭集.其聚点为中的任一点.界点为矩形的四条边上[a,b]，[c,d][a,b]，[c,d]的任一点. (2)该点集为开集，不是有界集也不是区域.其聚点为平面上任一点.其界点为两条坐标轴上的任一点. (3)该点集为无界闭集，不是开集也不是区域.其聚点与界点均为两条坐标轴上的任一点. (4)该点集为开集且为区域，不是有界集.其聚点为平面上满足 22y,xy,x的任一点.其界点为上的所有点. (5)该点集为有界开集，是区域.其聚点为平面上满足 任一点.其界点为上的所x,2,y,2,x，y,2x,2,y,2,x，y,2有点. (6)该点集为有界闭集，不是区域.其聚点与界点均为平面上满足22x，y,1或任一点. y,0,0,x,1 22x，y,1(7)该点集为有界闭集.其聚点为平面上满足或 22x，y,1的任一点.其界点为满足或y,0,1,x,2y,0,1,x,2的任一点. 103 (8)该点集为无界的闭集.没有聚点，其界点为平面上均为整x,y数的任一点. (9)该点集为非开非闭的无界集.其聚点为 ,,1,,E,(x,y)y,sin,x,0:(0,y),1,y,1,E,E,界点为集合. ,,x,, {(x,y)|0,x,a,,,0,y,b,,}试问集合2.与集合 y,b,,,(x,y),(a,b)}{(x,y)|x,a,,,是否相同, 解 所给两个集合不相同.因为第一个集合挖去了两条线段 及，而第二个集合只x,a(y,[b,,,b，,])y,b(x,[a,,,a，,])挖去了一个点. (a,b) 3. 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列,, P,E,P,P,nn0 E时，是的聚点. PlimP,Pn00,,n ,,证 充分性 若存在互不相同的点列P,E,P,P,limP,Pnn0n0n,, ,,0Nn,N时，则对任给的，总存在正整数，使得时，有 ooP,U(P,,)U(P,,),,.当充分大时，含有的无穷多个点.又Pnn00n oEEU(P,,),,，从而中含有中无穷多个点，即是的聚点. P,EP0n0 oU(P,,),,0是的聚点，则对任给的，中必含 必要性 若EP00 oEEU(P,,),,1有中的点.取，则中含有中的点，记为;. P0111 1o,,EU(P,,)取，则中含有中的点，记为,P,,,min,PP022,,2102,, 1,,oU(P,,)显然.依次类推，取，则有中P,P,,,min,PP,,0n12nn,10n,, E含有中的点，记为P，显然P,P,？,P,P各不相同; 12n,1nn ,,这样继续下去，就得一个点列P,E,P,P,且. limP,Pnn0n0,,n4. 证明:闭域必为闭集.举例说明反之不真. DG证 设为闭域，则有开域使 ， (1) D,G:,G P,G,GGP,,GP,DP,G其中为的边界.设，则且.由知，0000 104 ccU(P,,):G,,对任意，，其中为G的余集.由于G,,00 ,,0，从而存在，使.下证 P,,GU(P,,):G,,0000 . (2) U(P,,):,G,,00 若不然.则存在，于是当充分小时，P,U(P,,):,G,,0100 G.由于，从而中含有的点.U(P,,),U(P,,)P,,GU(P,,)Q10011于是.这与前面的结论矛盾.因此(2)为真.由(1)Q,U(P,,):G00 知 U(P,,):D,,00 DD故不是的聚点.这就证明了:若是的聚点，则.PPP,D000 D因此为闭集. 5. 证明:点列,,收敛于的充要条件是P(x,y)P(x,y)nnn000 和. limx,xlimy,yn0n0,,,,nn ,,0 证 充分性 设，.则对任给的，存limx,xlimy,yn0n0,,,,nn Nn,N在正整数，当时，有 x,x,,2， y,y,,2n0n0 22，，x,x，(y,y),,因此 (n,N)nn00 ,,故点列P(x,y)收敛于P(x,y). nnn000 ,,必要性 设点列收敛于.则对任给的P(x,y)P(x,y)nnn000,,0Nn,N，存在正整数，当时，有 22，，x,x，(y,y),, nn00 22，，x,x,x,x，(y,y),,即 ， (n,N)nnn000从而.同理. limx,xlimy,yn0n0,,,,nn 6. 求下列各函数的函数值: 2,,，，arctan(x，y)1，31,3,,f(x,y),(1)，求; f,,,,,arctan(x,y)22，，,, y2xyf(1,)(2)，求; f(x,y),22xx，y 105 x22(3)，求. f(x,y)xyxytan,，,f(tx,ty)y 2，，1313，,2arctan(，),,，，arctan1922,,,,,解 (1)原式; ,,16,,1313arctan3，,，，arctan(),,,22，， y2,1,y2xyx(2); f(1,),,222xx，yy,,1，,,x,, txx22222(3)(,)()()tan(tan). ftxty,tx，ty,tx,ty,,tx，y,xytyy7. 设，证明:若，则 u,0,v,0F(x,y),lnxlny . F(xy,uv),F(x,u)，F(x,v)，F(y,u)，F(y,v)证 因为，且，所以 F(x,y),lnxlnyu,0,v,0 F(xy,uv),ln(xy),ln(uv),(lnx，lny)(lnu，lnv) ,lnxlnu，lnxlnv，lnylnu，lnylnv . ,F(x,u)，F(x,v)，F(y,u)，F(y,v)8. 求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何 种点集: 22x，y1f(x,y),f(x,y),(1); (2); 2222x,y2x，3y 22(3); (4)f(x,y),1,x，y,1; f(x,y),xy 22(5); (6)f(x,y),sin(x，y); f(x,y),lnx，lny 22,(x，y)(7); (8); f(x,y),ln(y,x)f(x,y),e zf(x,y,z),(9); 22x，y，1 12222f(x,y,z),R,x,y,z，(10). (R,r)2222x，y，z,r 106 解 (1)函数的定义域为是无界开集.