[英语]学而思2012年秋季素质123班难题汇总至第10讲

[英语]学而思2012年秋季素质123班难 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 汇总至第10讲 学而思2012年秋季素质123班难题汇总 开篇语 学而思2012年秋季课程，在北京市JW大禁奥数与升学挂钩的政策下，一如既往地如期开始了。无论大背景如何，数学思维方法的训练还是必要的，让我们这些对数学有着浓厚兴趣的家长，与孩子们一起继续学习。知识靠积累，学习靠兴趣，只有热爱，才能学好，给孩子做引路人，让孩子坦然前行。 声明:本文档仅收录各讲有难度题目，并对题目进行解析。文档未对各讲内容进行汇总和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。 第一讲 循环小数与分数 分数是一定可以化成小数的，小数不一定都可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。 小数化分数的目的:是为了计算，主要是为了乘除的计算。尤其循环小数的乘除，小数不化成分数，几乎无法计算。 (一) 分数化小数 ?分数是一定可以化成小数的，分数可以化成如下3类小数: (1) 有限小数 (2) 无限纯循环小数 (3) 无限混循环小数 ?分数化小数，化成哪一类,判断方法如下: 先将分数化成最简分数，再看分母: A、分母只有因子2或5,有限小数 B、分母没有因子2和5,无限纯循环小数 C、分母有因子2和5，还有其他因子,无限混循环小数 ?分数化小数的方法 分数化小数的方法:除。相除后，要么得到有限小数，要么得到循环小数(找到循环节)。 特殊的地方是:如果分数的分母可以表示成都是数字9，就可以转换成无限纯循环小数;如果分数的分母可以表示成“左边连续的数字9右边连续的数字0”，就可以转换成无限混循环小数。这2种情况，是 oooo 有计算方法的。例如:13/99=0.13，113/990=0.114。 (二) 小数化分数 有限小数、无限纯循环小数、无限混循环小数，可以化成分数，无限不 循环小数不能化成分数。 ? 有限小数化分数 a、分母:1加几个0做分母(0的个数与小数的位数相同) b、分子:小数部分 c、化为最简 ? 无限纯循环小数化分数 a、分母:全是9，9的个数与循环节的位数相同 b、分子:循环节 c、化为最简 ? 无限混循环小数化分数 a、分母:9和0，9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环 部分的位数相同 b、分子:“第2个循环节以前的小数部分的数字组成的数”-“不循 环部分的数字组成的数” c、化为最简 111111、【例4的补充】将99个分数、、„„化成小数，问:其中混循 234100 环小数有多少个, 【难度级别】????? 【解题思路】先要搞清楚如何判断:有限小数(分母只有2、5)、无限纯循环小数(分母无2、5)、无限混循环小数(分母有2、5和其他)。 分母有2的:50个，分母有5的:20个，既有2又有5的:10个，所以分母有2或5的共有:50+20-10,60(个)。这60个包括:有限小数、无限混循环小数。 有限小数:只有2的:2、4、8、16、32、64共6个，只有5的:5、25共2个，既有2又有5的:10、20、40、50、80、100共6个，合计:14个。 所以无限混循环小数有:60,14,46(个)。 【答案】46。 oooo 12、【例5的第2问】将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】先化成分数，相乘，分子分母约分，再化成小数。 oooooo6 0.027×0.179672=×=×==0.004856。 99999 004856六个数字循环，100?6,16„4，第100位是8，后面的5四舍五入进1，进位后第100位(近似值的最后一位)是9。 【答案】9。 a13、【例6的补充】真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干 7 a个数字之和为1992，求的值。 【难度级别】????? a【解题思路】化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的， 7 而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的。 oooooo123,0.142857，,0.285714，,0.428571， 777 oooooo456,0.571428，,0.714285，,0.857142。 777 六个数字的数字和:1+4+2+8+5+7,27。 1992?27,73„21，27,21,6，最后一个不完整的周期中的数字和是21， 6a说明后面缺6，观察以上6个数，的后面的4+2,6，所以,6。 7 和为1992的最后一个数字是第6×73+4,442(位)。 【答案】6。 a 14、【例6】已知真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个 13 a数字之和为1999，求的值。 【难度级别】????? 【解题思路】方法一为本人提供，方法二是老师提供的。 a方法一，化成小数，循环节都是6位。 13 oooooooo1349,0.076923，,0.230769，,0.307692，,0.692307， 13131313 oooo1012,0.769230，,0.923076， 1313 oooooooo2567,0.153846，,0.384615，,0.461538，,0.538461， 13131313 oooo811,0.615384，,0.846153。 1313 根据组成循环节的6个数字是否相同，找规律:1、3、4、9、10、12相同，2、5、6、7、8、11相同。 数字和:0+7+6+9+2+3,27;数字和:1+5+3+8+4+6,27。 1999?27,74„1，最后一个不完整的周期中的数字和是1，观察以上12 2a个数，在一个周期内前几位的数字和为1的只有0.153846，即:，,2。 13方法二，通过代数方法证明数字和为27。 ABCDEFaa，7，1177，a77，a，99977，999，a，，0.ABCDEF====== 131001，99999999913，7，111001999999 ABCDEF=77×999×ɑ，999|ABCDEF，999|(ABC+DEF)，ABC+DEF=999(等于999的2倍不可能)。 由ABC+DEF=999得到:C+F=9，B+E=9，A+D=9，并且都没有进位，所以:A+B+C+D+E+F=9×3=27。 1999?27,74„1，最后一个不完整的周期中的数字和是1。 2 当ɑ=1时，A=0;当ɑ=2时，A=1;当ɑ,2时，A,1。真分数为，ɑ=2。 13【答案】2。 o15、【例8】我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07、77.007 都是“特殊数”。如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个, 【难度级别】????? 【解题思路】将7除以7变成1。 若干个特殊数的和写成1，说明这样的特殊数都是小于1的。 oo1假设:a+a+„+a,1，则 (a+a+„+a)/7,,0.142857。 12n12n 7 oo 除以7后，每个数位上要么是0要么是1，142857中的8至少要有8个1相加才可以得到，所以1最少要写成8个特殊数的和。 构造如下: 十分位 百分位 千分位 万分位 十万分位 百万分位 (1) 1 1 1 1 1 1 (2) 1 1 1 1 1 (3) 1 1 1 1 (4) 1 1 1 1 (5) 1 1 1 (6) 1 1 (7) 1 1 (8) 1 求和 1 4 2 8 5 7 oooooooo a,0.777777，a,0.077777，a,0.070777，a,0.070777， 1234 oooooooo a,0.000777，a,0.000707，a,0.000707，a,0.000700。 5678 【答案】8。 20021 16、【学案3】和化成循环小数后第100位上的数字之和是_____。 2009287 【难度级别】????? o【解题思路】用到:2009,7×287，2002,7×286，1,0.9。 o1,，+,+,1,0.9。 87 每一个小数位都是数字9。 ooooo 证明一下1,0.9:A,0.9，10A,9.9，10A-A,9.9-0.9，9A,9，A,1。 【答案】9。 17、【学案4】图中圆周上的10个数，按顺时针次序可以组成198许多整数部分是一位的循环小数(10个数字恰好各用一次)，29 oo92例如:1.892915929。问:在所有这种数中最大的是几, 951【难度级别】????? 【解题思路】最大肯定整数部分是9，9.2,9.1，看2个9.2的。 9.291592918,9.291892915，后者大。 小数部分291892915是不变的了，5肯定是循环节的最后一位，5后面显然以9开始最大，92,91，以92为循环节的开始，循环节为92915。 oo 最大数为:9.291892915。 oo 【答案】9.291892915。 18、【作业6】给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。 【难度级别】????? 【解题思路】3是循环节的末位。100,10,90。 循环节有10个数字，7开始3结束，90?10,9„0，第100位为3; 循环节有9个数字，0开始3结束，90?9,10„0，第100位为3; 循环节有8个数字，8开始3结束，90?8,11„2，第100位为2; 循环节有7个数字，2开始3结束，90?7,12„6，第100位为5; 循环节有6个数字，1开始3结束，90?6,15„0，第100位为3; 循环节有5个数字，6开始3结束，90?5,18„0，第100位为3; 循环节有4个数字，9开始3结束，90?4,22„2，第100位为4; 循环节有3个数字，4开始3结束，90?3,30„0，第100位为3; 循环节有2个数字，5开始3结束，90?2,45„0，第100位为3。 oo 所以，这个循环小数是:0.7082169453。 oo 【答案】0.7082169453。 oo 19、【作业7】纯循环小数0.abc写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数。 【难度级别】????? ooabc31【解题思路】0.abc,;999,3×37。 999 大家还记得约数个数定理吗,(3+1)×(1+1),8。 999小于58的约数有5个:1、3、9、27、37;其他3个约数大于58(3×37、9×37、27×37)。 分子分母约分后，剩余的也是约数，最简分数分母只能是37。因为如果分母是:1、3、9、27，则58减去分母后差比分母大(差为分子)，与题目给的纯小数矛盾。 2121，27567，，0.567分子为:58,37,21。这个循环小数为:,,,。 3799937，27 ?? 【答案】0.567。 第二讲 因数与倍数(一) (一) 最大公因数 ? 短除法:出现互质就停(有就停、不是都互质)，乘一边; ? 分解质因数:你有我也有(公共质因子、取最低次); ? 辗转相除法:不断“除数?余数”，除到余0看除数。 (二) 最小公倍数 ? 短除法:两两互质才停，乘半圈; ? 分解质因数:大家有才是真的有(所有质因子、全取最高次)。 (三) 分数的最大公因数、最小公倍数的求法 分数的求法:子同母反。即:求最大公因数，分子的最大公因数?分母 的最小公倍数;求最小公倍数，分子的最小公倍数?分母的最大公因数。 (四) 因数的找法 因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数 本身，如:60,1×60,2×30,3×20,4×15,5×12,6×10。 21、【例7】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点, 【难度级别】????? 【解题思路】提供两种方法。 方法一，追及时间+最小公倍数。 乙追上甲一次需要的时间:400?(120-80)=10(分钟); 乙追上丙一次需要的时间:400?(120-70)=8(分钟); [10,8]=40，40为最小公倍数，说明乙40分钟可以同时追上甲和丙。看看追上的地点是否是出发点,如果不是再看80分钟。 40×120,4800,12×400，是周长400米的整数倍，地点是在出发点。 方法二，走一圈时间+分数的最小公倍数。 4004001040040每人走一圈需要的时间:,5，,，,。 380120707 [5,10,40]5104040[,,],,,40。 3171(1,3,7) 【答案】40分钟。 22、【例3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】设公因数为x，设三个自然数为ax、bx、cx，则有:ax+bx+cx=1111。 (a+b+c)x=1111=11×101，x最大值为101。 构造:a+b+c=11,a=2,b=3,c=6,三个自然数:202、303、606。 【答案】101。 23、【例1】如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小的3倍。现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩余的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些, 【难度级别】????? 