[n元均值不等式的证明]用均值不等式求最值的方法和技巧

[n元均值不等式的证明]用均值不等式求最值的方法和技巧 [n元均值不等式的证明]用均值不等式求最 值的方法和技巧 篇一 : 用均值不等式求最值的方法和技巧 用均值不等式求最值的方法和技巧 桃源县第九中学 朱梅芳 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。等方式进行构造。 ?2、求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ?3?y?x2 ?y?sin2xcosx 22 解析: 1 33,?3?2x?0，?y?x2?x?x? 22 x?x?3?[]?1，当且仅当x?3?2x即x?1时，“=”号成立，故此函数最大值3??0?x? 是1。??0?x?? 2,?sinx?0,cosx?0，则y?0，欲求y的最大值，可先求 y2的最大值。 1y2?sin4x?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x? 2 1sin2x?sin2x?2cos2x34????,当且仅当sin2x?2cos2x?tanx?， 即22327 时，不等式中的“= x?arcta评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。 3、用均值不等式求最值等号不成立。 4的最小值。 x b解法一:由函数f?ax?图象及性质知，当x??x?是减函数。 x 证明: 44任取x1,x2??f?? x1x2 x?xxx?4， ??4?21??12 x1x2x1x2 xx?4?0?x1?x2?1，?x1?x2?0,12?0， x1x2 4则f?f?0?f?f，即f?x?在?x?在? x??易知当0?x?1时， x4? 0且单调递减，则f?2?4在?x?x4在?x?在?x?得f??1?2，当x??1?2?0，xxx 44则函数f?x?在?x?在?x? 2 解法四:f?x?1343当且仅当x?1????5，xxx1 时“=”号成立，故此函数最小值是5。?10? ??10?18,当且仅当??xyyx?x?16y ?x?y x?12,y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 解法二: x81x由，由y?0??1得y?x?8x?8xy x?2y?x?又0?x0?x?则8?2x2?161616?x??x?2????10?10?18。当x?8x?8x? 8x?816且仅当x?8?即x?12,此时y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 x?8 解法三: ?828??sinxx??x??sin2x 令?则有?1?1??cos2x?y???cos2x??y 82则x?2y?2?2?8csc2x?2sec2x?8?2?10?8cot2x? 2tan2x sinxcosx ?10??18，易求得x?12,此时y?3时“=”号成立，故最小值是18。 评析:此类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误 81的求解方法: x?2y???8。原因就是等号成立的条件xy不一致。 5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例5、已知正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围。 解法一: 由x?0,y?0，则xy?x? y?3?xy?3?x?y? 2?3? 0解得??13，当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??)。 x?y2)?2?4?12?0?x?y??2或x?y?6，当且2 仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故x?y的取值范围是[6,??) 又x?y?3?xy?y?x?3知x?1， x?3x?3?0?x?1，则: 则y?，由y?0?x?1x?1 x?3x2?3x2?5?44xy?x??????5?5?9，当x?1x?1x? 1x?14即x?3，且仅当x?1?并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??)。,) x?1 x?y?x?x?3x?1?444当?x??x??1???2?2?6，x?1x?1x?1x?1且仅当x?1?4即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??)。 x?1 三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项 例1 求函数 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :3x2?y?3x2?162?x2的最小值. 16 2?x2是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.1 22而2?x可与x?2相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即 y?3x2?6?16?62?x2，再用均值不等式. 解:x2?2?0,y?3x2? ?3?16?622?x 6162?x2? ?6 当且仅当3? 162x??22? x2，即3时,等号成立. 所以y的 最小值是6. 评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 4 2、 配系数 例2 已知x?0,y?0，且满足3x?2y?12，求lgx?lgy的最大值. 分析 lgx?lgy?lg, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x?y是否定值， 而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为3x?2y 6，再用均值不等式. 