从高考题看一类递归数列通项的求法

从高考题看一类递归数列通项的求法 韶关市一中 张光荣 aa，bn,0ad,bc,0a,定义1 由递推公式(，且)及初始值确定ca,p，1n1ca，dn 的数列，称为分式线性递归数列. 近几年来,作为高考压轴的数列加大了对分式线性递归数列的考查力度.2007年高考全国卷、2008年高考陕西卷、2009年高考江西卷等都考查分式线性递归数列.命题者向学生呈现了一个陌生情境,让学生利用已有的数列知识去解决新的数列问题,考查“化归转换”的能力.这类试题技巧性强，很好地体现了高校的选拔需要.本文尝试对分式线性递归数列通项的求法作一点探讨,以期抛砖引玉. 1 通过换元化为线性递归数列 b,0a,d1.1首先研究,且的情况 ana,例1 若数列满足，，求. ,,aaa,1n，1nn1a，1n 1111分析 先化为，再变形得，令b,，显然,,是,，a,aa，abnnnnn，1n，1aaan，1nn 1等差数列，易得从而有. b,n,a,nnn ,,1评注 对于该形式可先转化关于的线性递归数列，再运用等差数列知识来解决. ,,an,, b,0a,d1.2然后研究,且的情况 3a3na,例2 (2008年高考陕西卷22题)已知数列,,的首项，，aa,n，1n12a，15n (?)求,,的通项公式;(?)、(?)略. an,1,2,？.n 1211b,分析 先化为，再变形得,，，令，则3a,2aa，annnn，1n，1a33aan，1nn 121,,,,，这是关于b的线性递归数列，可得，显然b,1是，，b,b，b,1,b,1nnn，1nn，1n333 n31na,等比数列，易得，从而有. b,2,()，1nnn3，23 ,,1评注 对于该形式可先转化关于的线性递归数列，再转换为等比数列来解决. ,,an,, b,01.3最后研究的情况 1 ,3u，2nu,例3 已知数列,,满足，()，求. uuu,1n,1,2,？n，1nn1u,4n ,,1分析 根据1.2中的处理经验，可以大胆将其转化为关于的线性递归数列，即,,u，tn,, 11b设，其中、、是待定常数.代入原递推方程,有 ,a,，batu，tu，tn，1n 2,4t2,4t,,,,u，,4，,,,,nu,411t,3t,3,,,,n, ,,,3u，2(t,3)u，2,4t，ut2,4t,,nnn，1，t(t,3)u，,,nu,4t,3,,n 1011,,， 22,4tt,3(t,3)u，nt,3 5115112,4t令，得.取则a,,b,,.于是.设,,,,tt,1,t,1,,2u12u12，，22t,3n，1n 5111151,,,,,v,，则，变形得.显然是等比数列，vvv,,,v,v,,,,,nnnnn，1nu，1332322,,,,n n，1n,11152,5n,1u可得，所以,( v,，()nnnn,12，5362 ,,1评注 对于该形式可先利用待定系数法转化关于的线性递归数列，再转换为,,a，tn,,等差或等比数列来解决，但计算繁琐(那还有没有其他简单一点的思路呢, 下面再来看一道高考题:(2009年高考江西卷22题) m，n,p，q例4 各项均为正数的数列,,,,,且对满足的正整数，ama,aa,bn12 a，aa，a14pqmn,，，都有(1)当，，求;(2)npqa,ab,n25(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)mnpq 略.来看看命题者给出的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : a，aa，aa，aa，apq1n2n,1mn,,解:由得，将(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)1n2n,1mnpq a,1a,12a，1411nn,1n,1,,a,,代入上式化简得，所以 .故数列a,a,,n12a，2a，13a，125n,1nn,1 2 n,,,1aa,13,11nnn,1,,,a为等比数列，从而，即.可验证时也成立，故,,nnna，13a，13，1nn,, n3,1,a即为所求. nn3，1 a,1n看了此题的解，很多读者会感到诧异:解题过程中为什么要研究,如何得到,,a，1n其实这种解法具有高等数学背景，下面来研究此类题目的更一般解法. 2 借助分式线性变换的不动点原理来求解 ax，b,0ad,bc,0定义2 我们称变换(，且)为分式线性变换，把满足方y,ccx，d ax，b程 的称为分式线性变换的不动点. x,xcx，d 2上述方程变形可得到一个关于的一元二次方程,在射影几何xcx，(d,a)x,b,0中，形如定义2中的分式线性变换是一维射影变换，我们借助一维射影变换的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式理论，可以求分式线性递归数列的通项公式. 2x，1我们来回顾一下例4，由方程得. x,x,,1,x,112x，2 a,12，1an,1n,1,,1,作 ? a,1n，2a，2an,1n,1 3(a，1)2a，1n,1n,1,，1 ? a，1,na，2a，2n,1n,1 a,1a,11nn,1,,? ?得:.