见16—1; ,,D,(x,y)|x,,y 22,,D,(x,y)|2x，3y,0,R,{(0,0)}(2)函数的定义域为是无 见图16—2; 界开集. (3)函数的定义域为,,是无界闭集.见图16—3; D,(x,y)|xy,0 yy 1 oxx1o-1 -1 图16—3 图16—4 (4)函数的定义域为 22D,{(x,y)|1,x,0,y,1,0},{(x,y)|x,1,y,1} 是无界闭集.见图16—4; (5)函数的定义域为是无界开集.见图16—5; D,{(x,y)|x,0,y,0} (6)函数的定义域为 107 22D,{(x,y)|2n,,x，yy ,(2n，1),,n,0,1,2,？}y>x是无界闭集.见图16—6; (7)函数的定义域为 xo D,{(x,y)|y,x} 是无界开集.见图16—7; (8)函数的定义域为整个实平面是无界 既开又闭集. 图16—7 (9)函数的定义域为整个三维空间，是无界既开又闭集. 22222D,{(x,y,z)|r,x，y，z,R}(10)函数的定义域为是有界既不开又不闭集. cE9. 证明:开集与闭集具有对偶性——若为开集，则为闭集;E cE若为闭集，则为开集. E ccE证 设为开集，但不是闭集.则由闭集定义知，至少有EE cAA,EE一个聚点不属于.设这个聚点为，则必有.因为为开集，E cA所以存在点的某邻域，使.因此中不含有EU(A)U(A),EU(A) ccAE中的点.这与是的聚点矛盾.因此若为开集，则为闭集. EE ccE 设E为闭集，但不是开集. 则由开集定义知，至少有一个E cBB点不是的内点.设这个聚点为，则根据内点定义知，对点的任E cE何邻域，都有内不含于中的点.即中含有中的EU(B)U(B)U(B) cEEB,E点.由于这与是闭集矛盾.因此若为闭集，则必为开集. E10. 证明:(1)若为闭集，则与都为闭集; F,FF:FF:F121212(2)若为开集，则与都为开集; E,EE:EE:E121212 FF\EE\FE(3)若为闭集，为开集，则为闭集，为开集. ccccF,FF:F 证 (1)若F,F为闭集，则为开集，由(2)知121212 ccccccccF:F，，，，与都为开集.从而F:F及F:F均为闭集.而 121212 ccccccc，，，，，，F:F,F:F,F:F 121212 ccccccc，，，，，，F:F,F:F,F:F 121212F:FF:F因此与都为闭集; 1212 108 (2)设为开集，对任意，有 或 .E,EA,E:EA,EA,E121221 A，则存在点的某邻域，使得，从而不妨设A,EU(A),EU(A)11 有.因此为开集; U(A),E:EE:E1212 设，则有 且.由于为开集，则存B,E:EB,EB,EE,E122121 BB在点的某邻域，使得，也存在点的某邻域U(B;,)U(B;,),E111 B，使得.因此存在点的邻域，(其中U(B;,)U(B;,),EU(B;,)222 )使得,因此为开集; U(B;,),E:E,,min{,,,}E:E121212ccF(3)若为闭集，为开集，由9题知为开集, 为闭集.EFE ccF\E又,,从而由(1),(2)知为闭集，F\E,F:EE\F,E:F E\F为开集. 11. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理，并证明之. 2推广为闭集套定理: 设为中的闭集列,且满足 {F}Rn (1); F,F,n,1,2,？nn，1 ，，(2) . d,dF,limd,0nnnn,, 则存在惟一的一个点P,F,. n,1,2,？0n 证 任取点列,. P,Fn,1,2,？nn F,F,P,P,F,由于因此从而 n，pnnn，pn ，，,P,P,d,0(n,,). nn，pn 2P,R,由定理16.1可知,必存在使得. limP,P0n0,,n P,F,F任意取定,对任何自然数有. nn，pn，pn limP,P由于为闭集,且, Fn，p0np,, 所以作为的点或为其聚点,必定属于.即 PFF0nn P,limP,F(). n,1,2,？0n，pnp,, 下证惟一性: /P,F若还有()则 n,1,2,？n0 //，，，，，，,P,P,,P,P，,P,P,2d,0(n,,) nnn0000 109 //，，P,P,P,P,0得到,故. 0000 12. 证明定理16.4(有限覆盖定理). 2D 设为一有界闭集, ,,为一开集族,它覆盖了即,,D,R ,则在中必存在有限个开集它们同样,,,,,,,,？,,D,,,12m: m DD,,覆盖了 (即). i:i,1 DD 证 设有界闭集含在矩形之中, 并假设不能被[a,b]，[c,d] a，bc，dx,,y,,,,,中有限个开集所覆盖.用直线把矩形22 分成四个相等的闭矩形.那么至少有一个它所含a,x,b,c,y,d D,,的的部分不能被中有限个开集覆盖.把这个矩形(若有几个，,, 则任选其一)再分为四个相等的闭矩形.按照这样分法继续下去，可 D,,得一闭矩形套，其中每一个闭矩形所含的的部[a,b]，[c,d]nnnn ,,分都不能为中有限个开集所覆盖.于是每个闭矩形,, D,,中都至少含有的一点.任取其中一点为[a,b]，[c,d]nnnn ，，x,y，则，且a,x,b,c,y,d.由闭，，x,y,D(n,1,2,？)nnnnnnnnnn ，，矩形套定理可知，存在一点，满足对任意的自然数都有x,yn00 a,x,bc,,y,d; n0nn0n badc,,，，，，limb,a,lim,0limd,c,lim,0，， 由于nnnnnnn,,n,,n,,n,,22所以，. limx,xlimy,yn0n0nn,,,, 又因是有界闭集D上的点，所以(x,y),D.