初中数学动点问题例题集

初中数学动点问题例题集 动点问题专题训练 ?ABCABAC,,10BC,81、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点( DAB(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动( ?若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒 ?BPD后，与是否全等，请说明理由; ?CQPA ?若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q ?BPD的运动速度为多少时，能够使与全等, ?CQPD Q (2)若点Q以?中的运动速度从点C出发，点P以原来 ?ABC的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运B C P ?ABC动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇, t,1解:(1)??秒， 厘米， ?BPCQ,,，,313 AB,10DAB?厘米，点为的中点， BD,5?厘米( 又?厘米， PC,,,835PCBCBPBC,,,，8?厘米， PCBD,?( ABAC,又?， ，,，BC?， ?( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (4分) ???BPDCQP vv,??， ?， BPCQ,PQ ，,，BC又?，，则， ???BPDCQPBPPCCQBD,,,,45， BP4Pt,,?点，点运动的时间秒， Q33 CQ515?厘米/秒( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (7分) v,,,Q4t4 3 Px(2)设经过秒后点与点Q第一次相遇， 15xx,，，3210由题意，得， 4 1 80解得秒( x,3 80?点共运动了厘米( P，,3803 8022824,，，?， ?点、点在边上相遇， PABQ 80?经过秒点与点第一次在边上相遇( ????????????????????????????????????????????????(12分) PABQ3 3AB、O2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，yx,,，6PQ、4 OA同时到达点，运动停止(点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，AQ O点P沿路线?B?A运动( AB、(1)直接写出两点的坐标; SS(2)设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系?OPQQtt式; 48S,P(3)当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四OPQ、、5 M边形的第四个顶点的坐标( y B 解(1)A(8，0)B(0，6) ?????????????????? 1分 P ？OAOB,,86，(2) ？,AB10 x 8Q O A OA,8点由到的时间是(秒) Q？1 610，P,2点的速度是(单位/秒) ?? 1分 ？8 OB??t3P当在线段上运动(或0)时， OQtOPt,,，2 2St, ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 38,t?PBA当在线段上运动(或)时，, OQtAPtt,,，,,,，6102162 PDAP486,tPDOA,D,PD,如图，作于点，由，得， ?????????????????????????????????? 1分 BOAB5 13242？,，,,，SOQPDtt?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 255 (自变量取值范围写对给1分，否则不给分() 824,,(3)??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 P，,,55,, 2 ,82412241224,,,,,, ???????????????????????????????????????????????????????????? 3分 IMM，，，，，,,123,,,,,,555555,,,,,, 3如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=,2x,8分别与x轴，y轴相交于A， B两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半 径作?P. (1)连结PA，若PA=PB，试判断?P与x轴的位置关系，并说明理由; (2)当k为何值时，以?P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形, 解:(1)?P与x轴相切. ?直线y=,2x,8与x轴交于A(4，0)， 与y轴交于B(0，,8)， ?OA=4，OB=8. 由题意，OP=,k， ?PB=PA=8+k. 222在Rt?AOP中，k+4=(8+k)， ?k=,3，?OP等于?P的半径， ??P与x轴相切. (2)设?P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P 在线段OB上时,作PE?CD于E. 13??PCD为正三角形，?DE=CD=，PD=3， 22 33 ?PE=. 2 ??AOB=?PEB=90?， ?ABO=?PBE， ??AOB??PEB， 33 AOPE42,,=即?， ABPBPB45 3 315? PB,,2 315?， POBOPB,,,,82 315?， P(0,8),2 315?. k,,82 315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,,,8)， 2 315?k=,,8， 2 315315?当k=,8或k=,,8时，以?P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三22 角形是正三角形. 