【解题思路】设除1和n外剩余因数中最小为x，则最大为15x。 2因数成对出现，n,1×n，n,x×15x,3×5×x。 n的因数中有3，所以1,x?3(因为x是除1以外的最小因数)。 x,2，15x,30，n,2×30,60; x,3，15x,45，n,3×45,135。 当然此题也可以尝试，尝试2、3、5，尝试到5时就不可以了。 【答案】60、135。 24、【例8】甲乙两数的最小公倍数是90，乙丙两数的最小公倍数是105，甲丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 分解质因数。 2[甲,乙],90,2×3×5;看出，丙独有7; [乙,丙],105,3×5×7;看出，甲独有2; 2[甲,丙],126,2×3×7;看出，乙独有5; 2因为[乙,丙]只有1个3，所以甲有2个3，甲,2×3,18。 乙和丙有1个3，所以:乙为5或5×3，丙为7或7×3，<乙、丙>可以有3种组合:<5、21>、<15、7>、<15、21>(不能是<5、7>因为这个组合没有3)。 【答案】18。 25、【例4】N为自然数，且N+1、N+2、„„、N+9与690都有大于1的公因数。N的最小值为。 【难度级别】????? 【解题思路】对690分解质因数，690,2×3×5×23。 方法一，理论求解。 9个连续的自然数有两种可能的情况:5奇4偶、4奇5偶。 (1) 5奇4偶 4个偶数都有公因数2。 5个奇数:最多有2个3的倍数、最多有1个5的倍数、最多有1个23 的倍数，那么另外1个奇数与690无公因数。 此种情况，舍弃。 (2) 4奇5偶 5个偶数都有公因数2，N+1为偶数。N+2、N+4、N+6、N+8为奇数。 N+2与N+8相差6，3的倍数有2个就是N+2和N+8。 N+4与N+6一个是5的倍数一个是23的倍数，相邻奇数1个是5的倍 数1个是23的倍数，最小的是23和25，N+4,23，N,19。 验证这4个奇数:21、23、25、27，21和27是3个倍数、25是5的倍 数、23是23的倍数，满足题意。 方法2，估算。 因为690,2×3×5×23，所以猜想这9个连续的自然数必然在23附近，比23小的距离23最近的质数是19，比23大的距离23最近的质数是29，在19和29之间恰好有20,28九个自然数，而这9个自然数满足题意:5个偶数与690有公因数2，21、27与690有公因数3，25与690有公因数5，23与690有公因数23。 【答案】19。 26、【学案2】用1,6这六个数字可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数。 【难度级别】????? 【解题思路】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数，所以这些数都能被3整除。 因此，最大公因数必须是3的倍数，设为3k。而在这些数中，差最小的是9，最大公因数3k必须是这个差9的约数，所以最大公因数只能是3。 因为:如果是6，这些数有奇数不是6的倍数;如果是9，这些数的数字和21不是9的倍数这些数不能被9整除。 【答案】3。 27、【学案4】鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A、B开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说:“你挖完后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖______个洞。 (鼹鼠每隔3米挖1个洞，老鼠每隔5米挖1个洞) 【难度级别】????? 【解题思路】从A往B看，鼹鼠3米3米往前挖，老鼠:157?5,31„2，老鼠与A距离2米时是第1个洞。 第1次重叠的洞是:2+5+5,12米，12,3×4，也就是老鼠挖的第3个洞与鼹鼠挖的第5个洞重叠(从A往B看)。 [3,5],15，157,12,145，145?15,9„10，又重叠了9个洞。 9+1,10。 【答案】10。 28、【作业2】用1,9这九个数字可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数。 【难度级别】????? 【解题思路】1+2+„„+9=45，45是9的倍数，所以这些数都能被9整除。 因此，最大公因数必须是9的倍数。而在这些数中，差最小的是9，最大 公因数必须是这个差9的约数，所以最大公因数就是9。 【答案】9。 29、【作业8】七个连续自然数之和既是5的倍数，也是9的倍数，求七个数中最大数的最小值。 【难度级别】????? 【解题思路】5×9,45，和为:45k(k?1)。 45k中间数:，因为45和7除了1以外没有公约数，所以k必须是7的倍 7 数，k的最小值为1，此时，中间数为:45，七个数之和为:45×7,315，最大数为45+3,48。 【答案】48。 2A、【作业答案】(1)40，8、6、5 (2)9 (3)91 (4)517 (5)10 (6)7 (7)24 (8)48 AC第三讲 三角形中的模型(一) E(一) 鸟头定理(鸟头模型) DD SAD，AE小, AB，ACS大BEBCA(二) 裤衩定理 1 S,S 12 正方形正方形A (三) 平行线分线段成比例 2 若DE?BC，则 DE ADAEADAEDE ,，,,。 BCDBABECACBC 本讲有两道题目采用裤衩定理，其余大多采用鸟头定理，使用鸟头定理时主要在于找到相同角或者互补角，鸟头定理是本讲的重点。本讲题目难度不大，孩子认真听讲都可以搞懂。 例7、例8、学案4采用“平行线分线段成比例”，这个内容是初中内容，超出孩子的能力范畴，为选讲内容。 31、【例7】已知三角形ABC的面积为a，AF:FC,2:1，E是BD的中点，且EF?BC，交CD于G，求阴影部分的面积。 【难度级别】????? 【解题思路】先应用2次“平行线分线段成比例”。 EGDE1E是BD的中点，EG?BC，,,; BCDB2 EFAEAF2AF:FC,2:1，EF?BC，,,,。 BCABAC3 EG123GF1GF1可以得到:,?,，,，,。 EF234EF4EG3 之后有2种方法:一是比例，二是鸟头定理(共角模型)。 方法一:比例 连结AG、BG，将?ABC分成了左边3个、右边2个、下边1个共6个小?。 设阴影面积(S)为1份。 ?GFC ?EGB与?GFC，EG:GF,3:1，等高，S:S,3:1，S,3份。 ?EGB?GFC?EGB AE2AE2AE2 ,,,,DE,EB，,,AD,DE,EB，等底同高，S,3份，?DGE AB3EB1DE1 S,3份，也就是左边3个?的面积分别都是3份。 ?AGD AF,2FC，背靠背同高，S:S,2:1，S,2份。 ?AGF?GFC?AGF EG1,，等高，S:S,1:2，S,6份。 ?EGB?GBC?GBC BC2 aS,3份+3份+3份+2份+1份+6份,18份,a，所以:1份,。 ?ABC 18方法二:鸟头定理(共角模型) 再应用2次鸟头定理(共角模型)。 AEAF2AE，AF2，24SAEF,,， ,,,; AB，ACABAC33，39SABC GF1FC1GF，FC1，11SGFC,，,， ,,,; EF，AFEF4AF24，28SAEF 1141aSSS,×,××,×,。 SGFCABCABCAEF1818889 a【答案】。 18 32、【例8】梯形ABCD的面积为12，AB,2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形CDFE的面积是______。 DD CCG FF EE AABB 【难度级别】????? 【解题思路】应用“平行线分线段成比例”、鸟头定理。 延长BF、CD相交于G。由于E为AC的中点，CG,AB,2CD，GD,DC。 11SS:SSAB,2CD，等高，,2:1，,×,×12,4。 ABCADCADC梯形ABCD33 GD?AB，DF:FA,GD:AB,1:2，所以，AF:FD,2:1，AF:AD,2:3。 AE,EC，AE:AC,1:2。 SAF，AE2，112S四边形FECDAFE,,,，,。 鸟头定理， SAD，AC3，233SADCADC 228S,×S,×4,。 ADC四边形CDFE333 当然，此题可以不这样做辅助线，而是过E点做AB的平行线交AD于H: 通过HE与DC、AB的关系，得到FH与HA、FH与HD的比例关系，进而得到AF与FD的关系，其余解法与上面的鸟头定理相同。 8【答案】。 3 33、【学案4】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平分厘米, GF【难度级别】????? ADh2h1【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。 I H CHBC82HG3CH?EF，,,,，,， EFBE205EF5BCE 3336HG,×EF,×12,。 555 h1GIHG3h1339 ,,,，,，h1+h2,12，h1,×12,。 IEh2EF5h1，h2882 1136981S,×HG×h1,××,,16.2(平方厘米)。 阴影55222 当然，不用h1、h2，连结HE，根据鸟头定理可以求出?GHI和?HIE的面积比例关系，而?GHE的面积是可求的，也可以求出来。 【答案】16.2平方厘米。 34、【作业7】如图，?ABC中，DE、FG、BC互相平行， AD,DF,FB，则S:S:S,_______。 ADEDEGFFGCB 【难度级别】????? 【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。 S:S:S,1×1:2×2:3×3,1:4:9。 ADEAFGABC S:S:S,1:(4-1):(9-4),1:3:5。 ADEDEGFFGCB 【答案】1:3:5。 35、【作业8】如图，长方形ABCD中，EF,16，FG,9，求AG的长。 【难度级别】????? 【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。 DGAGAGDA?EB，,,; GE25GB DGFG9DF?AB，,,; AGAGGB AG92AG所以:,，,25×9，AG,5×3,15。 25AG 【答案】15。 10736、【作业答案】(1)30 (2)4 (3)140 (4)59 (5)65 (6) 300 第四讲 解分数系数方程 解分数系数方程，关键是去分母，注意如下几点: a) 找分母的最小公倍数 b) 先去括号 c) 常数也要乘 d) 去分母后加括号 列分数方程，看关键字“的”，寻找单位“1”。 列方程的应用题，注意有5点:解、设、列、求、答。 本讲没有难题。 341、【学案4】小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了508 5块，这时已运来的恰好是没运来的。问还有多少块蜂窝煤没有运来,(方程) 7 【难度级别】????? 【解题思路】设还有7y块蜂窝煤没有运来，则运来的为5y块，全部为12y。 3 ×12y+50=5y，解得:y=100。还有700块蜂窝煤没有运来。 8 3当然设没运来的为y也可以求解，就是式子稍微复杂一点而已(×8 125y+50=y)。 77 【答案】700。 1142、【越玩越聪明】在古埃及，分子为1的真分数称为埃及分数，请从、、23 111、„、、这99个埃及分数中挑出10个，使它们的和为1。 410099 【难度级别】????? 1111【解题思路】利用的拆分，=-。 n(n，1)n(n，1)nn，1 111111因为++++„+=1- 1，22，33，44，59，1010 1把右边的移到左边即可: 10 111111++++„++=1 1，22，33，44，59，1010 【答案】见上。 43、【补充1】形状完全相同的12个小球，有1个坏球(质量与其他11个不同)，使用天平称3次能否找出这个坏球, 【难度级别】????? 【解题思路】操作类题目，逻辑推理。 分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了(坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定:2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比)。 两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论:拿4567和89(10)(11)比较(操作策略:留下48不动，拿走123，把567调换到左边，右边增加9(10)(11)，变成4567和89(10)(11)。 若4567轻，则说明4轻或者8重，那比较1和4，平衡的话不同的是8，不平衡的话不同的是8; 若4567重，则说明567重，那比较5和6，平衡的话不同的就是7，不平衡的话不同的是56中重的那个。 若平衡，则说明123轻，那比较1和2，平衡的话不同的就是3，不平衡的话不同的是12中轻的那个。 另外一个方法，思路相同(第二次比较的是,个不是,个): 分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了(坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定:2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比)。 