故在(x,y){,,}00nn ,中必有一开集包含(x,y).不妨设此开集为，则必存在点000 a,x,的一个邻域U(P,,),,由于b,x,c,y, P(x,y)n000n0n0000 d,y，故当充分大时恒有 nn0 ,,,,x,,a,x,b,x，,y,,c,y,d,y，. 0n0n00n0n02222 [a,b]，[c,d]U(P,,)可见，矩形包含于邻域中.从而包含于开域nnnn0 D,[a,b]，[c,d]中.但是，这与每个中所含的的部分不能被0nnnn110 D中有限个开集所覆盖相矛盾.故中必有的有限子覆盖. {,,}{,,} ?2 二元函数的极限 1. 试求下列极限(包括非正常极限): 2222，，1xyxylimlim(1); (2); 2222(x,y),(0,0)(x,y),(0,0)，x，yxy 22，x，yxy1(3)lim;(4); lim4422xy,(x,y),(0,0)(,)(0,0)，xy1，x，y,1 11，(5)lim; (6); lim(xy)sin22xy,(,)(0,0)(x,y),(1,2)2x,y，xy 22，sin(xy)lim7)(. 22(x,y),(0,0)，xy 解 (1)因为当时 (x,y),(0,0) 22xyxy ((x,y),(0,0))0,,,0222x，y 22xylim,0故; 22(x,y),(0,0)xy， 22，，xy1，，1(2); lim,lim，1,，,,,2222xy,xy,(,)(0,0)(,)(0,0)xyxy，，，， 2222(x，y)(1，x，y，1),lim(3)原式 22xy,(,)(0,0)1，x，y,1 22,,,lim1，x，y，1,2; ,,xy,(,)(0,0),, ，xy1,,(4). lim44(x,y),(0,0)，xy 1limlim(2x,y),0,,(5)由于，故; (x,y),(1,2)(x,y),(1,2)2xy, 111 1(6) 因为当时，，故 (x,y),(0,0)sin,122x，y 1xy; lim(，)sin,022xy,(,)(0,0)xy， (7) 因为当时，故 (x,y),(0,0),,0 222,xysin(，)sinlim,lim,1 . 222xy,,,(,)(0,0)0xy,， 2. 讨论下列函数在点，，的重极限与累次极限: 0,0 211yf(x,y),f(x,y),(x，y)sinsin(1); (2); 22xyx，y 2233xyx，yf(x,y),(,)fxy,(3);(4); 2222x，yxy，(x,y) 221xyf(x,y),f(x,y),ysin(5); (6); 33xx，y xye,ef(x,y),(7). sinxy y,mx解 (1)当动点沿着直线趋于原点时， (x,y)(0,0) 22(mx)mf(x,mx),, (x,0)222x，(mx)1，m这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时，对应的极限值均不同.因 此函数当时的重极限不存在.但累次极限: f(x,y)(x,y),(0,0) 2ylimlimf(x,y),limlim,0; 22x,0y,0x,0y,0xy， 2ylimlimf(x,y),limlim,1. 22y,x,y,x,0000xy，(2)函数的两个累次极限都不存在.但 11(x，y)sinsin,x，y,0 ((x,y),(0,0))xy 112 11fxyxy故. lim(,),lim(，)sinsin,0(x,y),(0,0)(x,y),(0,0)xy(3)函数的累次极限为 22xylimlimf(x,y),limlim,0; 222x,y,x,y,0000xyxy，(,) 22xylimlimf(x,y),limlim,0. 222y,0x,0y,0x,0xyxy，(,)所以函数的两个累次极限存在且相等. f(x,y) 由于，从而，limf(x,x),limf(x,0)f(x,0),0(x,0)f(x,x),1(x,0),x,0x,0 故limf(x,y)不存在. (x,y),(0,0) (4)函数的累次极限为 33x，ylimlimf(x,y),limlim,limx,0; 2x,0y,0x,0y,0x,0x，y 33x，y2limlimf(x,y),limlim,limy,0. 2y,x,y,x,y,00000x，y所以函数的两个累次极限存在且相等.让动点沿着曲线f(x,y)(x,y) 22y,x(x,1)趋于原点时， (0,0) 122223f(x,x(x,1)),，x(x,1),, (x,0)x limf(x,y)不存在. 故(x,y),(0,0) (5)函数的累次极限为 1fxyylimlim(,),limlimsin,lim0,0; x,0y,0x,0y,0x,0x 1fxyy,limlim(,)limlimsin而不存在. y,0x,0y,0x,0x 1，，ysin,y,0(x,y),(0,0)又 x 113 1ylimsin,0所以. (x,y),(0,0)x (6)函数的累次极限为 22xylimlim,lim0,0; 33x,0y,0x,0x，y 22xylimlim,lim0,0. 33y,0x,0y,0xy， 所以函数的两个累次极限存在且相等. 当动点沿着曲f(x,y)(x,y) 31/3y,x(x,1)线趋于原点时， (0,0) 22432/3xyx(x,1)lim,lim,,. 336(x,y),(0,0)x,0x，yx31/3y,x(x,1) limf(x,y)故不存在. (x,y),(0,0) xyxyeee,e,limlimlimlim(7)显然两个累次极限:不存在;也x,0y,0y,0x,0sinxysinxy xyee,lim不存在. 而当动点沿着轴趋于原点时，(x,y)(0,0)x(x,y),(0,0)sinxy不存在.故函数f(x,y)的重极限不存在. Aylimf(x,y)3. 