4(09哈尔滨) 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(,3，4)， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H( (1)求直线AC的解析式; (2)连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位,秒的速度向终点C匀速运动，设?PMB的面积为S(S?0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式( 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 写出自变量t的取值范围); (3)在(2)的条件下，当 t为何值时，?MPB与?BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值( 解: 4 5在Rt?ABC中，?C=90?，AC = 3，AB = 5(点B P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回; 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动(伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分E 5 Q D A C P 图16 PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E(点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止(设点P、Q运动的时间是t秒(t,0)( (1)当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ; (2)在点P从C向A运动的过程中，求?APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围) (3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形,若能，求t的值(若不能，请说明理由; (4)当DE经过点C 时，请直接写出t的值( (( 8解:(1)1，; 5 (2)作QF?AC于点F，如图3， AQ = CP= t，?( APt,,3 22由?AQF??ABC，， BC,,,534 QFt4得(?( ,QFt,455 14?， Stt,,,(3)B 25 262( 即Stt,,，55E (3)能( ?当DE?QB时，如图4( Q ?DE?PQ，?PQ?QB，四边形QBED是直角梯形( D A C 此时?AQP=90?( P 图4 AQAP由?APQ ??ABC，得， ,B ACAB tt3,9即( 解得( t,,835 ?如图5，当PQ?BC时，DE?BC，四边形QBED是直角梯形( Q 此时?APQ =90?( E D AQAP由?AQP ??ABC，得 ， ,C A P ABAC图5 tt3,15即( 解得( t,,B 853 545t,t,(4)或( 142 Q G ?点P由C向A运动，DE经过点C( 连接QC，作QG?BC于点G，如图6( D 3422222，QCQGCG,，( C(E) PCt,,,，,,[(5)][4(5)]ttA 55P ) 图6 B 53422222t,由PCQC,，得，解得( ttt,,，,,[(5)][4(5)]255 G Q ?点P由A向C运动，DE经过点C，如图7( 6 D C(E) A P ) 图7 3445222，】 (6)[(5)][4(5)],,,，,,tttt,5514 l Rt?ABC，,，,ACBB9060?，?6如图，在中，，C E BC,2OACOlAC(点是的中点，过点的直线从与重合 O O的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点(过ABD ,CCEAB?ll点作交直线于点，设直线的旋转角为EA B D (, EDBC(1)?当 度时，四边形是等腰梯形，,, C 此时的长为 ;AD EDBC?当 度时，四边形是直角梯O ,, 形，此时的长为 ; AD A B ,,90?EDBC(2)当时，判断四边形是否为菱形，并说(备用图) 明理由( 解(1)?30，1;?60，1.5; „„„„„„„„4分 0 (2)当?α=90时，四边形EDBC是菱形. 0 ??α=?ACB=90，?BC//ED. ?CE//AB, ?四边形EDBC是平行四边形. „„„„„„„„6分 00 在Rt?ABC中，?ACB=90，?B=60,BC=2, 0 ??A=30. 3?AB=4,AC=2. 13AC?AO== . „„„„„„„„8分 2 0在Rt?AOD中，?A=30，?AD=2. ?BD=2. ?BD=BC. 又?四边形EDBC是平行四边形， ?四边形EDBC是菱形 „„„„„„„„10分 ABCDADBCADDCABB?，，，，?(,,,,:3542457如图，在梯形中，动 BCCNMB点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同CCD时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度A D D向终点运动(设运动的时间为秒( t BC(1)求的长( N MNAB?(2)当时，求的值( t ?MNC(3)试探究:为何值时，为等腰三角形( B tC M 7 AKBC,DHBC,解:(1)如图?，过、分别作于，于，则四边形ADKHADHK 是矩形 KHAD,,3(? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 2Rt?ABK在中， AKAB,:,, sin45424(2 2 ??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 BKAB,:,, cos454242 22Rt?CDH在中，由勾股定理得， HC,,,543 BCBKKHHC,，，,，，,43310?????????????????????????????????????????????????????????? 