这样一来，很多读者便豁然开朗了. ,,a，13a，1nn,1 2.1先讨论分式变换有两个相等的不动点的情况 4,an,1,,例5 已知数列满足，()，求. aa,aa,1n,2,3,？nnn13,an,1 a4,a,24,xn,1n,1a,2,,2,x,分析 令，解得.作，取倒数得x,x,2n12a3,a3,3,xn,1n,1 3,a111n,1,,,1，c,.设，则有，而可得c,c,1c,,1,nnn,11a,2a,2a,2a,2nn,1n,1n 1c,,n，所以a. ,2,nnn 2评注 当二次方程两个相等根(实根或虚根)时，cx，(d,a)x,b,0x,x,p12 3 aa，b2c11na,递推式可转化为，这里k,.再由等差数列,，k，1nca，da,pa,pa，dnn，1n ,,1不难求出. a,,na,pn,, 2.2再讨论分式变换有两个不等的不动点的情况 3b，4nb,例6 (由2007年高考全国卷22题改编)已知数列,,满足，bb,2n，1n12b，3n()，求. bn,1,2,3,？n 3x，4x,,2,分析 令，解得.则有 x,x,2122x，3 3b，4(3,22)b，(4,32)nn ? b,2,,2,n，12b，32b，3nn b3，4(3，22)b，(4，32)nn,b，2,，2 ? n，12b，32b，3nn ,,b,2b,2b,2,,4n，n1n,(2,1)? ?化简得:，由等比数列可得 ,,,,,b，2b，2b，2nn，n,,1 4n,22[1，(2,1)],b. n4n,21,(2,1) 2评注 当二次方程两个不等根(实根或虚根)时，cx，(d,a)x,b,0x,p,x,q12 a,pa,paa，ba,pcn，1nn,k,a,k,递推式可转化为，这里,再由等比数列，1nca，da,qa,qa,qcnn，1n ,,a,pn不难求出. a,,na,qn,, 值得说明的是，当方程无实根时，数列是周期数列，其通项公式还可以通过观察求得( 1，an,1a,,,例7 已知数列a满足，()，求a. a,2n,2,3,？nnn11,an,1 11，x1分析 令，此方程无实根(由可依次求得、、、x,a,2a,a,,3a,,431231,x2 4 2,(n,4k，1), ,,3,(n,4k，2), ,,1，观察得,,是周期为4的周期数列，则( a,2aa,(k,N),,,(n,4k，3)nn52, ,1,(n,4k),3, 3 推广 aa，bna,有些分式递推式，虽然不属于型，但也可以按照2中的方法来求处理. ，1nca，dn ,,2例8(由1984年高考全国卷改编)设，给定数列{}，其中an 2an()，求. a,,a,a,n,1,2,？nn，112(a,1)n aa，bna,分析 此递推式不属于型，但我们希望将上式变形为:左端成为，1nca，dn 2(a,k)2n，右端分母不变，分子成为，即希望有，整理得a,k,a,k(a,k)nn，1n，12(a,1)n22a，k,2k2n.与原递推式对照得:，解得. a,k,0,k,2k,2k,0n，1212(a,1)n 222a(a,2)annn由 ? 作 ?，??得: a,2,,2,a,,n，n，112(a,1)2(a,1)2(a,1)nnn 2,,aa,2,2n，n1,, . ,,,aan，n1,, 2n,1n,12222,,,,,,,aaaa,,,,2222,2,,nn,n,121,,,,,,从而，则有？？,,,,,,,,,,,,aaaa,,,nn,n,,,,,,,121 2a,2，. n,1n2,,,,1,,,2,,, 例9(由1986年高考全国卷改编)已知数列{a}，其中n 2a(a，3)nn()，求a. a,0,a,1,且a,n,1,2,3,？n11n，123a，1n 5 aa，bna,分析 此递推式也不属于型，但我们仍希望将上式变形为:左端成为，1nca，dn 3(a,k)3n，右端分母不变，分子成为，即希望有，整理得a,k,a,k(a,k)nn，1n，123a，1n 3233a，3ka,k，ka，3a23nnnn3k,3且,k，k,0a,,与原式对照则有:,a,n，1n，1223a，13a，1nn 33a，3a(a，1)nnn解得.则有 ? a，1,，1,k,,1,k,1n，112223a，13a，1nn 33a，3a(a,1)nnn ? a,1,,1,n，1223a，13a，1nn 3,,a，1a，1n，n1,,??得:,下略( ,,,,a,1a,1n，n1,, 上述试题的运算和推理都有较高的能力要求，考查学生进入高校继续学习的潜能(思路1运用换元将其转化为等差或等比数列予以解决，思路2尝试运用高等数学中的不动点原理来处理，这多少有点“掐头去尾烧中段”的味道，教学重点不应该是讲授不动点原理这个知识点，而是尝试运用高等数学思想方法来服务中学数学的教学，如此适当处理往往会使问题简单化.但需要注意的是:不能盲目提高教学要求，应把握中学数学的内容来教学这个主体不变，巧借初等数学与高等数学的桥梁，面向学有余力同学适量拓展，优化他们的思维品质. 参考文献 [1] 陈永明(递推式.上海:上海科学技术出版社，1989. [2] 张奠宙,张广祥.中学代数研究.北京:高等教育出版社，2006. [3] 单墫.数列与数学归纳法.上海:上海科技教育出版社，2009. 6