证明:(1)若存在且等于;(2)在的某b(x,y),(a,b) limlimf(x,y),A邻域内，存在有，则. limf(x,y),,(y)y,bx,ax,a ,,0x,a,, 证 由条件(1)知，对任给，存在，当，,,011 y,b,,，且时， (x,y),(a,b)1 f(x,y),A,, (*) y,又由条件(2)知，当在的某邻域内，存在.limf(x,y),,(y)b2x,a y,b,,,,,,min,,,令，当时，在(*)式中，令x,a，得12 ,(y),A,,， lim,(y),Alimlimf(x,y),A从而，即. y,bx,ay,b 114 4. 试应用定义证明 ,,, 2xylim,0. 22(x,y),(0,0)xy， 证 因为当时 (x,y),(0,0) 2xyxxy 0,,x,,22222x，yx，y 22,,0,,2,从而对任给，取，只要当时，就有 0,x，y,, 2xy ,,22xy， 22xy所以; lim,022xy,(,)(0,0)xy， 5. 叙述并证明:二元函数的惟一性定理，局部有界性定理与保号 性定理. limf(x,y) (1) 惟一性定理: 若极限存在，则它只有一个极限. (x,y),(a,b) ABP(a,b) 证 设，都是在点处的极限，则对任给的f(x,y)0 oP(x,y),U(P,,):D,,0，存在，当时， ,,0011 ,f(x,y),A,， (1) 2 oP(x,y),U(P,,):D,,0存在,当时 022 ,f(x,y),B,， (2) 2 oP(x,y),U(P,,):D,,,,min,,,取，则当时，(1)式与(2)012 式同时成立，故有 A,B,(f(x,y),A),(f(x,y),B) ,f(x,y),A，f(x,y),B,, A,B由,的任意性得.这就证明了极限的惟一性. limf(x,y)(2)局部有界性定理:若极限存在，则存在的某(x,y),(a,b) 115 ooU(P,,):DU(P,,)空心邻域，使在上有界. f(x,y)00 证 设limf(x,y),A.取，则存在，使得对一,,1,,0(x,y),(a,b) oP(x,y),U(P,,):D切有 0 f(x,y),A,1,f(x,y),A，1. oU(P,,):D这就证明了在上有界. f(x,y)0 (3)局部保号性定理:若极限(或)，limf(x,y),A,0,0(x,y),(a,b) o(0,r,A)U(P,,)则对任意正数，存在的某空心邻域，P(a,b)r00 oP(x,y),U(P,,):D使得对一切点，恒有(或f(x,y),r,00 ). f(x,y),,r,0 A,00,r,A,,A,r,,0 证 设，对任何，取，则存在，使 ; 得对一切有 P(x,y),U(P,,):D0 f(x,y),A,,,. f(x,y),A,,,r A,0这就证明了结论.对于的情形可类似地证明. 6. 试写出下列类型极限的精确定义: limf(x,y),Alimf(x,y),A(1);(2). (x,y),(，,,，,)(x,y),(0,，,) DA 解 (1)设为上的函数，是一个确定的数.若对任给的f(x,y) M,,0x,M，总存在正数，使得当，且，时，(x,y),Dy,M f(x,y),A,,恒有成立，则称当时，函数(x,y),(,,,，,)f(x,y) Alimf(x,y),A以为极限，记为; (x,y),(，,,，,) AD(2)设为上的函数，是一个确定的数.若对任给的f(x,y) M0,x,,,,0y,M，总存在正数及，使得当，且，(x,y),D, 时，恒有成立，则称当时，函数(x,y),(0,，,)f(x,y),A,, Alimf(x,y),A以为极限，记为. f(x,y)(x,y),(0,，,) 7. 试求下列极限: 22，xy22,(x，y)limlim(x，y)e(1); (2); 44xy,，,，,(,)(,)(x,y),(，,,，,)，xy 116 2x11x，yxsinylim(1，)(3); (4). lim(1，)(x,y),(，,,0),，,，,(x,y)(,)xxy 解 (1)当时，因为 x,0,y,0 2222,,，，xyxy111,, ,,,，0442222,,2，xy2xyxy,, ,,111,,且 lim，,022,,xy,，,，,(,)(,)2xy,, 22xy，lim,0 ; 故44xy,，,，,(,)(,)xy， (2)因为当时，因为 x,0,y,0 22xy11，,x，y22()0(xy)e ,，,,，x，yxyeee 11,,且 lim，,0,,xy(x,y),(，,,，,)ee,, 22,(x，y)lim(x，y)e,0故 ; (x,y),(，,,，,) ,,siny11xsinyxy(3) lim(1，),limexp,ln(1，),,(x,y),(，,,，,)(x,y),(，,,，,)xyyxy,,,,ysin1xy,,,explim,ln(1，),exp0，1,1; ,,(x,y),(，,,，,)yxy,, x11xxlim(1，),e(4)因为lim,ln(1，),1，且， x,，,(x,y),(，,,0)xxyx， 2x,,1x1xx，y，,,，lim(1)limexpln(1)所以 ,,(x,y),(，,,0)(x,y),(，,,0)xx，yx,, ,,x1x,explim,ln(1，),e. ,,(x,y),(，,,0)x，yx,, x,，,,y,，,8. 试作一函数使当时， 117 (1)两个累次极限存在而重极限不存在; (2)两个累次极限不存在而重极限存在; (3)重极限与累次极限都不存在; (4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 2xf(x,y), 解 (1)函数，满足 22x，y limlimf(x,y),0;limlimf(x,y),1. x,，,y,，,y,，,x,，, 11limf(x,x),limf(x,2x),但是由于，， x,，,x,，,25所以不存在; limf(x,y)(x,y),(，,,，,) x，y(2)函数，显然limlimf(x,y)，f(x,y),sinxsinyx,，,y,，,xy limlimf(x,y)都不存在. y,，,x,，, ,,11,,limf(x,y),lim，sinxsiny,0而; ,,(x,y),(，,,，,)(x,y),(，,,，,)xy,, x,，,,y,，,(3)函数，满足当时，重极限f(x,y),sinxsiny ,1和两个累次极限都不存在.