两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论:拿125和369比较(操作策略:拿走478，留下123和56，右边补个9，再3和5左右调换，变成125和369)。 若125轻，则说明12轻或者6重，那比较12，平衡的话不同的是6，不平衡的话不同的是12中轻的那个; 若125重，则说明5重或者3轻，那比较5和9即可，5重就是5，平衡不同的就是3; 若平衡，则说明4轻或者78重，比较78，平衡的话不同的就是4，不平衡的话不同的是78中重的那个。 【答案】能，详见上面分析。 44、【作业答案】(1)第1题 3(5-3x)=2(3-5x)，此题出的不好，x=-9 (1)第2题 (2x+1)-2(x+1)=8，此题出的不好，x无解 1(2) (3)0 (4)13 (5)10 (6)1 (7)36 (8)200 8 第五讲 电梯与发车 电梯问题，关键词:S(可见的阶数)，S指的是楼层高度。 可见可见 同向:S,S+S;反向:S,S,S。S,V?t。 可见人梯可见人梯 发车问题，关键词:S(车间距)，S指的是车与车之间的距离， 间间 人车反向:S,(V+V)?t;人车同向:S,(V,V)?t。 间车人相间车人追 S,V?t。 间车发 本讲的扶梯问题和发车问题都是有固定解题思路的，最关键的是:列方程。 电梯问题的解题思路: 题目一般都是求S的，即求扶梯可见的阶数。 可见 第一:根据“同向、反向”、“2次同向”、“2次反向”、“2人”等等条件总是可以列出2个S的等式，S是相等的，这样就构成了一个方程。 可见可见 第二，两个S中的时间t是不等的，无论S还是S，如果S或者t没可见人梯 有给出，那么总是可以根据V或V是不变的得到2个时间t的关系。一般人梯 方程的:S,V?t、S,V?t。 来说，根据题目给的条件，是可以列出如下人人梯梯 如果采用第一步不能直接求出答案，再采用第二步的求t关系的方程就一定可以求出答案的。 发车问题的解题思路: 题目一般都是求t的，即发车的时间间隔。 发 第一:根据“人车同向”、“人车反向”、“2人1车”、“2车1人”等等条件总是可以列出2个S的等式， S是相等的，这样就构成了一个方程。 间间 第二，如果第一步无法求出，一般会给出第3个条件，例如:“车、车相遇”、“车追车”、“两个S存在比例关系”(流水行程中的两个S不等)等等，根间间据这个条件就可以再列出一个方程，或者找到第一步中的2个等式之间存在的比例关系。 一般来说，采用第一步，根据方程可以求出V和V的关系。如果采用第车人 一步不能求出V和V的关系，再采用第二步其他条件列出另外的方程来就车人 一定可以求出V和V的关系。最后一步，根据S,V?t就可以求出t，车人间车发发或者求出题目要求解的其他问题。 以上解题思路，请认真领会，从下面的解法中看得出来，本讲所有题目都是这么做出来的。 51、【例5】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每隔15分钟遇上一辆迎面开来的电车。且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车, 【难度级别】????? 【解题思路】发车问题，2人1车，S相同，2人速度不同，需要第3个条件，间 “甲的速度是乙的速度的3倍”就是我上面解题思路中的第3个条件。 以V和V，列出2个方程: 乙车 乙与车: S,15(V+V) 间车人 甲与车: S,10(V+3V) 间车人 15(V+V),10(V+3V)，解得:V,3V 车人车人车人 S,15(V+V),15×(3V+V),60V车人人人人间 根据S,V?t，t,S?V,60V?3V,20。 间车发发间车人人 当然最后一步也能简便一下:S,60V,20V,V?t，t,20。 人车车发发间 【答案】20。 52、【例7】小峰骑自行车去小宝家聚会，在途中小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，小峰只好弃车打的前往小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车。已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，如果公交车的发车间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车间隔为多少分钟, 【难度级别】????? 【解题思路】发车问题，1人1车(自行车出租车只是两种不同的形式，速度不同)，追及，S相同，2种情况人的速度不同，需要第3个条件，“出租车间 的速度是小峰骑车速度的5倍”就是第3个条件。 以V和V，列出2个方程: 自车 车(公交车)追人(自行车): S,9(V,V) 间车自 人(出租车)追车(公交车): S,9(5V,V) 间自车 9(V,V),9(5V,V)，解得:V,3V 车自自车车自 ,V),9×(3V,V),18VS,9(V间车自自自自 根据S,V?t，t,S?V,18V?3V,6。 间车发发间车自自 当然最后一步也能简便一下:S,18V,6V,V?t，t,6。 间自车车发发【答案】6。 53、【例6】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地厨房，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车;小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们走了_______分钟。 【难度级别】????? 【解题思路】发车问题，2人2车，S相同，2人速度不同，需要第3个条件，间 “每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车”就是第3个条件。 小张与车相遇: S,5(V+V) 间车张 小王与车相遇: S,6(V+3V) 间车王 这2个等式，无法求出V之间的关系，需要根据第3个条件“车车相遇”再列出一个方程:S,4(V+V),8V 间车车车 31根据这3个方程，可以求出:V,V，V,V 张车王车 53 最后一步:根据S,V×t，求得:全程和张王相遇 3311t,S?(V+V),56V?(V+V),56?(+),60。 张王相遇全程张王车车车 5353【答案】60。 54、【例8】某人乘坐观光游船沿顺流方向从A港到B港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就有一艘货船迎面开过。已知A、B两港间货船的发船间隔时间相同，且在静水中的速度相同，均为水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是_______分钟。 【难度级别】????? 【解题思路】发车问题，加上流水行船问题，1人2车，S不相同(这是本间题特殊的地方)，需要第3个条件来求解2个S的关系，流水行船中的顺水间 速度逆水速度恰好就是第3个条件。 V,7V，以V和V，列出2个方程: 货水水游 货船与游船追及: S,40(7V-V) 间1水游 货船与游船相遇: S,20(7V+V) 间2水游 通过流水行船中的货船的顺水速度、逆水速度来求解货船的这2个S的间关系: V,V+V,7V+V,8V，S,V?t,8V?t顺货水水水水间1顺发水发 V,V-V,7V-V,6V，S,V?t,6V?t逆货水水水水间2逆发水发 S84间1,, S63间2 进而就可以根据前2个方程求出V与V的关系: 游水 40(7V-V)47水游,，求得:V,V游水 3520(7V，V)水游 最后一步: 7S,40(7V-V),40×(7V-V),28×8V间1水游水水水 5 t,S?(8V),(28×8V)?(8V),28 发间1水水水 【答案】28。 55、【学案4】A城每隔30分钟有直达班车开往B镇，速度为每小时60千米;小王骑车从A城去B镇，速度为每小时20千米。当小王出发30分钟时，正好有一趟班车(这是第一趟)追上并超过了他;当小王到达B镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。A、B间路程为______千米。 【难度级别】????? 【解题思路】此题不采用“发车间隔”的求解思路，不属于本讲解题思路范畴，是一道纯行程问题，分析一下，列方程就可以求解。 车速60，人速20，人用30分钟，车用10分钟，说明第一趟车是10分钟前发出的，那么第二趟车20分钟后发出，第三趟车50分钟后发出，50分钟 5,小时。 6 人30分钟已经走了:0.5×20,10(千米)，设再过t小时到达B镇，则第 5三趟车到达B镇共用时(t-)小时，列方程: 6 520t+10,60(t-) 6 解得:t,1.5 A、B间路程:20t+10,20×1.5+10,40(千米)。 【答案】40。 56、【例1】小明站着不动乘电动扶梯上楼需要30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒, 【难度级别】????? 【解题思路】扶梯问题，1人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。 1次小明不动上扶梯: S,30V 可见梯 1次小明动上扶梯: S,12(V+V) 可见梯人 30V,12(V+V)，2V,3V，V,1.5V 梯梯人人梯人梯 30VS梯可见最后一步: t,,,20(秒)。 V1.5V人梯 【答案】20秒。 57、【例3】小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒, 【难度级别】????? 【解题思路】扶梯问题，2人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。 小志上电梯: S,28(2+V) 可见梯 小刚上电梯: S,20(3+V) 可见梯 28(2+V),20(3+V)，V,0.5 梯梯梯 S70可见最后一步:S,28(2+V),28×2.5,70，t,,,35(秒)。 可见梯 22 【答案】35秒。 58、【例2】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走到，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯阶数是女孩的2倍，则当扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少阶, 【难度级别】????? 【解题思路】扶梯问题，2人2次反向，S给出，S没有给出，需要其他条人梯 件求解，“男孩速度是女孩速度2倍”就是这个其他条件。 女孩上扶梯: S,S+S,40+V?t 可见女梯梯1 男孩下扶梯: S,S-S,80-V?t 可见男梯梯2 根据“男孩速度是女孩速度2倍”求解t和t的关系: 12 40,V?t女1 80,V?t,2V?t男2女2 得到:t,t12 有了这个结果，前2个方程就可求了:40+V?t,80-V?t梯1梯2 解得:V?t,20 梯1 最后一步:S,40+V?t,40+20,60 可见梯1 【答案】60。 59、【学案1】在地铁中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶 梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶，那么他走过30级台阶后到达地面。从站台到地面有_____级台阶。 【难度级别】????? 【解题思路】与例2思路完全相同。扶梯问题，1人2次同向，S给出，S人梯没有给出，需要其他条件求解，“人的速度和台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯运行的时间。 每秒1阶上扶梯: S,20+V?t 可见梯1 S,30+V?t 每秒2阶上扶梯: 可见梯2 根据“人的速度和台阶数”求解t和t: 12 20,1?t， t,2011 30,2?t， t,1522 将t、t代入前2个方程，V就可求了:20+20V,30+15V12梯梯梯 解得:V,2 梯 最后一步:S,20+V?t,20+2×20,60 可见梯1 【答案】60。 5A、【例4】百华大楼一二层间有一正以恒定速度向上运行的自动扶梯，某人以固定的速度从一楼向上跑，数得梯子有m级;到二楼后他又反过来以同样的速度向下跑至一楼，数得梯子有n级，那么该自动扶梯实际有多少级, 【难度级别】????? 【解题思路】与例2、学案1思路完全相同，只是没有给数字而给的是字母。 扶梯问题，1人2次，同向、反向2个方向，S给出，S没有给出，需要人梯 其他条件求解，“人的速度不变、2次台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯2次运行时间的比例关系。 ?t 同向上扶梯: S,m+V可见梯1 反向下扶梯: S,n-V?t 可见梯2 根据“人的速度不变、2次台阶数”求t和t的关系: 12 m,V?t人1 n,V?t人2 mt1, nt2 mm最后一步:t,t，代入前2个方程:m+V?t,n+V?t12 梯2梯2 nn n(n,m) 解得:V?t, 梯2 m，n n(n,m)2mnS,n-V?t,n-, 可见梯2 m，nm，n 最后一步也可不求t和V?t，而将前2个方程变形，直接求得S: 1梯2可见 S,m,V?t， n,S,V?t可见梯1 可见梯2 S,m:n,S,V?t:V?t,t:t,m :n可见 可见梯1 梯21 2 2mn得到:S, 可见 m，n 【答案】2mn/(m+n)。 