3分 A D A D N B C B C K H G M (图?) (图?) DGAB?BCGADGBD(2)如图?，过作交于点，则四边形是平行四边形 MNAB?? MNDG?? BGAD,,3? GC,,,1037? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 NCNtCMt,,,，(102M由题意知，当、运动到秒时， t DGMN?? ??NMCDGC,? ??CC,又 ???MNCGDC? CNCM,? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 CDCG tt102,,即 57 50t,解得， ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 17 (3)分三种情况讨论: NCMC,tt,,102?当时，如图?，即 10t,? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 3 A D A D N N B C B C8 E M H M (图?) (图?) MNNC,NNEMC,?当时，如图?，过作于 E 解法一: 11由等腰三角形三线合一性质得 ECMCtt,,,,,1025，，22 ECt5,Rt?CEN在中， cosc,,NCt CH3Rt?DHC又在中， cosc,,CD553,t?, t5 25解得t,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 8 解法二: ??，CCDHCNEC,，,，,:90? ???NECDHC? NCEC? ,DCHC tt5,,即 53 25t,? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 8 11MNMC,MFCN,MF?当时，如图?，过作于点.FCNCt,, 22 解法一:( 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 同?中解法一) 1tA D FC32 cosC,,,MCt1025, N 60t,解得 F 17 B 解法二: C H M ??，CCMFCDHC,，,，,:90? ???MFCDHC? (图?) FCMC,? HCDC 1t102,t2即 ,35 60t,? 17 102560?MNCt,t,t,综上所述，当、或时，为等腰三角形 ????????????????? 9分 8173 9 ABCDADBC?EFBC?8如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作ABEE CDABBC,,46，?B,:60交于点(，. F BC(1)求点到的距离; E BC(2)点为线段上的一个动点，过P作PMEF,交于点，过作PEFMMMNAB?ADCNPNEPx,交折线于点，连结，设. N?PMN?当点在线段AD上时(如图2)，的形状是否发生改变,若不变，求?PMN出的周长;若改变，请说明理由; NDC?PMNP?当点在线段上时(如图3)，是否存在点，使为等腰三角形,若存在，请求出所有满足要求的的值;若不存在，请说明理由. x N A A A D D D N P P F F F E E E B B B C C C M M 图1 图2 图3 (第25题) A D D A E F F E B C C B 图5(备用) 图4(备用) 10 EGBC,G(解(1)如图1，过点作于点 1分 E ?为的中点， EABA D 1? BEAB,,2(2F E RtEBG??，B,:60?(BEG,:30在中，???????????????2分 122? BGBEEG,,,,,1213，(B 2C G 图1 BC即点到的距离为 ???????????????????????????????????????????3分 E3( N?PMN(2)?当点在线段上运动时，的形状不发生改变( AD PMEFEGEF,,，，PMEG?(?? EFBC?，EPGM,??，PMEG,,3( MNAB,,4(同理 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 PHMN,MNAB?，如图2，过点P作于H，? ??，?(NMCBPMH,,:,:6030? N A D 13? PHPM,,(P F E 22 H 3? MHPM,:, cos30(B C 2G M 35图2 则NHMNMH,,,,,4( 22 22,,53,,22RtPNH?在中， PNNHPH,，,，,7(,,,,,,22,,,, ?PMNPMPNMN，，,，，374(?的周长= ???????????????????????????????????????????? 6分 NDC?PMN?MNC?当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角 形( PMPN,PRMN,MRNR,(R当时，如图3，作于，则 3MR,(类似?， 2 MNMR,,23(? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ?MNCMCMN,,3(?是等边三角形，? xEPGMBCBGMC,,,,,,,,,6132(此时， ????????????????????????????????????????? 8分 A A D A D D N P P F(P) E F E F E N R N B B C B C C G G M G M M 图5 图3 图4 11 MPMN, 当时，如图4，这时 MCMNMP,,,3( 此时， xEPGM,,,,,,,61353( NPNM,??(NPMPMN,,:30当时，如图5， ?，PMN,:120?，MNC,:60则又 ??(PNMMNC，,:180? ?PMC因此点与重合，为直角三角形( FP MCPM,:, tan301(? xEPGM,,,,,,6114(此时， x,2?PMN综上所述，当或4或时，为等腰三角形( ????????????????????????10分 53,，， 9如图?