因为在时的值在与1之x,，,sinx间振荡.同理也是一样的; siny 1limlimf(x,y),0(4)函数，满足; f(x,y),sinxx,，,y,，,y limf(x,y),0limlimf(x,y)不存在.但是. (x,y),(，,,，,)y,，,x,，, 9. 证明定理16.5及其推论3. Dlimf(P),A (1)定理16.5 的充要条件是:对于的任一子集P,P0P,D EElimf(P),A，只要P是的聚点，就有. 0P,P0P,E limf(P),A,,0,,0 证 必要性 如果，则对任给的，存在，P,P0P,D oP,U(P,,):Df(P),A,,只要，就有. 0 118 EEDP又由是的聚点，且是的子集，则一定有 0 ooU(P,,):E,U(P,,):D 00 of(P),A,,P,U(P,,):Elimf(P),A所以只要，就有.即. 0P,P0P,E D充分性 如果对于的任一子集.只要是的聚点，就有EPE0limf(P),A.下用反证法证明. limf(P),AP,PP,P00P,EP,D limf(P),A,,0 事实上，假若当，则存在某个，对任何,,00P,P0P,D oPP,U(P,,):D(不管多么小)，总存在一点，只要，就有0f(P),A,,.现取，则存在相应的，使得 ,,1P,E011 0,P,P,1f(P),A,,， 而， 1010 1,,,,对,min,PP，存在相应的，使得 P,E,,21022,, 10,P,P,f(P),A,,， 而， 20202 1,,,,,,依次类推，对，存在相,min,PP,PP,？,PP,,n1020n0n,,应的，使得 Pn 1,P,P,f(P),A,,0，而，. n,1,2,？n0n0n 1oP,U(P,):EP,PlimP,P显然点列且满足条件与，但n0n0n0,,nn Af(P)不趋于.这与假设矛盾，所以必有. limf(P),AnP,P0P,D Dlimf(P),A(2)推论3 极限存在的充要条件是:对于中任一P,P0P,D P,P{P}满足条件且limP,P的点列，它所对应的函数列n0nn0,,n {f(P)} 都收敛. n 119 limf(P),A,,0,,0证 必要性 如果，则对任给的，存在，P,P0P,D of(P),A,,P,U(P,,):D只要，就有. 0 D而是中任一满足条件且的点列，故对{P}P,PlimP,Pnn0n0,,n P,P,,,,0Nn,N上述，存在，只要，就有，即 n0 oP,U(P,,):D. 0n ,,0Nn,N所以对任给的，存在，当时，就有 f(P),A,,， n limf(P),A即. nPP,0nP,Dn D充分性 如果对于中任一满足条件且的点列P,PlimP,Pn0n0,,n A，它所对应的函数列 都收敛于.下用反证法证明{P}{f(P)}nn limf(P),A. P,P0P,D limf(P),A,,0 事实上，假若当，则存在某个，对任何,,00P,P0P,D oPP,U(P,,):D(不管多么小)，总存在一点，只要，就有0f(P),A,,.现取，则存在相应的，使得 ,,1P,D011 0,P,P,1f(P),A,,， 而， 1010 1,,,,对,min,PP，存在相应的，使得 P,D,,21022,, 10,P,P,f(P),A,,， 而， 20202 依次类推， 1,,,,,,,min,PP,PP,？,PP对，存在相应的 ,,n1020n0n,,P,D，使得 n 1,P,P,f(P),A,,0，而，. n,1,2,？n0n0n 120 1oP,U(P,):D显然点列且满足条件且，但P,PlimP,Pn0n0n0,,nn A不趋于.这与假设矛盾，所以必有 limf(P),Af(P)nP,P0P,D ?3 二元函数的连续性 1. 讨论下列函数的连续性: 22f(x,y),tan(x，y)(1);(2); f(x,y),[x，y] sinxy,,y,0,y(3)f(x,y),; , ,0,y,0, xysin,22,x，y,0,22x，yfxy(,),(4); , ,22xy0,，,0, 0,x为无理数,(5)f(x,y),; ,y,x为有理数, 22222,yxyxyln(，),，,0,(6)f(x,y),; ,22,0,x，y,0, x,1yf(x,y),ef(x,y),(7); (8). sinxsiny 解 (1)函数在 ,,,22,,|0,，,，，Dxyxy ,,2,, 2k,12k，1,,22x,y|,x，y,,k,N，，:,, ,,22,, 上连续. 22u,x，ytanu 事实上 对任意的(x,y),D，由在连续知00000 121 2222limtan(x，y),limtanu,tanu,tan(x，y) 000xy,xyu,u(,)(,)000 D故在连续，可见在上连续.又在(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)0022上无定义，因而在上处处不连续. R,DR,Df(x,y) (2)函数在上连续. D,{(x,y)|k,x，y,k，1,k,Z} k,Z事实上:对任意的，则存在，使P(x,y),D000 ,,0,于是当充分小时，对任意的，，k,x，y,k，1x,y,U(P,,)000 就有，从而，可见 f(x,y),k,f(x,y)k,x，y,k，100 ， limf(x,y),f(x,y)00xy,xy(,)(,)00 2D故在上连续.