幻方解法论文

幻方解法论文 幻方法则 年 级:2012级 号:20124435027 学 名:夏永杰 姓 专 业:教育技术学 二零一三年六月 拉萨师范高等专科学校2012—2013学年下半年 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 欣赏课论文 授课教师:拉珍老师 学 生:信息技术系12教本班 姚毅、夏永杰、李国涛、普布 语文系12汉本班 张意、付再俊 论文题目:幻方法则(幻方解法) 幻方法则(幻方解法) 南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 的数学问题进行了详尽的研究。其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。 我们通常所说的幻方是平面和幻方。n阶幻方就是在n×n的方格中填上n^2【n的平方】个数，行、列和对角线的和值相等为完美幻方，行、列和值相等为不完美幻方。这一和值叫幻和值。 一个n阶幻方幻和值公式为: Nn=1/2xn(n2+1) 【注:n2是n的平方】 幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方，构成方法也不同。 【奇阶幻方】 一、Merzirac法生成奇阶幻方 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4„，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merzirac法生成的5阶幻方: 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步(数字按右上方顺序填入)，-Y跳步(如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写)。 其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左(右)跳步、上(下)跳步。简言之就是:始于上行正中央，逐步右上切莫忘，上出格来往下走，右出格来往左放，排重便往下格填，右上排重一个样。 对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。 【记住，跳步是X+Y斜步的X(或Y)相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就为向左(或向下)一步;左下方向斜步，跳步就为向右(或向上)一步;等等等等】 二、loubere法生成奇阶幻方 在居中方格上一格内填入 1,依次向右上方填入2、3、4„，如果右上方已有数字，则向上移两格继续填写。如下图用Loubere法生成的5阶幻方: 23 6 19 2 15 10 18 1 14 22 17 5 13 21 9 4 12 25 8 16 11 24 7 20 3 上述loubere法可以记作X+Y斜步(数字按右上方顺序填入)，2Y跳步(如果右上方已有数字或出了对角线，则向上移二格继续填写)。对于X+Y斜步相应的跳步可以为2X，2Y。 【记住，跳步是X+Y斜步的X(或Y)相同方向即可。】 2Y跳步，则在居中的方格向上一格放1里，按上斜步，2Y跳步的方法构成幻方。 -2Y跳步，则在居中的方格向下一格放1里，按下斜步，-2Y跳步的方法构成幻方。 2X跳步，则在居中的方格向右一格放1里，按右斜步，2X跳步的方法构成幻方。 -2X跳步，则在居中的方格向左一格放1里，按左斜步，-2X跳步的方法构成幻方。 三、horse法生成奇阶幻方 对于所有的奇阶幻方，在第一行居中的方格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4„，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格;若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格;如果落步格已有数字， 则向下移一格继续填写。如下图用Horse法生成的5阶幻方: 23 12 1 20 9 4 18 7 21 15 10 24 13 2 16 11 5 19 8 22 17 6 25 14 3 n阶奇阶幻方，若n为不是3的倍数，那么在任意一格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4„，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格;若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格;如果落步格已有数字， 则向上移一格继续填写。如下图用Horse法生成的5阶幻方: 1 14 2 10 18 25 8 16 4 12 19 2 15 23 6 13 21 9 17 5 7 20 3 11 24 【偶阶幻方】 偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方。一个n阶幻方，当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方;当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等;当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方，如6阶、10阶、14阶等。 一、双偶幻方的解法 能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等，双偶幻方用Spring法、Strachey法生成。 1、Spring法生成双偶幻方: 方法就是两句话:顺序填数，以中心点对称互换数字。 将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。 第一步，先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、„„、n;即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、„„、2n;„„„„n^2【n的平方】。 简单地说，就是1放在幻方的任意一个角格，然后按同一个方向按顺序依次填写其余数。 以8阶幻方为例，顺序填数。如下所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 等等等等，共有8种方法。(以下我只以一种为例讲解。其余方法相同) 第二步，进行对称交换。 对称交换的方法有两种: 方法一;将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换;将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。(保证不同时为奇或偶即可。) 64 2 62 4 5 59 7 57 9 55 11 53 52 14 50 16 48 18 46 20 21 43 23 41 25 39 27 37 36 30 34 32 33 31 35 29 28 38 26 40 24 42 22 44 45 19 47 17 49 15 51 13 12 54 10 56 8 58 6 60 61 3 63 1 或是 1 63 3 61 60 6 58 8 56 10 54 12 13 51 15 49 17 47 19 45 44 22 42 24 40 26 38 28 29 35 31 33 32 34 30 36 37 27 39 25 41 23 43 21 20 46 18 48 16 50 14 52 53 11 55 9 57 7 59 5 4 62 2 64 完成幻方，幻和值为260。 方法二;将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上(或非对角线上) 的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。 下图为将各4阶幻方 中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换，完成幻方， 幻和值260。 64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角 数字进行交换，完成幻方，幻和值260。(上图的逆顺序填入该图) 1 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64 2、Strachey法生成双偶幻方 第一步，将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方。 A B C D A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方;B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方;C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方;D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方; 将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方。将其等分为四个2×2阶偶数幻方，即4阶偶数幻方。 16 2 3 13 48 34 35 45 5 11 10 8 37 43 42 40 9 7 6 12 41 39 38 44 4 14 15 1 36 46 47 33 64 50 51 61 32 18 19 29 53 59 58 56 21 27 26 24 57 55 54 60 25 23 22 28 52 62 63 49 20 30 31 17 第三步，在A每行取m个小格(一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可)，将其与D相应方格内交换;B与C以相同方法进行。 对于8阶幻方，A每行取2个小格(一侧对角线格为必换格，其余1格只要不是另一侧对角线格即可)，要与D相应方格内交换;C与B以相同方法进行。 最简单的方法就是:A任意2列，与D相对应的2列互换，C任意2列，与B相对应的2列互换即可，完成幻方，幻和值260。 64 50 3 13 48 34 19 29 53 29 10 8 37 43 26 24 57 55 6 12 41 39 22 28 52 62 15 1 36 46 31 17 16 2 51 61 32 18 35 45 5 11 58 56 21 27 42 40 9 7 54 60 25 23 38 44 4 14 63 49 20 30 47 33 或是 64 50 3 13 32 18 35 45 53 59 10 8 21 27 42 40 57 55 6 12 25 23 38 44 52 62 15 1 20 30 47 33 16 2 51 61 48 34 19 29 5 11 58 56 37 43 26 24 9 7 54 60 41 39 22 28 4 14 63 49 36 46 31 17 二、单偶幻方的解法 将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。 A B C D A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方;B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方;C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方;D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方; 【注:(2m+1)2是(2m+1)的平方，以下同】 8 1 6 26 19 24 3 5 7 21 23 25 4 9 2 22 27 20 35 28 33 17 10 15 30 32 34 12 14 16 31 36 29 13 18 11 在A每行取m个小格(中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可)，也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换;B与C任取m-1列相互交换。 6阶幻方就是4*1+2，那么m就是1。在A中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D相应方格内交换;B与C接近右侧m-1列相互交换(6阶幻方m-1=0，则不用互换)。如下图用Strachey法生成的6阶幻方: 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 每一行，每一列，对角线的和值(称为幻和值)为111。 一个n阶幻方幻和值公式为: Nn=1/2xn(n2+1) 【注:n2是n的平方】 N6=1/2x6x(36+1)=111