，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为(0，10)，(8，4)， 点C在第一象限(动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A?B?C?D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒( (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间tx (秒)的函数图象如图?所示，请写出点开始运动时的坐标及点运动速QP度; (2)求正方形边长及顶点C的坐标; (3)在(1)中当t为何值时，?OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标; (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A?B?C?D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值;若不能，请说明理由( Q解:(1)(1，0) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分 点P运动速度每秒钟1个单位 长度( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 x(2) 过点作BF?y轴于点，?轴于点，则,8，( OFBE,,4BFBEEBF ?( AF,,,1046yD22AB,，,8610 在Rt?AFB中， 3分 x 过点作?轴于点，与的延长线交于点( CCGGFBHC，,:,ABCABBC90,A? ??ABF??BCH( PM 12 HFB xOQNEG ?( BHAFCHBF,,,,6,8 OGFHCG,,，,,，,8614,8412?( ?所求C点的坐标为(14，12)( 4分 (3) 过点P作PM?y轴于点M，PN?轴于点N， x 则?APM??ABF( APAMMPtAMMP ?( ( ,,？,,ABAFBF1068 3434 ?( ?( AMtPMt,,，PNOMtONPMt,,,,,10,5555 设?OPQ的面积为(平方单位) S 134732?(0??10) ???????????????????????????????????????????????????????? 5分 tStttt,，,，,，,(10)(1)5251010 说明:未注明自变量的取值范围不扣分( 47 47310 ?<0 ?当时， ?OPQ的面积最大( ????????????????????????????? 6分 t,,,a,,36102()，,10 9453 此时P的坐标为(，) ( ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 1510 5295或时， OP与PQ相等( ???????????????????????????????????????????????????????? 9分 (4) 当 t,t,133 10数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E ,，DCG，,AEF90是边BC的中点(，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证:AE=EF( 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M，连接ME， ???AMEECFAEEF,则AM=EC，易证，所以( 在此基础上，同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗,如果正确，写出证明过程;如果不正确，请说明理由; (2)小华提出:如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立(你认为小华的观点正确吗,如果正确，写出证明过程;如果不正确，请说明理由( F D D A A D A F F B B E C G E C G B E C G 图1 图2 图3 13 解:(1)正确( (1分) AMEC,证明:在上取一点，使，连接( (2分) ABMMED A ？，,BME45?？，,AME135?(，( ？,BMBE F M ？CF是外角平分线， ？，,DCF45?， B E C G ？，,ECF135?( ？，,，AMEECF( ？，，，,AEBBAE90?，，，,AEBCEF90?，， ，,，BAECEF( ？ ？???AMEBCF(ASA)( ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (5分) ( ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (6分) ？,AEEF (2)正确( ????????????????????????????????????????????????????????????? (7分) NBA证明:在的延长线上取一点( ANCE,NE使，连接( ???????????????????????????????????????? (8分) N F ？,BNBE( D A ？，,，,NPCE45?( ABCD四边形是正方形， ？ ？ADBE?( B C E G ？，,，DAEBEA( ？，,，NAECEF( ？???ANEECF(ASA)( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(10分) ？,AEEF( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (11分) OAB，,,,AOBOAOB9024?，，11已知一个直角三角形纸片，其中(如图， OBC将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边ABD交于点( CBA(?)若折叠后使点与点重合，求点的坐标; y B x O A ,,OAOBx,BBy(?)