又在上无定义，因而f(x,y)R,Df(x,y) 2在上处处不连续. f(x,y)R,D sinxy,x(3)因为 y 从而limf(x,y),0,f(0,0)，所以在连续. f(x,y)(0,0)(x,y),(0,0) 又在的点处，由于是初等函数且在这些点处有y,0(x,y)f(x,y) ,,,,定义，故连续.因此，在D,(x,y)|y,0:(0,0)上f(x,y)f(x,y) 连续.又因对任一，由于limf(x,y),x,0，但(x,0),(0,0)y,0 D，即在这些点处不连续.所以仅在上连续. f(x,0),0f(x,y)f(x,y) 22x，y,0(4)因为当时 xyxysin,,x 2222x，yx，y从而，所以在点连续. limf(x,y),0,f(0,0)f(x,y)(0,0)(x,y),(0,0) 22x，y,0limf(x,y),f(x,y) 又在处，，故在f(x,y)0000xy,xy(,)(,)00 (x,y)连续，因此在整个平面上连续. f(x,y)00 2(x,y),R(5)设，则 00 当x为有理数时， 0 122 ,y,x为无理数0,f(x,y),f(x,y),f(x,y),y, ,000y,y,x为有理数,0,当为无理数时 x0 0,x为无理数,,; f(x,y),f(x,y),f(x,y),,00y,x为有理数,,于是只有当时，才能有limf(x,y),f(x,y)成立.所以y,0000xy,xy(,)(,)00 仅在,,上连续. D,(x,y)|y,0f(x,y) 22x，y,0(6)当时，由于 2222222yln(x，y),(x，y)ln(x，y) 2222lim(x，y)ln(x，y),limulnu,0故. ，(x,y),(0,0)u,0 222limyln(x，y),0,f(0,0)从而.故在连续. f(x,y)(0,0)xy,(,)(0,0) 22222f(x,y),yln(x，y)x，y,0又由于当时，是初等函数且有定 义，故在这些点处连续. f(x,y) 因此在整个平面上连续. f(x,y) 7)直线(及上的点均为的y,n,(n,m,0,,1,,2,？)f(x,y)x,m, 不连续点.对于上述两直线以外的任一点， (x,y)00 11limf(x,y)lim,,,f(x,y) 00(x,y),(x,y)(x,y),(x,y)sinxsiny0000sinxsiny00 ,,因此仅在(x,y)|x,m,,y,n,,m,n,N上连续.即在直线f 及以外的点函数是连续的. y,n,(n,m,0,,1,,2,？)f(x,y)x,m, xuf(x,y),eu,,,,(8)因为在其定义域D,(x,y)|y,0上连续.y x,yf(x,y),e关于是连续的.由复合函数的连续性知函数在其定义u D域上连续 2. 叙述并证明二元函数的局部保号性. 123 二元函数的局部保号性定理:若二元函数在点连(x,y)f(x,y)00 续，而且，则函数在点的某一个邻域f(x,y),0(x,y)f(x,y)0000 f(x,y),rf(x,y)内与同号，并存在某个正数，()U(P,,)r00000 f(x,y),r,0使得对任意，. (x,y),U(P,,)0 证 不妨设.对任何，取f(x,y),00,r,f(x,y)0000 ,,0，则存在，使得当时，就有 P(x,y),U(P,,),,f(x,y),r000 f(x,y),f(x,y),,,f(x,y),r 0000从而 . f(x,y),f(x,y),,,r,000 这就证明了结论.对于的情形可类似地证明. f(x,y),000 x,22xy,，,0,22pxy(，)3. 设fxy, (,),, 22,xy0,，,0, 试讨论它在点处的连续性. (0,0) 222r,x，y 解 令，则.所以 x,rcos,,y,rsin, xrcos,1. ,,22p2p2p,1xyrr，() 11p,当，即时，.即 2p,1,0lim,02p,1r,02r xfxylim(,),lim,0. 22pxy,xy,(,)(0,0)(,)(0,0)xy(，)故在点处连续. (0,0)f(x,y) 1p,当，即时，有 2p,1,02 1,1,p,,x,2x,0f(x,0),,，() ,2p1x,p，,,,,2, limf(x,y),0,f(0,0)因而，可见在点不连续. (0,0)f(x,y)(x,y),(0,0) 124 4. 设定义在闭矩形域.若对在fyf(x,y)S,[a,b]，[c,d][c,d] S上处处连续，对在(且关于)为一致连续，证明在上y[a,b]fx 处处连续. 证 设为内任意一点.由在(x,y)S,[a,b]，[c,d]f(x,y)[c,d]00 ,,0上关于连续，有在连续.于是对任给的，存在yf(x,y)y00 y,y,,，使当时，就有 ,,0011 ,(,)(,)fxy,fxy, 0002 ,,0又因为对在(且关于y)为一致连续，于是对上述的，f[a,b]x x,x,,存在，使当时，对任意的，都有 ,,0y,[c,d]022 ,(,)(,)fxy,fxy, 02 x,x,,y,y,,现取,,，则当，，且时，,,min,,,(x,y),S0012 必有，且 (x,y),S0 f(x,y),f(x,y) 00 ,,,，,,,f(x,y),f(x,y)，f(x,y),f(x,y). 000022因此在是连续的.由的任意性可知，(x,y)(x,y)f(x,y)f(x,y)0000S是上处处连续. 2D5. 证明:若是有界闭域，为上的连续函数，则D,Rff(D) 不仅有界(定理16.8)，而且是闭区间. D 证 若在上恒为常数，则为单点集，从而有界. ff(D) DD若在上不恒为常数，则由定理16.8知，在上有界且能取得ff m,M最大值与最小值.分别记它们为，则，且m,f(P),MM,m P,D()，因此. f(D),[m,M] 下证. f(D),[m,M] P,Df(P),,任给，由介值定理，必存在使， ,,[m,M]00从而，故. ,,f(D)f(D),[m,M] 所以.即是闭区间. f(D),[m,M]f(D) 125 26. 