5B、【作业8】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/小时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车。到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追上的公共汽车数了9辆。如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】发车问题，1人2车，S相同，V不知道，需要第3个条件，间车 “迎面11辆、后面追上9辆”就是第3个条件。 +4)?t 人与车相遇: S,(V间车1 -4)?t 人与车车追: S,(V间车2 这2个等式，无法求解，需要根据第3个条件“迎面11辆、后面追上9辆”求出t和t的关系:11t,9t 1212 t:t,9:11 12 这样，前2个方程就可以求解了: (V,(V-4)?t+4)?t车1车2 t:t,(V-4):(V+4),9:11 12车车 11(V-4),9(V+4) 车车 解得:V,40 车 【答案】40千米/小时。 5C、【作业答案】(1)54 (2)50 (3)64 (4)40 (5)54 (6)8 (7)4.8 (8)40 第六讲 定义新运算(二) 定义新运算，对于成人来说比较简单，但是对于孩子来说，个别题目接受起来还是挺有难度，不过可以告诉孩子那种题目不需要去理解，只需要“照葫芦画瓢”就可以，这样孩子就容易明白了。 加减乘除和括号，计算顺序不动摇，照葫芦画瓢(套)。 繁分化简并不难，主分数线当除号。 m，a，b××61、【学案2】对于非零自然数a和b，规定符号?的含义:a?b=(m 2，a，b ×××是一个确定的整数)。如果1?4=2?3，那么3?4=_______。 【难度级别】????? m，1，4m，4m，2，32m，3××【解题思路】1?4==，2?3== 82，2，32，1，412 m，42m，3=，m=6。 812 m，3，43m，43，6，411×3?4====。 2，3，4241224 11【答案】。 12 62、【学案3】已知x、y满足x+[y]=2009，{x}+y=20.09;其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x的小数部分，即{x}=x-[x]，那么x=_______。 【难度级别】????? 【解题思路】此题主要是孩子理解[x]、{x}，有点逻辑推理的意思。 x+[y]=2009，x+整数=整数，所以x是整数，所以{x}=0。 {x}+y=20.09，y=20.09，[y]=20。 x=2009-[y]=2009-20=1989。 本题，如果将2009改成2009.02会更好一些，解法也是一样的: x+[y]=2009.02，{x}=0.02。 {x}+y=20.09，y=20.09-{x}=20.09-0.02=20.07，[y]=20。 x=2009.02-[y]=2009.02-20=1989.02。 【答案】1989。 a b c e fd fa bd e d e f63、【学案1】规定:,ad,bc，=a×-b×+c×， c dh ig ig h g h i 1 2 3 4 5 6求的值。 3 6 9 【难度级别】????? 【解题思路】孩子理解三阶行列式很有难度，但是本题也不需要孩子理解，只需要“照葫芦画瓢”即可。 1 2 3 5 64 64 5 4 5 6=1×-2×+3× 6 93 93 6 3 6 9 =1×(5×9-6×6)-2×(4×9-6×3)+3×(4×6-5×3) =9-36+27=0 【答案】0。 64、【例3】定义a*b为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如:7*14,(7+9+11+13)?4,10，18*10,(18+16+14+12+10)?5,14。在算式?*(19*99),80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】此题是本讲最难的题目。 方法一，按照数列求和 ?先求19*99，19到99之间有:(99-19)?2+1,41个奇数，19*99,(19+21+„+99)?41,(19+99)?2,59。 ?*59,80，?,59。 ?设?与59之间(包含?、59)有n个与?奇偶性相同的自然数，则这n个自然数的和为:80n。 (1)如果?为奇数，?,59+2(n-1)=2n+57 80n,[59+(2n+57)]×n?2 80,(2n+116)?2 n,22，?,2n+57,101 (2)如果?为偶数，?,(59+1)+2(n-1)=2n+58 80n,[60+(2n+58)]×n?2 80,(2n+118)?2 n,21，?,2n+58,100 方法二，按照平均数求解，比方法一的计算简单 按照“平均数,(a+a)?2”来计算平均数，简化了很多。 1n ?先求19*99 19*99,(19+99)?2,59。?*59,80，?,59。 ?再求? (1)如果?为奇数，?*59,(?+59)?2,80，?,101 (2)如果?为偶数，?*59,(?+60)?2,80，?,100 【答案】101、100。 65、【例6】x、y表示两个数，规定新运算“?”和“,”如下:x?y,ax+by，x,y,c(x+y)，其中a、b、c为非零自然数。已知2?3,12，(3?2),1,56，求:(1?2),3,, 【难度级别】????? 【解题思路】求a、b是解一个不定方程，是本题的难点和关键。 2?3,2a+3b,12，因a、b是非零自然数，经尝试a,3，b,2。也可以利用奇偶性来解，因为12是偶数，2a是偶数，所以3b也是偶数，b只能等于2，因为b,4时a,0，b,2，a,3。 (3?2),1,(3×3+2×2),1,13,1,c(13+1),14c,56，c,4。 x?y,3x+2y，x,y,4(x+y)。 (1?2),3,(3×1+2×2),3,7,3,4×(7+3),40。 【答案】40。 m，2×××××××66、【补充1】已知:m?n,，求:2012?2011?„?3?2?1?0。 m，n，4 【难度级别】????? 【解题思路】本题的突破口不太容易寻找。 仔细观察:分子是m+2，分母是m×n+4，分母+4分子+2，想到2倍关系，如果n,2，那么，分母,2m+4,2(m+2)，恰好是分子的2倍。 m，2m，2m，21×当n,2时，m?2,,,,，说明:当n,2时， m2，4m，n，422(m，2) 1××m无论是何值，m?2都等于，m?2的结果与m的值无关。 2 1 设x,2012?×2011?ׄ?×3，x不需要计算，因为式子后面是?×2，x×?2,， 2与x等于多少没有关系，也就是说?×2之前的表达式的值根本不需要计算。 51，2，2152392××××××原式,x?×2?1?0,?1?0,?0,?0,,。 513629，1，4，0，4 29 23【答案】。 36 67、【作业答案】(1)1/21 (2)6 (3)3, 4.4 (4)5/3 (5)4 (6)1938 (7)550 第七讲 分数应用题 1、先看关键句，再找单位一，寻找不变量，变份来统一。 2、有分数就有比例，有比例就有份。 3、正向思维列方程。 acac4、, , , a，bc，dbd 本讲的应用题大致有三种解法: , 用“份”求解，能用此法解起来就比较简单; , 用“分数”求解，因为有分数计算比较复杂; , 用“方程”求解，有些情况下方程解起来比较麻烦。 这三种解法，各有特点，根据题目的特征，适当选择解法。 171、【例5】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与 3 111 原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30 443 1 人组成新三班。如果新一班人数比新二班人数多，那么原一班有多少人, 10 【难度级别】????? 【解题思路】本题使用“方程”求解比较容易理解。根据“分班前后总人数不 1变(或者余下30人)”列出一个方程，根据“新一班人数比新二班人数多” 10 列出第二个方程。 11设原一班有x人、原二班有y人，则总人数:x+y，新一班人数:x+y， 34 111111新二班人数:x+y，新三班人数:30，总人数又为:(x+y)+(x+y)+30， 433443列出方程: 1111x+y,(x+y)+(x+y)+30 化简后: x+y,72 解得: x,48 3443 11111(x+y),(x+y)×(1+) x,2y y,24 103443 此题，列出来的方程看起来复杂，但是解方程不复杂，另外，使用“方程”求解本题，思路简单。 【答案】48。 72、【例6】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄 11是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的, 赵先生的年龄 23 1是另外三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗, 4 【难度级别】????? 【解题思路】此题虽然用x、y、z三个未知数可以很容易的列出三元一次方程组，但是孩子们不会解，成人是可以求解的。 从三句话中，找不出来“不变量”，但是四个人的年龄和是“不变”的。本题，使用“分数”方法求解，比使用“方程”简单的多。 111 王是另三人的:王是四人年龄和的, 21，23 111李是另三人的:李是四人年龄和的, 1，334 111赵是另三人的:赵是四人年龄和的, 41，45 11113那么，杨是四人年龄和的1---,，杨26岁，所以四人年龄和为: 60345 13126?,120。王先生年龄为:120×,40。 603 【答案】40。 1173、【例7】今年孙子是爷爷年龄的，若干年以后孙子变成爷爷年龄的，再 65 1过若干年，孙子变成爷爷年龄的。则今年爷爷多少岁, 4 【难度级别】????? 【解题思路】此题与例6雷同，也是从三句话中，找不出来“不变量”，但 是爷爷与孙子的年龄差是“不变”的，这个“不变量”是解本题的关键。 与例6类似，使用“分数”方法求解，不使用“方程”。 111今年， 孙子是爷爷年龄的:孙子是“年龄差”的, 6,165 111若干年， 孙子是爷爷年龄的:孙子是“年龄差”的, 5,154 111再若干年，孙子是爷爷年龄的:孙子是“年龄差”的, 44,13 111 那么，孙子分别是“年龄差”的、和，说明“年龄差”是3、4、5 543 的公倍数，而[3,4,5],60，所以“年龄差”为60。 1 今年，孙子年龄:60×,12，爷爷年龄:12×6,72，或12+60,72。 5 160×2,120，如果年龄差为120岁, 今年，孙子年龄:120×,24，爷爷 5年龄:24+120,144，一般说来人活不到144岁。 【答案】72。 174、【例8】林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟 3 1满并搅拌均匀，第二次林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重 3 复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯总量的多少,(用分数表示)。 【难度级别】????? 【解题思路】使用“分数”方法求解，只看纯牛奶。 12第1次:喝了，剩余; 33 212224第2次:喝了×,，剩余,,; 339399 414448第3次:喝了×,，剩余,,; 932792727 8188816第4次:喝了×,，剩余,,。 81818127327 1665124865 四次共喝了:1,,，或者+++,。 8 n,1nn222如果是n次，第n次:喝了，剩余;n次共喝了:1,。 nnn333 65 【答案】。 81 75、【学案4】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于 32另外两个班人数的，美术班人数相当于另外两个班人数的，体育班有58 57人，音乐班和美术班各有多少人, 【难度级别】????? 【解题思路】此题虽然用x、y两个未知数可以很容易的列出二元一次方程组，但是用分数做孩子更容易理解。 2x,(y+58) 解得: x=40 5 3y,(x+58) y=42 7 从两句带分数的话中，找不出来“不变量”，但是三个班的总人数是“不变量”，以下使用“分数”方法求解。 222音乐班是另两班的:音乐班是三班总人数的, 2，557 333美术班是另两班的:美术班是三班总人数的, 3，7107 2329那么，体育班是三班总人数的1--,，体育班58岁，所以三班总 10770 29人数为:58?,140。 70 23 音乐班人数:140×,40，美术班人数:140×,42。 107 【答案】40，42。 100176、【作业答案】(1) (2)4 (3)99 (4)150 (5)165 (6)120 (7)10 (8) 4243 第八讲 数的整除的综合应用 k1、10系及其约数，末位判断。 k、10+1系及其约数，数段差判断(判断能否整除“奇数段,偶数段”、“偶2 数段,奇数段”都可以，但是判断余数必须是“奇数段,偶数段”)。 k3、10,1系及其约数，数段和判断。 本讲题目难度都比较大，希望家长和孩子认真领会。 81、【补充1】已知一个5位数，末位17，数字和17，被17整除，求此数。 【难度级别】????? 【解题思路】设这个五位数为:abc17 ，则a+b+c+1+7=17。 17|abc17 ，17|abc。a+b+c=9，9|abc。所以17×9|abc，即:153|abc。 1+5+3=9，满足。 