若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关OCy, y y于x的函数解析式，并确定的取值范围; B x O A ,,OABDOB?CBB(?)若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标( y B 14 x O A 解(?)如图?，折叠后点与点重合， BA ???ACDBCD则. C设点的坐标为. 00，mm,，，，， BCOBOCm,,,,4则. ACBCm,,,4于是. 222Rt?AOC在中，由勾股定理，得， ACOCOA,， 322242,,，mm即，解得. m,，，2 3,,C点的坐标为. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分 0，？,,2,, ,OA(?)如图?，折叠后点B落在边上的点为B, ,???BCDBCD则. ,由题设， OBxOCy,,， ,则， BCBCOBOCy,,,,,4 222,,,Rt?BOCBCOCOB,，在中，由勾股定理，得. 222？,,，4yyx， ，， 12即yx,,，2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 8 ,OA02??xB由点在边上，有， 1202??xyx,,，2 解析式为所求. ？，，8 02??xy 当时，随的增大而减小， x？？ 3??y2？y的取值范围为.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 2 ,,,,OABDOB?BB(?)如图?，折叠后点落在边上的点为，且. ,,,,，,，OCBCBD则. ,,,,,,？，,，？，,，CBDCBDOCBCBD，CBBA?又，有. ,,？RtRt???COBBOA. ,,OBOC,,OCOB,2,有，得. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分 OAOB ,,Rt?BOC在中， ,,OBxx,,0OCx,2设，则. ，，00 1222xx,,，由(?)的结论，得， 008 xxx,,,,？,,，8450845(，？解得. 000 15 C点的坐标为. ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分 08516，,？，， 12问题解决 F M A D ABCDCD如图(1)，将正方形纸片折叠，使点落在边B CMN上一点(不与点，重合)，压平后得到折痕(当ED CE1AM时，求的值( E ,BNCD2 方法指导: B C N AM 图(1) BN的值，可先求、的长，不妨设:=2 为了求得AMABBN 类比归纳 CE1AMCE1AM,，,，在图(1)中，若则的值等于 ;若则的CD3BNCD4BN CE1AM值等于, ;若(为整数)，则的值等于 ((用含nBNCDn 的式子表示) n 联系拓广 ABCDCDCD，BE折叠，使点落在边上一点(不与点 如图(2)，将矩形纸片 ABCE11AMMN，重合)，压平后得到折痕设则的值等,,,m1，，，，BNBCmCDn于 ((用含的式子表示) mn，F M A D E B C N 图(2) BMEMBE，，解:方法一:如图(1-1)，连接( F M A D E B C N 图(1-1) 16 ABNMFENMMN 由题设，得四边形和四边形关于直线对称( MNBMEMBNEN,,，( ?垂直平分(? ?????????????????????????????????????????? 1分 BE ，,，,，,,,,,ADCABBCCDDA902?,(ABCD ?四边形是正方形，? CE1BNx,，NEx,，NCx,,2( ?设则 ,？,,，(CEDE1CD2 222Rt?CNE 在中，( NECNCE,， 55222xx,,，21( ?解得，即 ??????????????????????????????????????????????? 3分 x,BN,(，，44 Rt?ABMRt?DEM 在和在中， 222， AMABBM，, 222， DMDEEM，, 2222 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 AMABDMDE，,，(？2222yy，,,，221( 设则? AMy,，DMy,,2，，， 11 解得y,，即 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 AM,(44 AM1 ?,(??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 BN5 5 方法二:同方法一，BN,( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 4 NNGCD?，GADBE( 如图(1,2)，过点做交于点，连接 F M G A D E B C N 图(1-2) ADBC?，GDCN??四边形是平行四边形( NGCDBC,,( ? 5ABNGAGBN,,( 同理，四边形也是平行四边形(? 4MNBEEBCBNM,？，，，,，90?( ? ？NGBCMNGBNMEBCMNG,？，，，,？，,，，90?，( ?BCE?NGM 在与中 ，,，EBCMNG，, ,BCNG,，???，(BCENGMECMG, ???????????????????????????????,分 , ,，,，,CNGM90?(, 51AMAGMGAM,,,,，=1(? ????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 44 17 AM1? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ,(BN5 类比归纳 2n,1，，249(或);; ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????10分 251017n，1联系拓广 22nmn,，21 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分 22nm，1 18 19