设在集合上对连续，对满足利普希茨条件: yf(x,y)G,Rx ,,,,,,f(x,y),f(x,y),Ly,y ,,,G其中为常数.试证明在上处处连续. (x,y),f(x,y),G,Lf G 证 设为内任意一点.由关于连续，有(x,y)f(x,y)f(x,y)x000 x,x,,,,0在连续.于是对任给的，存在，使当时，就x,,00110 有 ,f(x,y),f(x,y), 0002 ,,,x,x,,,min,y,y,,现取，则当，，且(x,y),G,,,,0012L,, 时，必有，且 (x,y),G0 f(x,y),f(x,y) 00 ,f(x,y),f(x,y)，f(x,y),f(x,y) 0000 ,,,,Ly,y，,，,,. 0222 因此在是连续的.由的任意性可知，是(x,y)(x,y)f(x,y)f(x,y)0000上处处连续. G 7. 若一元函数在上连续，令 ,(x)[a,b] f(x,y),,(x),(x,y),D,[a,b)，(,,,，,) D试讨论在上是否连续,是否一致连续, f D解 先讨论在上的连续性: f 任取(x,y),D，因为在上连续，从而在x连续，,(x)[a,b],(x)000 x,x,,,,0,,0对任给的，存在，使当且时，有x,[a,b]0 ,(x),,(x),, 0 x,x,,y,y,,因此当，且时，有 (x,y),D00 f(x,y),f(x,y),,(x),,(x),, 000于是在(x,y)是连续的.由(x,y)的任意性可知，是f(x,y)f(x,y)0000D上处处连续. D 下面讨论在上的一致连续性: f 126 由于在上连续，从而一致连续.因此对任给的,,0，存 ,(x)[a,b] //////x,x,[a,b]x,x,,在,,0，使当且时，有 ///,(x),,(x),,， ////////////(x,y),(x,y),Dx,x,,y,y,,所以当，且时，有 /////////f(x,y),f(x,y),,(x),,(x),, D故在上的一致连续. f 1D8. 设f(x,y),，，证明:在上(x,y),D,[0,1)，[0,1)f1,xy D连续.仅证在上不一致连续. f D证 显然在上连续.但不一致连续. f 1,,,,0Nn,N取，无论取得如何小，总存在，使当时04 nnn,1n,1,,,,P，两点之间的距离小于，但 ,,P,,,,,,,12nn，1，1nn,,,, 11f(P),f(P),, 1222n(n,1)1,1,22(n，1)n 12,2222n，1n2n,1，，1n,,,,,,,. 0212n，12n,144n,14,2n2y9. 设在R上分别对每一自变量和是连续的，并且每当f(x,y)x 2f固定x时对是单调的.证明在R上的二元连续函数. fy 2y 证 设(x,y)为R内任意一点.由于关于连续，从而f(x,y)00 y,y,,,,0f(x,y)在y连续.故对任给的，存在,,0，使当01010 时，就有 127 ,f(x,y),f(x,y), (1) 0002 对于点及，由于关于连续，从而(x,y,,)(x,y，,)xf(x,y)001001 ,,0在连续.故对上述的，存在，使当f(x,y,,)x,,00102x,x,,时，就有 02 ,(,)(,)fxy,,fxy,, (2) ,,010012 ,(,)(,)fxy，,fxy，, (3) ,,010012 ,x,,,y,,令,,，则当，时，由于关于单,,min,,,f(x,y)y12 调，所以有 f(x，,x,y，,y),f(x,y) 0000 ,max{f(x，,x,y，),f(x,y),f(x，,x,y,),f(x,y)},,0010000100 但是由(1)，(2)知 f(x，,x,y,,),f(x,y) 00100 ,f(x，,x,y,,),f(x,y,,)，f(x,y,,),f(x,y) 00100100100 ,,,，,,. 22 ,x,,,y,,故当，时，就有 f(x，,x,y，,y),f(x,y),,. 0000因此在(x,y)是连续的.由(x,y)的任意性可知，是f(x,y)f(x,y)00002上的二元连续函数. R 总 练 习 题 2EP,P,E1. 设E,R是有界闭集，为的直径.证明:存在d(E)12 ,(P,P),d(E)使得. 12 1d(E),sup,(P,Q),, 证 由知，对，存在P,Q,E使得nnnnP,Q,E 128 1EdE,PQ(),(,)，，而均为有界闭集中点列，从而{P},{Q}nnnnn {P},{Q}P,P,Q,P必有收敛子列.设.则 (k,,)nnn1n2kkkk 1PQdEPQ， ,,(,),(),(,)，nnnnkkkknk k,,令得，. ，，，，,P,P,d(E),,P,P1212 E即.由于为闭集，所以. ,(P,P),d(E)P,P,E1212 1222. 设， f(x,y),,r,x，y,k,1xy 1,,,,D,(x,y)x,0,y,0D,(x,y)x,y,kx ，， ,,21k,, limf(x,y)试分别讨论时极限是否存在,为什么, i,1,2r,，,(x,y),Di x,，,,y,，,i,1 解 (1)当，即，当时，有 (x,y),Dr,，,1 i,1limf(x,y),0所以当时,. r,，,(x,y),D1 112xnyi,2,,,,，rn(2)当，因为若取时，.故当nnn2nn 时，，但; r,，,f(x,y),1n,,nnn r,2n又若时，，故当时，，x,n,y,nr,，,n,,nnnn 1但. f(x,y),,0nn2n i,2limf(x,y)所以当时,不存在. r,，,(x,y),D2 (x,y)lim,(y),Alim,(x),03. 