【答案】15317。 82、【补充2】用0,9十个数字组成一个不重复的十位数，首位是8，2|前1位，3|前2位，4|前3位，5|前4位，„，10|前9位。 【难度级别】????? 【解题思路】此题难度系数较大，考察了若干个数的整除特性。尝试是得不到答案的，需要逐个分析。 (1)由“10|前9位”，得到第?位是0。 (2)由“9|前8位”，前8位数字和为9的倍数，0+1+2+„+9=45，9|45，9|前十位，第9位是0，因此第?位是9。 (3)由“5|前4位”，第4位是0或5，0已用，第?位是5。 8??5????09 (4)由“8|前7位”、“6|前5位”、“4|前3位”，知道:第?位、第?位、第?位三个位置为偶数，这三个位置选择2/4/6。因为只有3个偶数了，其他位置的第?位、第?位、第?位只能是奇数1/3/7。 (5)由“8|前7位”，判断末三位???被8整除。由(4)步知道，?位置是2/4/6，因为无论200/400/600都能整除8，所以:8|??。由(4)步知道，?位置是1/3/7，??只能是16、32、72，?位置只能是2/6。 (6)由“4|前3位”，判断末两位??被4整除，4|??。由(4)步知道，?位置是2/4/6、?位置是1/3/7，??只能12、16、32、36、72、76，?位置只能是2/6。 (7)由(4)步知道，?、?、?位置是2/4/6，由(5)步(6)步知道?、?位置是2/6，所以?位置是4。 8??54???09。 (8)到目前为止，只有2个条件没有使用了:“3|前2位”、“7|前6位”。由第(4)步的?位置是1/3/7，“3|前2位”能够得到:3|81,3|87，第?位是1/7。 (9)剩余最后1个条件:“7|前6位”，三位段差系判断被7整除，7|8??54?，7|(8??-54?)，由上步?是1/7，7|(81?-54?)或者7|(87?-54?)。 A、 7|(81?-54?)，?是2/6，?是3/7，810-540=270，270?7=38„4，7-4=3，只能?-?=3，?=6、?=3满足，816-543=273=7×39。 816543??09。 B、 7|(87?-54?)，?是2/6，?是1/3，870-540=330，330?7=47„1，7-1=6，只能?-?=6，?、?的取值无法满足，此种情况无解。 (10)由第(5)步，?位置是2/6，6被?位置使用，?=2。 (11)由第(4)步，?位置是1/3/7，1/3被??位置使用，?=7。 8165432709。 【答案】8165432709。 83【例1】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4?32?是9的倍数，一共有多少种满足条件的填法, 【难度级别】????? 【解题思路】9|4a32b，9|4+a+3+2+b，9|a+b+9，9|a+b，a+b=9k。 k=0，a+b=0，a=0，b=0，1种; k=1，a+b=9，a取0,9，b唯一确定，10种; k=2，a+b=18，a=9，b=9，1种。 1+10+1,12种。 【答案】12。 84、【例2】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有_______个。 【难度级别】????? 【解题思路】设要求的数为:abcd，则有:a+b+c+d=13。 被11整除，数段差，可以采用1位一段，也可以采用3位一段(1001,7×11×13)，本题采用1位一段，11|[(b+d)-(a+c)]，(b+d)-(a+c),11k。 a+b+c+d=13，(b+d)+(a+c),13，两个数的数字差与数字和的奇偶性相同，和13为奇数，所以差11k也必须为奇数，11k不能是0，只能是11。 (一) (b+d)-(a+c),11 (b+d)+(a+c),13 (b+d)-(a+c),11 解得: a+c,1 b+d,12 ? a,0，c,1 319，418，517，616，715，814，913，共7个。 ? a,1，c,0 1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903，共7个。 (二) (a+c)-(b+d),11 解得: a+c,12 b+d,1 ? b,0，d,1 3091，4081，共2个。 ? b,1，d,0 3190，4180，共2个。 共有:7+7+2+2=18个。 【答案】18。 85、【例3】下图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比如a,5×10,50，b,50×12,600。那么c方格内所填的自然数的末尾有_______个联系的0。 【难度级别】????? 【解题思路】10,2×5，找2的个数、5的个数，这是本题的突破口。 将每个数表示成因数2和因数5的形式，就可以知 道2的个数(2的指数)、5的个数(5的指数)。相乘后，指数是相加的。 方格c内有102个2、106个5，末尾0的个数，由个数少的决定，102个。 【答案】102。 86、【例5】已知九位数2007?12?2既是9的倍数又是11的倍数，那么这个九位数是多少, 【难度级别】????? 【解题思路】提供两种解法。设这个九位数为:A,2007a12b2。 方法一，根据99的特性求解。 9|A，11|A，9和11互质，所以:99|A。 99为2位一段的数段和系，99|2+00+7a+12+b2，99|7a+b2+14。 根据“位值原理”，7a+b2+14=(70+a)+(10b+2)+14=a+10b+86。 99|(a+10b+86)，a+10b+86,99k，0,a+10b+86,9+90+86,185,198, 只能k,1，a+10b+86,99，a+10b,13。 显然，只有一组解:b,1，a,3。A,200731212。 方法二，根据9和11的特性求解。 9|A，数字和是9的倍数，2+0+0+7+a+1+2+b+2,a+b+14,9k。 a+b,9k-14, a+b,4或者a+b,13。 11|A，采用1位数段差，(2+0+a+2+2)-(0+7+1+b),(a+6)-(b+8),11m。 a-b-2,0, a-b,2(a-b-2,11，a-b,13，不可能)。 或者:b-a+2,11，b-a=9。 a+b,4或者a+b,13 a-b,2或者b-a=9 只有一组解:b,1，a,3。A,200731212。 【答案】200731212。 87、【例6】对怎样的最小值n，数122„221被99„99整除, n个2 9个9 【难度级别】????? 【解题思路】此题难度较大。设A,122„221，B,99„99。 9个9 n个2 先找A的规律:121,11×11， 1221,11×111，12221,11×1111，„„，A,11×11„11。 n+1个 B,9×11„11。 9个1 n+1个1 A11，11...11B|A，,，因为11和9互质，所以:9×11„11整除11„11。 B9，11...11 9个1 n+1个 9个1 这样，11„11的1必须是9个1为一段，每一段除以11„11后商1个1; 9个1 n+1个 又由于能被9整除，至少需要商9个1，才能构成数字和9，至少有9段，共有9×9,81个1(这2个9，1个表示9段，1个表示每一段有9个1)。 n+1,81，n,80。 【答案】80。 88、【例7】将数字4、5、6、7、8、9各使用一次，组成一个被667整除的六位数，那么这个六位数除以667的结果是_______。 【难度级别】????? 【解题思路】此题为沈强老师所出题目的演化版本(变简单的)。 看到667，想到667×3,2001，考虑“坐椅子”。 设这个六位数为ABCDEF。 4+5+6+7+8+9,39，39能被3整除，所以ABCDEF能被3整除，又因为ABCDEF能被667整除，所以ABCDEF能被2001整除(3×667,2001)，这个六位数是DEF通过坐002001的椅子坐出来的。 ABCDEF,DEF×2001，ABC,DEF×2。 4,9之间的数字，三位数×2还是三位数，D只能是最小的4，E最小是5，E×2必定进位，所以A,9，剩余5、6、7、8，只有8×2可以得到6，F,8，C,6，余下，E,7，B,5。478×2,956，六位数为:956478。 956478?667,478×2001?667,478×3,1434。 【答案】1434。 89、【例8】如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍。那么，这个五位数的前两位的最大值是_______。 【难度级别】????? 【解题思路】只有一个数25，本题就从这个25入手。2个“5”确定后剩下的基本就是尝试了。 设这个五位数为ABCDE，则A×B×C×D×E,25×(A+B+C+D+E)。 从这个等式知道，五个数字A、B、C、D、E都,0。 等式右边有个25，25,5×5，所以等式左边的A、B、C、D、E中至少有2个5，不妨设:D,5，E,5(设其他的也一样，因为这5个数字是对等的)。 A×B×C×5×5,25×(A+B+C+5+5)，A×B×C,A+B+C+10。 求前两位的最大值: (1)先尝试A,9: 9×B×C,9+B+C+10，9BC,B+C+19，9|(B+C+19)。 BC,3，B+C+19,27，B+C,8，无解; BC,4，B+C+19,36，B+C,17，无解。 (2)再尝试A,8: 8×B×C,8+B+C+10，8BC,B+C+18，8|(B+C+18)。 BC,3，B+C+18,24，B+C,6，无解; BC,4，B+C+18,32，B+C,14，无解。 (3)再尝试A,7: 7×B×C,7+B+C+10，7BC,B+C+17，7|(B+C+17)。 BC,3，B+C+17,21，B+C,4，B,1，C,3; BC,4，B+C+17,28，B+C,11，无解。 所以，这个五位数包含数字:7、1、3、5、5，这5个数字是对称的，所以五位数最大是75531，前两位的最大值是:75。 【答案】75。 8A、【学案1】(1)从1,3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除, (2)从1,3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除, 【难度级别】????? 【解题思路】(1)每4个数就有1个能被4整除，3998?4,999„2，999个。 (2)设各位数字之和能被4整除的数为abcd。 b、c、d确定后，(b+c+d)?4的余数就确定了。 (b+c+d)?4余0，a取0，(a+b+c+d)就可以被4整除; (b+c+d)?4余3，a取1，(a+b+c+d)就可以被4整除; (b+c+d)?4余2，a取2，(a+b+c+d)就可以被4整除; (b+c+d)?4余1，a取3，(a+b+c+d)就可以被4整除。 对于每种余数，a都是唯一确定的。b、c、d各有10种取值(0,9)，a有1种取值，10×10×10×1,1000。 3999不在所取数之列(因为b、c、d都取9，9+9+9,27，?4余3，a取1，数为1999)，但是0000在所取数之列，去掉，1000,1,999。 【答案】999，999。 8B、【学案2】如图，把1,9这9个数字放在一个圆圈上。请在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(比如在7和8之间剪开，就形成了826543197和791345628这两个九位数)。如果要求剪开后所得的两个九位数的差能被396整除，那么可以从哪两个数字之间剪开, 82【难度级别】????? 76【解题思路】396=4×9×11，分别考察9、4、11的整除特性。 95 (一)、考察被9整除 1431,9这9个数字的数字和为45，剪开形成的两个九位数 都能被9整除，两个九位数的差当然也可以被9整除。 (二)、考察被4整除 两个九位数的差能被4整除，首先要保证差是偶数，有5个，再考察差的末2位。 7、9剪开，„287-„319=„68，4|68; 9、1剪开，„431-„879=„52，4|52; 1、3剪开，„791-„543=„48，4|48; 6、2剪开，„782-„456=„26，4不能证26; 2、8剪开，„562-„978=„84，4|84。 (三)、考察被11整除 因为这两个九位数的数字顺序是相反的，可以证明，这两个九位数的差一定是11的倍数，证明如下: ABCDEFGHI-IHGFEDCBA ,100000000(A-I)+(I-A)+10000000(B-H)+10(H-B) +1000000(C-G)+100(G-C)+100000(D-F)+1000(F-D) ,99999999(A-I)+9999990(B-H)+999900(C-G)+99000(D-F) ,11×9×[1010101(A-I)+101010(B-H)+10100(C-G)+1000(D-F)] 可以看出，两个九位数的差是11的倍数(也是9的倍数)。 例如:7、9剪开，913456287，782654319，913459,130801968，(1+0+0+9+8)-(3+8+1+6),18,18,0，能被11整除。 2、8剪开，879134562，265431978，879138,613702584，(6+3+0+5+4)-(1+7+2+8),18,18,0，能被11整除。 (四)、结论 第(二)步的“7、9之间”、“9、1之间”、“1、3之间”、“2、8之间” 剪开 后所得的两个九位数的差都能被396整除，四个结果，都满足题意。 【答案】7、9之间，9、1之间，1、3之间，2、8之间。 