可分解的高次不等式的解法
浙江省诸暨市学勉中学（311811） 郭天平 解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，通常解法是化为不
等式组或者用列
表
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法或者用数轴标根法求解。本文通过不同解法的比较，来说明“数轴标
根法”在求解一类可分解的高次不等式独特之处。
解不等式，，，，，， x，3x,2x,4,0
x，3,0x，3,0,, 原不等式可化为或 ,,，，，，，，，，x,2x,4,0x,2x,4,0,,
x,,3x,,3,,即或，即或 ,3,x,2x,4,,x,2或x,42,x,4,,
?原不等式的解集为,,x|,3,x,2或x,4
【】 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”
与“并”的思想方法。
不等式（或方程）有三个零点，-3，2，4，先在数轴上标出零点，这些零点把数轴分成了若干个区间。
x -3 2 针对这些区间，逐一讨论各因式的符号，情况列表如下： 4
因 子 ，，，，，，，，，，，，x，3x,2x,4x，3x,2x,4
+ + + + 当时 x,4
+ + - - 当时 2,x,4
+ - - + 当时 ,3,x,2
- - - - 当时 x,,3
，，，，，，,,x，3x,2x,4,0x|,3,x,2或x,4从上表可看出的解集为
先在数轴上标出零点（标出根）。
根标出来后，不是分区间进行验证讨论，而是
+ + x 直接标出综合因式—-3 2 4 ，，，，，，—x，3x,2x,4的正负号
— — （如上图），再根据题目要求，直接写出解集为,,x|,3,x,2或x,4
【】这种方法常称为是“数轴标根法”，有些书上称为是“串针引线法”。这种方
1
法的本质是“列表讨论法”的简化及提炼。这样的“线”也可看成是函数
，，，，，，的图象草图。(y轴未画) y,x，3x,2x,4
通过上述三种方法的比较，我们不难看出，用“数轴标根法”来解可分解的高次不等
式直观又简单。具体方法步骤如下：
?将不等式等价化为，，，，，，x,x,0(,0)xx,xx,x„形式，并将各因式的系数n12
化“+”；(为了统一方便)
?求出对应方程，，x,x,0，，，，x,xx,x„的根（或称零点），并在数轴上表示出n12
来；
?由方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”
n是指当左侧，，x,x，，nnfxx有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶11数时，曲线在x点处不穿过数轴） 1
?若不等式（x的系数化“+”后）是“”,则找“线”在x轴上方的区间；若不,0等式是“”,则找“线”在x轴下方的区间. ,0
232 解不等式，，，，，，x,2x,3x，1,0
?检查各因式中x的符号均正；
?求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
?在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自方开始），如下图：
??原不等式的解集为，，，，,1,2:2,3
【】?3是三重根，?在C处来回穿三次，?2是二重根，?在B处穿两次，结
果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽
不穿2点，但满足“=”的条件，不能漏掉. x,2
2x,3x,43 解不等式,0 xx,2x，3，，，，
2
2 先将原不等式等价化为不等式，，，，，，x,3x,4xx,2x，3,0且
， x,,3,x,0,x,2
即，，，，，，，，且，用“数轴标根法” xx,2x，3x，1x,4,0x,,3,x,0,x,2
-3 -1 0 2 4 x ?原不等式的解是，，，，,,,,,,3:,1,0:2,4 【】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的
取舍，否则会产生增根或失根的误解.
24 解关于，，，，x,x，12x，a,0x的不等式：.
此不等式是含参数x,,aa的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对a的所处位置进行讨论 ?将二次项系数化“+”并分解为：，，，，，，x,4x，3x，a,0；
?相应方程的根为：,3,4,,a；
?讨论：
?）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ,a,4a,,4
?原不等式的解集为，，，，,3,4:,a,，,.
?）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ,3,,a,4,4,a,3
?原不等式的解集为，，，，,3,,a:4,，,
?）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ,a,,3a,3
3
，，，，?原不等式的解集为 ,a,,3:4,，,
0?）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ,a,4a,4
?原不等式的解集为，， ,3,，,
?）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ,a,,3a,3
?原不等式的解集为，，4,，,。
综上所得，当，，，，,3,4:,a,，,时，原不等式的解集为； a,,4
当，，，，,3,,a:4,，,时，原不等式的解集为； ,4,a,3
当，，，，,a,,3:4,，,时，原不等式的解集为； a,3
当，，,3,，,时，原不等式的解集为； a,4
当，，4,，,时，原不等式的解集为。 a,3
【】此题意在于让大家熟练用“数轴标根法”解高次不等式，培养分类讨论的思
想，题中对当与时这两种情况，不少同学容易漏解，不加以讨论。 a,3a,4
4
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