设， ，且在附近有 00y,yx,x00 f(x,y),,(y),,(x)， limf(x,y),A证明:. (x,y),(x,y)00 ,,0lim,(y),A 证 因为，从而对任给的，存在,,0，使1y,y0 129 y,y,,当时，就有 01 ,()y,A, (1) ,2 ,,0又因为，从而对上述的，存在，使当lim,(x),0,,02x,x0 x,x,,时，就有 02 ,x,,()0 (2) ,2 ,,0由(1)，(2)两式，对任给的，只须取,,时，就,,min,,,12 x,x,,y,y,,使当，时，就有 00 f(x,y),A,f(x,y),,(y)，,(y),A ,,,f(x,y),,(y)，,(y),A,,(x)，,(y),A,，,,. 22故 limf(x,y),A. (x,y),(x,y)00 24. 设为定义在上的连续函数，是任一实数， R,f 2 ,,E,(x,y)f(x,y),,,(x,y),R 2. ,,F,(x,y)f(x,y),,,(x,y),R EF证明是开集，是闭集. 2 证 对任一点(x,y),E,f(x,y),,,0.因为在上连Rf0000 续，从而由连续函数的保号性知，存在P(x,y)的某邻域U(x,y)00000 使当时 (x,y),U(x,y)00 ， f(x,y),,,0 E，，即(x,y),U(x,y).从而U(x,y),E，故是开集. (x,y),E,0000 FF,, 设(x,y)是的任一聚点，则存在的互异点列P使00nP,P，由f(x,y),,，且在P上的连(n,1,2,？)(n,,)fn0000 F续，从而P,Ff(P),limf(P),,，可见，故是闭集. 00n,,n E5. 设在有界开集上一致连续.证明: f E(1)可将连续延拓到的边界; f E(2)在上有界. f 130 E证 记,E为的边界，，分以下三步证明. E,E:,E a) 若P,,E，则存在，使. P,P(n,,)P,E(n,1,2,？)nn 1U(P,):E 事实上，若P,,E，则对任意的，非空.任取nn 1P,U(P,):E，则，且. P,P(n,,)(n,1,2,？)P,Ennnn b) 若，且存在，则也存在. limPlimf(P)(n,1,2,？)P,Ennn,,,,nn E,,0,,0 事实上，由在上的一致连续可知，对任给的，存在，f //////P,P,,当P,P,E且时，有 ///f(P),f(P),, ， (1) P,P,,N,,0于是对上述的，存在，当时，，从而m,n,Nmn有 f(P),f(P),, mn 由柯西收敛准则知存在. limf(P)n,,n c) 若，且 P,Q,E(n,1,2,？)nn ， (2) limP,limQ,Pnn,,,,nn 则. limf(P),limf(Q)nn,,,,nn 事实上，由(b)知与都存在. limf(P)limf(Q)nn,,,,nn Nn,N再由(2)知，存在，使当时， ,,P,P,Q,P, 且 ， nn22 n,N从而当时， P,Q,P,P，Q,P,, nnnn因此由(1)知 f(P),f(Q),, (3) nn 由柯西收敛准则知limf(P),limf(Q). nn,,,,nn 131 P,,E由a),b),c)知，对每个，存在惟一的实数与之对应.limf(P)n,,n因此定义 limf(P),P,,E(P,E,P,P),nnn,n,,F(P), ,,f(P),P,E, 显然为定义在上的函数，即为到上的一个延EF(P)F(P)fP,,E拓. 下证在上连续. EF(P) P,E设，则或. P,EP,,E000 E当时，由为开集知，存在. P,EU(P),E00于是当时，.又因为在连续，则有 P,U(P)PF(P),f(P)f00 limF(P),limf(P),f(P),F(P). 00P,PP,P00 F即在连续. P0 当时， P,,E0 F(P),limf(P) 0P,P0 EE其中为中趋于的点列.对中任一趋于的点列,,，由{P}QPPnn00c)知 limF(P),limf(Q),limf(P),F(P)nnn0,,,,,,nnn F故由定理16.5的推论3知，，即在连续. PlimF(P),F(P)n00,,n FE 由此可见，是的一个连续延拓，即可以连续延拓到的边ff界上.由于是有界闭集，且在上连续，从而在上有EEEF(P)F(P) FEEE界.因此在上有界.但在上，故在上有界. F(P),f(P)f Exy6. 设与在平面中的点集上一致连续;u,,(x,y)v,,(x,y) EDD,，把点集映射为平面中的点集，在上一致连续.,f(u,v)uv E证明复合函数在上一致连续. f(,(x,y),,(x,y)) DD 证 设P(u,v),Q(u,v)为上任意两个点，由于在上f(u,v)1122 ,,0,,0一致连续，从而对任给的，存在，使对一切，只P,Q,D u,u,,,v,v,,要，就有 1212 f(u,v),f(u,v),, 1122132 E又，在上一致连续，因此对上述的,,0，u,,(x,y)v,,(x,y) x,x,,,y,y,,存在，使当，且 (x,y),(x,y),E,,012121122 时.其中，因u,u,,,v,v,,u,,(x,y),v,,(x,y)(k,1,2)kkkkkk1212 此 f,[(x,y),,(x,y)],f[,(x,y),,(x,y)] 11112222 ,f(u,v),f(u,v),, 1122 E故复合函数在上一致连续. f(,(x,y),,(x,y)) 7. 设在区间内连续可导，函数 f(t)(a,b) f(x),f(y),F(x,y),， F(x,x),f(x)(x,y)x,y 定义在区域内.证明:对任何有 D,(a,b)，(a,b)c,(a,b) ,limF(x,y),f(c). (x,y),(c,c) x,y证 因为在区间内连续可导，所以当且(x,y),Df(t)(a,b) 时，在或上应用拉格朗日中值定理知，存在或,,(x,y)[x,y][y,x] ，使得 (y,x) f(x),f(y),， F(x,y),,f(,)x,y ,y又，可见对任意的，总存在介于与F(x,x),f(x)(x,y),D,x ,,之间，使得F(x,y),f(,)，由于当，.且f(t)在(x,y),(c,c),,c ,limF(x,y)f(c)区间内连续，所以,. (a,b)(x,y),(c,c) 133