8C、【学案3】把数字1,9各使用一次，组成一个被555667整除的9位数，这个9位数是_______。 【难度级别】超????? 【解题思路】此题为沈强老师所出的题目，例7是它的简化版本。 设这个九位数为ABCDEFGHI。 1+2+3+4+5+6+7+8+9,45，45能被9整除，所以ABCDEFGHI能被9整除，又因为ABCDEFGHI能被555667整除，所以ABCDEFGHI能被5001003整除(9×555667,5001003),这个九位数是DEF通过坐005001003的椅子坐出来的。 ABCDEFGHI,DEF×5001003; ABC,DEF×005，DEF,DEF×001，GHI,DEF×003。 问题转变为求数字迷:DEF×5,ABC，DEF×3,GHI。 第一步，确定D和C 1,9之间的数字，三位数×5还是三位数，D只能是1。C只能是5，F是3/7/9。1EF×5,AB5,1EF×3,GHI。 第二步，确定F 如果F,3，I,9，3×5,15，E不能是偶数(E是偶数，E×5得到个位是0，加15进上来的1，B,1，与D,1重复)，只剩下一个奇数7，E,7，E×3,21，H,1，与D,1重复。 如果F,7，F×3,21，I,1，与D,1重复。 所以，F,9。1E9×5,AB5,1E9×3,GH7。 第三步，确定E，得出结果 已经使用了1、5、7、9，剩余3、2、4、6、8。 E最小是2，E×5必定进位，所以A?6。如果A,8，E×5需要进位3，所以E,6，169×5,845，但是169×3,507，G和H不满足。 因此，A,6，E×5需要进位1，E,3或者2。如果E,3，139×5,695，则B,9与F,9重复。只能E,2，129×5,645，129×3,387。 当然，这一步，也可以对E逐个尝试剩余的3、2、4、6、8，只有2有解，其余的3、4、6、8都有矛盾(E,3，得到H,1矛盾;E,4，得到H,4矛盾;E,6，得到H,0矛盾;E,8，得到G,5矛盾)，这个方法思路更简单。 这个九位数是:ABCDEFGHI,645129387。 【答案】645129387。 8D、【学案4】老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号:1、2、„、31。如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”。从这31位同学中至少需要选出_______人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”。 【难度级别】超????? 【解题思路】09年迎春杯高年级复赛试题，难度很大。没想到会按k的取值全部求解，也没有想到画关系图。 ak 设a、b(a,b)两个编号的同学是“好朋友”，那么ab,k(a+b)，则b,。 a,k k,2时，(a,b)有(3,6); k,3时，(a,b)有(4,12); k,4时，(a,b)有(5,20)、(6,12); k,5时，(a,b)有(6,30); k,6时，(a,b)有(8,24)、(9,18)、(10,15); k,8时，(a,b)有(12,24); k,10时，(a,b)有(15,30); k,12时，(a,b)有(20,30)、(21,28); 则全部同学相互之间的关系如图(其余31,15,16名学生未列)。 关系图可分为不关联的3部分，其中包含11人的部分最多可以选出6名互相不是“好朋友”的同学，包含2人的两个部分各可选出1人互相不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出16+6+1+1,24人互相不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，24+1,25，至少应选出25人。 下面这个答案是另外一些机构给出的，其中有错误，我已经纠正: 先找出所有好朋友的组合，再根据最不利原则得到答案。 假设两位同学的编号是A和B，记(A,B)=d、A=ad、B=bd，则有(a,b)=1。 如果(A+B)|AB，则(ad+bd)|(ad×bd)，即(a+b)|abd，而(a+b,a)=1，(a+b,b)=1，因此(a+b)|d，这样所有“好朋友”的编号可以按以下方式得到:任取两个互质的正整数，将它们同时乘以它们的和的某个倍数(倍数就是d，A=ad，B=bd)。 按此方法可以得到全部12对“好朋友”: ,a,b,=,1,2,:d=(1+2)×1=3，,A,B,={3,6}; d=(1+2)×2=6，,A,B,={6,12}; d=(1+2)×3=9，,A,B,={9,18}; d=(1+2)×4=12，,A,B,={12,24}; d=(1+2)×5=15，,A,B,={15,30}; ,a,b,=,1,3,:d=(1+3)×1=4，,A,B,={4,12}; d=(1+3)×2=8，,A,B,={8,24}; ,a,b,=,1,4,:d=(1+4)×1=5，,A,B,={5,20}; ,a,b,=,1,5,:d=(1+5)×1=6，,A,B,={6,30}; ,a,b,=,2,3,:d=(2+3)×1=5，,A,B,={10,15}; d=(2+3)×2=10，,A,B,={20,30}; ,a,b,=,3,4,:d=(3+4)×1=7，,A,B,={21,28}。 这12对包含15人，15人之间的关系如图(其余31,15,16名学生未列)。 关系图可分为不关联的3部分，其中包含11人的部分最多可以选出6名互相不是“好朋友”的同学，包含2人的两个部分各可选出1人互相不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出16+6+1+1,24人互相不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学 是“好朋友”，24+1,25，至少应选出25人。 【原答案找出12对好朋友后，不是通过关系图寻找最不利的，答案的那个地方也有错误，应该找8个最不利，答案说7个，并且列的那8个有2个是错误的(12和30)，我感觉还是关系图明显，所以本解法前半部分保留原答案的并细化，后半部分采用上一种解法的】 【答案】25。 8E、【补充1】至少含有1个“6”并且是3的倍数的3位数有多少个, 【难度级别】????? 【解题思路】本题为荆晨玮老师补充。 至少含有1个“6”，有1个“6”、2个“6”、3个“6”，并且有重复，不好计算，可以反向思考:全部,不含“6”的。 所有3的倍数的3位数:按照余数考虑，首位有9种可能，十位有10种可能，个位有10种可能，对于确定的十位和个位，其数字和除以3的余数就确定，首位可以补齐整除3，有9?3=3种可能。10×10×3,300。(当然也可以:999-100+1,900，900?3,300) 不含“6”的3的倍数的3位数:按照余数考虑，首位有8种可能，十位有9种可能，个位有9种可能，对于确定的首位和十位，其数字和除以3的余数就确定，个位可以补齐整除3，有9?3=3种可能。8×9×3,216。 300,216,84。 【答案】84。 8F、【补充2】N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每一个数字整除，则N的最大值是_______。 【难度级别】????? 【解题思路】先排除。0不能做除数，N不含0。 如果N含5，N能被5整除，5必须在末位，5在末位就是奇数，则所有的 偶数数字2、4、6、8就都不能被整除，这样就会排除掉2、4、6、8，排除的数字太多，位数就是少，数就太小了。因此，排除5。 1+2+„+9,45，9|45，排除了5，就必须排除4，才能9|N。 剩余数字9、8、7、6、3、2、1，尽可能大，N,9876321，再进行适当调整数字位置。 被2整除，必须是偶数，1、2调整一下。45,9,36，满足:3|N、9|N，是偶数、能被3整除，就能被6整除，只剩余8、7。整除8看末3位，正好8|312。9876312不能整除7，调整一下6、7的位置，7|9867312。 【答案】9867312。 8G、【作业答案】作业题的难度不大。第2、8题具有??难度;第5、7题具有3???难度;第6题(1082??被12整除末两位有多少种情况)，是末两位，采用试除法，只有?难度，如果采用代数方法也能求，但是难度就大多了(a+b+11=3k,10a+b=4m);其他题目比较简单。 (1)5 (2)8 (3)7 (4)8 (5)5438 (6)8 (7)7 (8)64。 第九讲 工程问题 搞清楚3个量:工作总量、工作效率、工作时间。 常用的解题方法:方程法、鸡兔同笼法、巧用“1”法、量化总量法(设总量的份数)、列表法。 巧用“1”法是解决工程问题常用的方法，也就是工程法。一定要掌握其要点，把工程总量看出1，有了时间，时间的倒数就是工作效率。这种方法，使得大多数工程类题目做起来简单了许多。本讲题目，大多采用工程法。 901、【例1】一项工程，甲、乙合作需要20天，乙、丙合作需要15天，由乙单独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天, 【难度级别】????? 【解题思路】此题可以采用“设总份”的方法，给出工程法。 111设工程为“1”，则乙效率:，甲、乙效率:，乙、丙效率:。 301520 111111甲效率:-,，丙效率:-,。 306015303020 1111甲、乙、丙合作的效率:++,，时间,12。 60303012 【答案】12。 902、【例2】一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天，问甲做了几天, 【难度级别】????? 【解题思路】工程法，鸡兔同笼法。 11甲效率:，乙效率:。 129 1鸡兔同笼法，假设都是乙做，×10。 9 111 甲:(×10-1)?(-),4。 1299 【答案】4。 903、【例3】有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则 丙帮甲_______小时，帮乙_______小时。 【难度级别】????? 111【解题思路】工程法。甲、乙、丙的效率分别是:、、。 1467 111213个人共同完成2个仓库，时间为:(1+1)?(++)=小时。 14467 12117丙帮甲:(1-×)?=小时; 41464 121172177丙帮乙:(1-×)?=小时(或:-=)。 41447242 77【答案】，。 42 1904、【补充1】B仓库比A多，搬运A仓库，甲需20天，乙需24天，丙需 4 30天。甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，后转向帮乙搬运，最后两个仓库同时搬完。丙帮助甲、乙各搬运了几天, 【难度级别】????? 【解题思路】工程法，此题与例3的不同是工程量不一样。 51设A为“1”，则B为(B比甲多)。 44 111 甲、乙、丙的效率分别是:、、。 302024 5111 3个人共同完成2个仓库，时间为:(1+)?(++)=18天。 3042024 11 丙帮甲:(1-×18)?=3天; 3020 511 丙帮乙:(-×18)?=15天(或:18-3=15天)。 30424 【答案】3，15。 905、【补充2】搬运A仓库，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有更大的B、C两个仓库(B,C)，甲在B仓库，乙在C仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，后转向帮乙搬运，最后两个仓库同时搬完，共用时16小时。丙帮助甲搬运了几小时, 【难度级别】????? 【解题思路】工程法，此题与例3的不同是工程量不一样，而且工程量没有给出，但是给出了完成时间，工程量是可以计算出来的。 111设A为“1”，甲、乙、丙的效率分别是:、、。 101215 1113个人共同完成B、C两个仓库，(++)×16=4，B,2，C,2。 101215 11丙帮甲:(2-×16)?=6小时。丙帮乙:16-6=10小时。 1015 【答案】6。 906、【例4】一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元;若请乙工程队单独做此项工程需6个月完成，每月耗资5万元。 (1)问甲、乙两工程队合作需几个月完成,耗资多少万元, (2)现要求最迟5个月完成此工程，请设计一种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，既保证按时完成任务，又尽量节省资金。 【难度级别】????? 【解题思路】工程法。设工程量为“1”。第2问实际是一次函数的最值问题。 11 (1)甲效率:，乙效率:。 46 11512甲、 乙合作的效率:+,，需要时间:,2.4(个月); 12546 耗资:(9+5)×2.4,33.6(万元)。 11(2)假设甲做x个月、乙做y月，x?5，y?5，则有:x+y,1。 46 3x+2y,12，3x,12-2y。 耗资为:9x+5y,3(12-2y)+5y,36-y，要想耗资最小，需要y最大，而y 2的最大值为5，36-y,36-5,31。此时，3x,12-2y,12-2×5，x,。 3 2【答案】2.4，33.6;方案:甲做个月、乙做5个月，最小耗资31万元。 3 907、【例5】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满;乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满, 【难度级别】????? 【解题思路】工程法，采用“分组配套”。 