解:x?0,y?0 3x?2y 6 ?1?3x?2y?2??1?12?2??lg?????lg????62????????6?2??? ?lg6 lgx?lgy?lg?lg 当且仅当3x?2y，即x?2,y?3时，等号成立. 所以lgx?lgy的最大值是lg6. 评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不 等式，即利?a?b?ab???2??来解决. 用2 3、 裂项 例3 已知x??1，求函数x?5??x?2??y?x?1的最小值. 分析 在分子的各因式中分别凑出x?1，借助于裂项解决问题. 4???x?1???? x?解:x?1?0y,?x?1 ??1???14?5?5x?1 ?9 当且仅当x?1? 4 x?1，即x?1时，取等号. 所以ymin?9. 5 4、 取倒数 21y?0?x?x的最小值. 2，求函数 例4 已知 分析 分母是x与的积，可通过配系数，使它们的和为定值;也可通过配系数，使它们的和为 .于是通过取倒数即可解决问题. 解 由0?x?1 2，得1?x?0，1?2x?0. 1x13x1?2x????y231?x1?x ?3x1?2x??1??1????3?2?12 ? 取倒数，得 ?2 3x1?2x1?x? 当且仅当1?x1?x，即5时，取等号. 故y的最小值是12. 5、 平方 y2 2x?? 8x?0,y?03 例5 已知且求. 2 分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次 式，y是平方式但带根号. 初看似乎无从下手，但若把所求式 题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决 . y2 解:?3?2x32222?2y2??2x??92?3???322??????2 6 3y2x? 2x?y?2，3，即2时，等号成立. 当且仅当2 故x 评注 本题也可将纳入根号内，即将所求式化为数，再运用均 值不等式的变式. 6、 换元 例6 求函数y?的最大值. 分析 ?t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. ?tt,? 2t2?1 当t?0时，y?0; 当t?0时，y?1 2t?t??y?tx0?,t2?则2, 1当且仅当2t=，即t?.t3所以x??时,24 7、 逆用条件 19??1xy 例7 已知,则x?y的最小值是 . 分析 直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x?y的最小值.这时可逆用条件，即由 可解决问题. 1?1919?x?y?xy，得xy，然后展开即 7 解:由x?0,y?0,19??1，得xy 19y9xx?y????10xyxy 10?16y9x?,即x?4,y?12时，等号成立.xy?当且仅当 故x?y的最小值是16. 19? 评注 若已知x?0,y?0,x?y?1 ，要求xy的最大值， 则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若a,b,c? 0且a?bc?4?求2a?b?c的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题， 无法利用a?b?来解决.换个思路，可考虑将2a?b?c重新组合，变成?，而等于定值4? . 解:由a,b,c?0,知2a?b?c?? ????2,当且仅当b?c, 即b?c?1?a时，等号成立. 故2a?b?c的最小值为2. 9、 消元 y2 例9、设x,y,z为正实数，x?2y?3z?0，则xz的最小值是. x?3zy2 y?2，则可对xz进 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 行消元，用x,z 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 8 x?3z可得,2 2y2x?9z?2xz6xz6?xz6=??3,xz4xz4xz y当且仅当x?3z,即x?y,z?时，取“=”.3 y2 故的最小值为3.xz 解:由x,z?0y,? 练习: 1、试填写两个正整数，满足条件 的和最小。,) 2、试分别求:y?x?1; y?2x?x?141?,1，且使这两个正整数[ ][ ] 3、求y?2log2?log2?1 最小值。 总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要 掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体 会，才能达到举一反三的目的。 2011年1月2日 9 篇二 : 均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1 求证 xy+1/xy?17/4 1=x+y?2? 得xy?1/4 而xy+1/xy?2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy?1/4 ?xy+1/xy?+1/=4+1/4=17/4 得证 继续追问: 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答: 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的 法二: 证xy+1/xy?17/4 即证4?-17xy+4?0 即证?0 即证xy?4，xy?1/4 而x,y?R+，x+y=1 显然xy?4不可能成立 ?1=x+y?2? ?xy?1/4，得证 法三: ?同理0 xy+1/xy-17/4 =/4xy =/4xy ?0 ?xy+1/xy?17/4 试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?! 二、 已知a>b>c，求证:1/+1/+1/>0 a-c=+?2?* 于是c-a?-2?* 即:1[标签:内容]