11设水池注水量为“1”，则甲、乙效率:，乙、丙效率:。 54 221 乙和甲凑，乙和丙凑，2V+2V=，2V+2V==。 甲乙丙乙 542 6V+2V+2V=2V+(2V+2V)+( 2V+2V)=1， 乙甲丙乙甲乙丙乙 211 V=(1--)?2=，乙单独开需20小时。 乙 5220 【答案】20。 3 908、【例6】一项工程，甲、乙合作12小时可以完成;若第1小时甲做，第 5 2小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完;若第1小时乙做，第2小 1时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时;那么这项工程由甲单独 3 做，要用多少小时才能做完, 【难度级别】????? 【解题思路】找两种轮流之间的相等关系。 “甲乙甲乙„”轮流，不能以“乙”结尾，如果以“乙”结尾，“乙甲乙甲„” 1轮流的时间就相等，就不会多出来小时，所以“甲乙甲乙„”轮流是以“甲” 3 结尾的。 每一组的“甲乙”和“乙甲”时间相等，完成的工作量也相等(因为都是 1甲乙的效率和)，“甲乙„”最后一个“甲”与“乙甲„”最后的“乙+甲” 3 1完成工作量相等，V,V+V，2V,3V，这里的V、V指的是效率，甲乙甲甲乙甲乙 3 所以甲乙的效率比是，V:V,3:2。 甲乙 35531甲乙效率和:1?12,，甲的效率:×,，甲单独做21小时。 63632155 【答案】21。 909、【例7】一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，从甲管注入18吨水时水箱已满;若只开乙、丙两管，从乙管注入27吨水时水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水, 【难度级别】????? 【解题思路】设甲管每分钟注水量为1，则乙管每分钟注水量为2。 甲时间:18?1=18，乙时间:27?2=13.5。 根据水箱容量列方程，18+18V,27+13.5V，得到:V,2。 丙丙丙 水箱容量:18+18V,18+18×2,54(吨)。 丙 【答案】54。 910、【例8】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成;如果由第一、三、五小队合干需92天才能完成;如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成;如果由第一、三、四小队合干需要18天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成此项工程, 【难度级别】????? 【解题思路】列表法。每个小对有2次的也有3次的，都补成3次，恰好缺的是二、四、五，时间是8天。 一 二 三 四 五 时 效 1 1 1 12 1/12 1 1 1 9 1/9 1 1 1 8 1/8 1 1 1 18 1/18 1 1 1 8 1/8 根据时间，计算出效率。 111111五个小队一起干，效率是:(++++)?3,，需要6天。 12109886 【答案】6。 911、【学案1】甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当 11 甲完成任务的时，乙完成任务的还差40个。这时乙开始提高工作效率， 22 又用了7.5个小时完成了全部加工任务。这时甲还剩下20个零件没完成。求乙提高工效后每小时加工零件多少个, 【难度级别】????? 【解题思路】乙7.5个小时比甲多加工了:40+20,60个零件。 乙的效率比甲的效率多:60?7.5,8(个/小时)。 甲的效率:40，乙的效率:40+8,48(个/小时)。 【答案】48。 912、【学案3】甲、乙、丙三人做一件工作，原 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完;若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天;若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天。已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成, 【难度级别】????? 【解题思路】与例6同类型题，例6是两人轮流，此题三人轮流。 甲乙丙„，乙丙甲„，丙甲乙„。“甲乙丙„”不能以丙结束，有两种情况: 情况一，“甲乙丙„”以“甲乙”结束 甲乙丙|„|甲乙 1 乙丙甲|„|乙丙甲 2 1 丙甲乙|„|丙甲乙 2 11 V+V,V+V+V,V+V+V 甲乙乙丙甲丙甲乙 22 得到V,V，与“三个人的工作效率各不相同”不符，此种情况无解。 甲乙 情况二，“甲乙丙„”以“甲”结束 甲乙丙|„|甲 1乙丙甲|„|乙丙 2 1丙甲乙|„|丙甲 2 11V,V+V,V+V 甲乙丙丙甲 22 3得到V,2V，V,V，V:V:V,4:3:2。 甲丙乙丙甲乙丙 2 119甲的效率:，甲乙丙的效率和:?4×(4+3+2),，三人一起需要 101040 40的时间:天。 9 40【答案】。 9 913、【学案4】甲、乙两个工程对分别负责两个相同的工程，晴天，甲完成工 程需要10天，乙完成工程需要16天;雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天的 30%和80%。实际情况是两队同时开工、同时完工。在施工期间，下雨____天。 【难度级别】????? 11 【解题思路】晴天效率，甲:，乙:。 1016 1311 雨天效率，甲:×30%,，乙:×80%,。 101610020 设晴天x天，下雨y天，则 13 x+y,1 10100 11x+y,1 解得，y,12。 1620 【答案】12。 914、【作业3】有同样的仓库A和B，搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几个小时, 【难度级别】????? 111【解题思路】工程法，与例3相同。甲、乙、丙的效率分别是:、、。 101215 1113个人共同完成2个仓库，时间为:(1+1)?(++)=8小时。 101215 11丙帮甲:(1-×8)?=3小时;丙帮乙:8-3=5小时。 1015 【答案】3，5。 915、【作业4】一项工程，如果由甲、乙、丙共同完成，45天可以完成，需付工程款2700元;如果由甲、乙、丁共同完成，40天可以完成，需付工程款2800元;如果由乙、丙、丁共同完成，36天可以完成，需付工程款2880元;如果由甲、丙、丁共同完成，30天可以完成，需付工程款2700元。现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元, 【难度级别】????? 【解题思路】设工程总量为“1”，按照效率、每天工程款分别看: 1甲+乙+丙, 甲+乙+丙,2700?45,60 45 1甲+乙+丁, 甲+乙+丁,2800?40,70 40 1乙+丙+丁, 乙+丙+丁,2880?36,80 36 1甲+丙+丁, 甲+丙+丁,2700?30,90 30 111113四人的效率和:(+++)?3,，进而求得每人的效率: 45363036040 1甲:-=，乙:-=，丙:-=， 12040 1311丁:-=。 3604572 那么完成工程要的天数:甲:120，乙360，丙:90，丁:72。 四人每天的工程款之和:(60+70+80+90)?3,100，进而求得每天工程款: 甲:100-80=20，乙:100-90=10，丙:100-70=30，丁:100-60=40。 从“确保工程要在100天内完成”,只能选择丙(90天)、丁(72天)，他们需要的工程款:丙:90×30,2700元，丁:72×40,2880元，所以选择丙(90天，2700元)。 【答案】丙，2700。 916、【作业5】一项工程，甲单独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成。两队合做2天后由乙单独做，还要几天才能完成, 【难度级别】????? 【解题思路】甲3天的乙要4天，这是个效率比，可以得到甲6天乙需要8 11天，甲、乙的效率分别是、。 68 11110 [1-(+)×2]?,。 3688 10【答案】。 3 917、【作业6】一项工程，乙单独做要17天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成;如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问甲单独做需要几天, 【难度级别】????? 【解题思路】与例6类同。找两种轮流之间的相等关系。 “甲乙甲乙„”轮流，不能以“乙”结尾，如果以“乙”结尾，“乙甲乙甲„” 1轮流的时间就相等，就不会多出来小时，所以“甲乙甲乙„”轮流是以“甲” 3 结尾的。 每一组的“甲乙”和“乙甲”时间相等，完成的工作量也相等(因为都是 1甲乙的效率和)，“甲乙„”最后一个“甲”与“乙甲„”最后的“乙+甲” 2 1 完成工作量相等，V,V+V，V,2V，这里的V、V指的是效率。 甲乙甲甲乙甲乙 2 11 甲是乙效率的2倍，甲用时是乙的，17×,8.5(天)。 22 【答案】8.5。 918、【作业7】打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规 定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙单独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两人合做需要几天完成, 【难度级别】????? 【解题思路】合作的甲做的2天，如果由乙做，需要3天完成(乙做超3天)。 2V甲,3V乙，V甲:V乙,3:2，时间与效率成反比，甲、乙单独做时所需的时间比为2:3。 单独做乙比甲多用2+3,5天(甲提前2天，乙超过3天)，这5天就是时间比2:3中多的1份(3,2,1)，所以甲单独做需要2×5,10天，乙单独做需要3×5,15天。 11甲乙合作需要的天数:1?(+),6(天)。 1015 【答案】6。 919、【作业8】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后， 2再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的。如果这条水渠由甲乙两队单独 5 挖，各需要多少天, 【难度级别】????? 【解题思路】工程法，采用“分组配套”。 1 设水渠工程总量为“1”，则甲、乙合作效率:。 30 121 乙和甲凑，乙4天和甲4天凑一起，完成×4，那么-×4就是乙 3030512天完成的(16,4,12)。 211111 乙的效率:(-×4)?12,，甲的效率:-,。 30453045905 甲单独需要90天，乙单独需要45天。 【答案】90，45。 920、【学案2】一袋大米，张飞吃了几天后换关羽吃。刘备在还剩半袋大米时也来帮忙吃，吃到还剩20%时离去，结果按计划如期吃完大米。关羽算了一下自己正好吃了半袋大米，仅由关羽接替张飞一直吃下去，将比计划推迟4天吃完。如果全有张飞一个人吃，则比计划提前8天吃完。已知关羽的饭量是刘备的2倍。原计划吃_______天。 20%50% 【难度级别】????? 张飞 40%10%20%20%关羽【解题思路】荆晨玮老师说，给上 10%4天刘备 个班讲孩子没听懂，所以本班没8天4天8天8天 刘备来刘备走讲，答案是我自己做的，供参考。 画出线段图，图中水平方向是时间轴(表示天数)，3个人的线段粗细表示饭量，百分比表示该时间段内吃掉大米的比例(仅代表实线部分)。 (1)刘备50%时来、剩20%走，说明关羽和刘备共同吃的是30%，因为关羽的饭量是刘备的2倍，所以刘备吃了10%，关羽吃了20%。 (2)从“仅由关羽接替张飞一直吃下去，将比计划推迟4天吃完”知道，刘备吃的10%关羽4天吃完，也就是10%关羽吃4天，那么20%关羽吃8天。刘备走后剩余的20%关羽也需要吃8天。 (3)从“关羽算了一下自己正好吃了半袋大米”知道，刘备来之前关羽吃了10%(50%-20%-20%,10%), 10%关羽需要吃4天。这样还可以计算出来张飞吃了40%(100%-50%-10%,40%)。 (4)从“如果全有张飞一个人吃，则比计划提前8天吃完”知道，关羽吃的 60%需要24天，而张飞吃这60%只需要12天(4+8+8-8,12)，所以，张飞的饭量是关羽的2倍。根据前面求的“10%关羽吃4天”，得出10%张飞吃2天，所以40%张飞吃8天。 (5)原计划的天数:8+4+8+8,28。 【答案】28。 第十讲 多人相遇与追及 1、画图，不同角色不同层、不同阶段不同色，不同速度不同型。 2、找差量，列等量，用比例，看整体。 3、速度路程成正比，时间路程成正比，速度时间成反比。 本讲终极法宝就是列方程，大多数题目都可以用方程求解。 1001、【例6】如图，一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是每秒钟10厘米，B的速度是每秒钟5厘米，C的速度是每秒钟3厘米。3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置, B【难度级别】????? 【解题思路】3只爬虫在同一位置，A,B、B,C、A,C这 C三种追上的情况选择两种分析就可以了。三等分点，间距:A90?3,30厘米。 A,B:速度差10,5,5，第一次追及时间:30?5,6(秒)，第二次及其以后，需要追及一圈才追上，90?5,18(秒)，追及时间是:6、24、42、60、78、„，即:6+18(n-1)，n为追上的次数。 B,C:速度差5,3,2，第一次追及时间:30?2,15(秒)，第二次及其以 后，需要追及一圈才追上，90?2,45(秒)，追及时间是:15、60、105、„，即:15+45(m-1)，m为追上的次数。 可以看到，60秒时，A,B，B,C，3者第一次在同一位置。下一次在同一位置:求18和45的最小公倍数，[18,45]=90，60+90,150秒，60秒以后每过90秒就会3者又在同一位置了。 此题如果考虑A,C，因10,3,7，计算过程中不是整数，复杂一些。 【答案】60。 1002、【例7】A、B、C、O四个小镇之间的道路如右图所示。其中A、O两镇相距20千米，B、O两镇相距30千米。某天甲、乙两人同时从B镇出发，甲到达O镇后再向A镇走，到达A镇后又立即返回，而乙到达O镇后直接向C行进。丙从C镇与甲、乙同时出发，在距离O镇15千米处与乙相遇。当丙到达O镇后又向A镇前行，在与O镇相距6千米的地方与甲相遇。已知甲、乙的速度比为8:9，求C、O两镇之间的距离。 A 丙N【难度级别】????? M C【O解题思路】画图，搞清楚两次相遇 时每个人的位置。采用列表法。 甲 第1次相遇:乙走了30+15,45乙B 千米，甲、乙的速度比为8:9，所以甲 甲 乙 丙 走了45?9×8,40千米，此时甲走到 第1次相遇 40 45 CO,15 AO段距O镇10千米处(40,30,10)。 第2次相遇 24 21 第2次相遇，丙走了15+6,21千米， 甲走了(20-10)+(20-6),24千米。两次相遇每人所走的路程见 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 。甲、丙 的路程比24:21,8:7，时间相同，所以甲、丙的速度比为8:7。 在第1次相遇中，时间相同，甲、丙的路程比也和速度比相同，为8:7， 408,， 8(CO-15),40×7，CO,50。 CO,157 【答案】50千米。 1003、【例8】A、B两地相距4800米，甲住在A地，乙和丙住在B地。有一天他们同时出发，乙、丙向A地前进，而甲向B地前进。甲与乙相遇后，乙立即返身行进，10分钟后又与丙相遇。第二天他们又是同时出发，只是甲行进的方向与第一天相反，但三人的速度没有改变，乙追上甲后又立即返身行进，结果20分钟后与丙相遇。已知甲每分钟走40米，求丙的速度。 【难度级别】????? 【解题思路】提供2种方法。 方法一，分析+方程 乙返身后与丙相遇，第二天20分钟，第1天是10分钟，时间是2倍关系，乙与丙速度和不变，所以相遇的路程是2倍关系;而这个路程是返身前乙追及丙产生的距离，乙与丙速度差不变，所以时间是2倍关系，即乙返身前的时间第二天是第一天的2倍。 设第一天乙返身前的时间是t、第二天乙返身前的时间是t，则t,2t。 1221 第一天乙甲相遇:(V+40)t,4800 乙1 第二天乙追及甲:(V-40)t,4800 乙2 可以求出:V,120，t,30，t,60。 乙12 再根据第一天乙、丙相遇，求丙的速度: 120×30,3600，120×10,1200，(3600,1200)?(30+10),60。 方法二，纯方程 设第一天乙返身前的时间是t、第二天乙返身前的时间是t，乙的速度是12V，丙的速度是V，则 乙丙 (V+40)t,4800 „„? 乙1 ,4800 „„? (V-40)t乙2 Vt,Vt,10(V+ V) „„? 乙1丙1乙丙 Vt,Vt,20(V+ V) „„? 乙2丙2乙丙 其解法也不难，从第?和第?个方程，很容易得出t,2t，再根据第?和21 第?个方程可以求出V、t、t，进而代入?求出V，V,60。 乙12丙丙 【答案】60米/秒。 1004、【学案2】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。如果甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，那么在____分钟或_____分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。 【难度级别】????? 【解题思路】有两种情况。 第一种情况，丙位于甲、乙之间，(6x+5x)-203=2×[203-(4x+5x)]，x=21。 第二种情况，甲位于丙、乙之间，(6x+5x)-203=2×[(4x+5x)-203]，x=29。这个方程也可以列成(甲是中点，乙-甲=甲+丙-203):6x-4x=(4x+5x)-203。 【答案】21，29。 1005、【学案3】如图，A、B、C、D四个球按顺时针方向均匀分布在周长48米的圆周上，分别以1米/秒、2米/秒、3米/秒、4米/秒的速度作顺时针运动。当有两个球碰到一起的时候，两个球相互交换速度。请问:从四个球同时 出发开始，经过多少秒第一次同时碰到一起,(不考虑球的半径) 【难度级别】????? A 【解题思路】理解“当有两个球碰到一起的时候两个球相互 D B 交换速度”这句话有一定的难度，可以理解成“速度不变， C 快球穿过慢球”。 可以考虑追上:C,A、D,B、D,A，四个球就在一起了，这是老师给出的;当然也可以最简单的考虑:D,A、D,B、D,C。48?4=12。 D,A:第1次，12?(4-1),4，第2次及以后，48?(4-1),16，4+16(k-1)，k为追上的次数，4、20、36、52、68、„„。 D,B:第1次，24?(4-2),12，第2次及以后，48?(4-2),24，12+24(m-1)，m为追上的次数，12、36、60、„„。 D,C:第1次，36?(4-3),36，第2次及以后，48?(4-3),48，36+48(n-1)，n为追上的次数，36、84、132、„„。 找到第一个相同的时间，是36秒。以后4个球再碰到一起，需要求16、24、48的最小公倍数，[16,24,48]=48，4球碰在一起的时间是:36+48q，q,0、2、3、„，例如第2次就是36+48,84秒。 【答案】36。 1006、【学案4】小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人。小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人。小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍。当他追上骑车人后，速度提高20%。结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地。小王、小李、骑车人的速度始终不变。骑车人从甲地出发是___点___分， 小张从甲地出发时是8点____分____秒。 【难度级别】超????? 【解题思路】这种题目需要理清条件。 小王:8点出发，8点15追上骑车人(用15分钟)，9点到，全程用时60分钟; 小李:8点15出发，8点30追上骑车人(用15分钟)，9点到，全程用时45分钟; 小张:8点???分出发，???追上骑车人(用???分钟)，追上骑车人之前速 55353度是V(1.25,)，追上之后速度是V(×120%,)，9点到，全程李李 44242 用时???分钟; 骑车人:???出发，8点15被小王追上，8点30被小李追上，???被小张追上，???到达，全程用时???分钟。 (一)先找四个人之间的速度关系 53小张和小李的速度关系，V,V，或者V,V。 张李张李 42 根据小王、小李的全程用时，可以求出小王和小李的速度关系:60 V,王 3 45 V，V,V。 李王李 4 根据小王、小李与骑车人的时间关系，可以求出小王、小李与骑车人的速度关系，小李与骑车人的追及路程就是小王15分钟走的路程:15 V，追及王 3 时间:15分钟，15(V,V),15 V,15×V，V,4V。 李骑王李李骑 4 33 V,V,×4V,3V。 王李骑骑 44 (二)求骑车人的出发时间 根据“小王8点出发，15分钟追上骑车人”和V,3V列出等式关系:王骑 15V,15V+tV，45V,15V+tV，45,15+t，t,30(分钟)，骑车人在8王骑骑骑骑骑 点之前30分钟从甲地出发，即7点30分。 (三)求小张的出发时间 小张追上骑车人变速，这个条件最复杂，根据这个条件来求解小张的出发时间。 假设从7点30分到小张出发之间的时间为a，则小张出发时，骑车人走的路程:aV，这个路程也就是追及路程，那么追及时间为:x,路程差?速度骑 551差,aV?(V-V),aV?(V-V),aV?(×4V-V),a。 骑张骑骑李骑骑骑骑 444 从骑车人出发，到小张到达乙地，共用时90分钟(7点30,9点)，从追 15上骑车人到小张到达乙地的时间为:y,90-a-a,90-a，根据小张的行程 44 53(等于全程，也等于小李的行程)列出等式:x(V)+y(V),45V。 李李李 42 155333a×+(90-a)×,45，a,57，分,36秒，7点30分+57分36 444255 秒,8点27分36秒。 这一步用a、x、y是可以列几个方程求解的，我是用算术方法来描述的。 (四)求出其他所有的未知量 这一步，不用做的，此处目的是把一开始分析的条件中的???都填上。 1 小张:8点27分36秒出发，8点42分(+得到)追上骑车人(用14.4 4 分钟)，9点到，全程用时32分24秒; 骑车人:7点30分出发，8点15被小王追上，8点30被小李追上，8点42分被小张追上。小王60分钟到达，V,3V，骑车人需要60×3,180分王骑 钟到达，7点30分+180,10点30分，骑车人 10点30分到达，全程用时180分钟。 【答案】7点30分，27分36秒。 1007、【作业6】如图，一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周三等分，3只爬虫A、B、C分别在这3个点上。它们同时出发，A、B按顺时针方向沿着圆周爬行，C按逆时针方向沿着圆周爬行。A的速度是每秒钟3厘米，B的速度是每秒钟1厘米，C的速度是每秒钟4厘米。3只爬虫出B 发后多少时间第一次到达同一位置, 【难度级别】????? C【解题思路】3只爬虫在同一位置，A,,C、B,,C、A,BA这三种相遇、追及的情况选择两种分析就可以了。三等 分点，间距:90?3,30厘米。 A,B:速度差3,1,2，第一次追及时间:30?2,15(秒)，第二次及其以后，需要追及一圈才追上，90?2,45(秒)，追及时间是:15、60、105、„，即:15+45(n-1)，n为追上的次数。 B,,C:速度和1+4,5，第一次相遇时间:30?5,6(秒)，第二次及其以后，需要一圈才相遇，90?5,18(秒)，相遇时间是:6、24、42、60、78、„，即:6+18(m-1)，m为相遇的次数。 可以看到，60秒时，A,B，B,,C，3者第一次在同一位置。下一次在同一位置:求18和45的最小公倍数，[18,45]=90，60+90,150秒，60秒以后 每过90秒就会3者又在同一位置了。 此题如果考虑A,,C，因3+4,7，计算过程中不是整数，复杂一些。 【答案】60。 1008、【作业7】如图，OA,OB,OC，甲、乙、丙三人分别在A、B、C三地，且三人的速度比为1:2:3。一天，三人商量在OA间的某地相遇，这样甲乙需要同时出发，而丙则可以晚出发10分钟，结果三人同时到达;第二天，三人商量在OB间的某地同时相遇，这样乙丙需要同时出发，而甲则需要提前出发。问:甲需要提前出发多少分钟, 乙B【难度级别】????? 甲AO【解题思路】设OA,S，设甲、乙、丙的速度分别是 每分钟1、2、3。 丙C第一天:设甲、乙走了x分钟，则 根据乙在OA上走的路程列出等式:S,1x,2x,S，得到3x,2S; 根据丙晚出发10分钟，丙在OA上走的路程列出等式:S,1x,3(x-10)-S，得到2x,S+15。 由以上2个方程，可以求出S,45，x,30。 第二天:设乙、丙走了y分钟，则 根据丙在OB上走的路程列出等式:S-2y,3y-S，得到5y,2S,90，y,18; 甲在OB上走了:S-2y,45,2×18,9，甲共走了:S+9,45+9,54。 甲的时间:54?1,54，甲需要提前:54,18,36(分钟)。 【答案】36。 1009、【作业8】甲、乙分别骑车从A地同时同地出发，甲骑自行车，乙骑三 轮车。12分钟后丙也骑车从A地出发去追甲。丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙。已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍。那么甲的速度是每小时_______千米。 【难度级别】????? 【解题思路】乙速度7.5千米/小时，丙速度15千米/小时。 设从甲、乙出发到丙追上甲的时间为x小时。 分析丙掉头后，丙与乙的相遇过程: 相遇时间:3?15,0.2，相遇路程:0.2×(7.5+15),4.5。 分析丙追上甲之前，丙与乙追及的过程: 15(x-0.2)-7.5x,4.5，x,1。 分析丙追上甲之前，丙与甲的追及过程: 路程:15(x-0.2),12，甲的速度:12?x,12?1,12。 感觉这题出的简单了，如果把条件改成“丙的速度是甲的2倍”难度就加大了: [x+3/(2V)]×7.5+3,2V(x-0.2),Vx，x,0.4 15解V是个一元二次方程，而且答案带无理数，V,(2)。如果适当,2 4 调整一下数据的话，也是可以给孩子做的。 【答案】12。 1010、【作业答案】(1)12 (2)16500 (3)7 (4)3 (5)950 (6)60 (7)36 (8)12 学员家长 Liqingzhou 2012.11.27