平均曲率向量平行的子流形

平均曲率向量平行的子流形 易汉桃 乐 进 ()()理学院 黄冈电力职工中专 摘要 研究了单位球面中平均曲率向量平行的子流形 ,得到了一个 Simo ns 型积分不等式 . 关键词 子流形 ;第二基本形式 ;积分不等式 中图法分类号 O 186 . 12 n + p 设 M 是单位球面 N 中 n 维紧致极小子流 则有如下的基本方程 : ωωωωω形 , 文献 1 证得著名的 Simo ns 积分不等式 : ( )d?,+ = 0 3 = - AB A BB AA B? 1 )( ()1 [ 2 - S - n ] S 3 1 ?0ωωω?d= - + A C CBA B ??p M ( )4 1 其中 , S 是 M 的第二基本形式长度的平方 , 3 1 是 ωωK? A B CDCD? 2 M 的体积元素 . ωωωωω( )d?,+ = 05 = - iijj ij ji ? = 文献 [ 2 ] 进一步得到 , 如果 S 为常数 , 且 S 1 ωωωd?+= - iki jkj ? ( ) n / 2 - , 则M 或者为 Vero nese 曲面 , 或者为 p ( )6 1 ωωCliffo rd 环 . R ? ijkllk 2 n + p 本文研究单位球面 N 中具有平行平均曲 ωωω= - ?+dαβ αγ γβ ? 率向量的子流形 ,得到一个 Simo ns 型积分不等式. ( )7 1 ωω?R αβ klk l具体地说 ,本文得到如下的结论 . 2 n + p α β α β定理 设 M 为单位球面 N 中具有平行平 ( )( )Rhh- hh8 = αβkl ik il il ik ? 均曲率向量的 n 维紧致子流形 , S 为第二基本形式 其中 , R , R分别为 M 的 Riemann 曲率张量和αβi jkl kl 模长的平方 , H 为 M 的常数平均曲率 ,则有 : 法曲率张量的分量 , K为 N 的 Riemann 曲率 A B CD 3 2 2 2 nS + S -[ n H - ?2 M 张量的分量 ,则有 : α αα α 1 δδδδ( )( )n - R 2 9 = - + hh-hh i jklil jk i kj l il jk ik j l ? ( ()) nS H- H 2 S ] 3 1?0 n αα αα ( )hh, hh10 = = ij j i ij kikj ααα 1 准备工作 hR +h-h= i m m jkl i jkl i jlk? ( )11 n + p αβ 沿 N 选 择 局 部 规 范 正 交 标 架 场 e, ?, R -h hR1 αβm ikl m j i j kl ?? α ααα β e, 使 得 限 制 在 M 上 时 , e, ?, e与 M 相 切 , n + p 1 n ( h-hh-Δ hh = i jijk kij ik kj ? ? ? e, ?, e与 M 正交. 记 w , ?, w 为其对偶 n +1 n + p 1 n + p β α α β β αα α β ) ( )hhhh+hhhh- hh- i j kl ij kl i k kj il lj i l l j ? β 标架场 ,约定指标的变化范围为 : 2 2 2 αα γ α) ( ( )n h-nH+ n H 12 hhhij m i m j ijA , B , C , D , ? = 1 ,2 , ?, n + p ? ? α( ) i , j , k , l , ? = 1 ,2 , ?, n H=对实对称阵 h, 记 α ij n ×n αα2 2αβγ,,, ? = n + 1 , ?, n + p ( )) ( ) ( hN H, S = h= α i j ij ? ? α, i , j 收稿日期 :1998 - 02 - 05 () () 不失一般性 ,取 e为单位平均曲率向量 ,则由式 15、16,利用 M 的紧致性 ,可得 : n +1 αn +1α α α (α )hh = n H , = 0 ? n + 1 i iii ? ?Δ ( ) hh3 1= - h3 1 ?0ijij ij k ??i i 2 ? ? M M (α H 为常数且 e在法丛中平行 ? n + 这里 , α ()17 ) ( ) 1不妨设 H > 0. 从而有 : 3 引理 1 设 A , ?, A 为 p 个 n 阶实对称阵 , p1 p 3 2 2 2 t [ n H- n S + S - ) ( ?2 , 记 S= t race A A, S=S=N A, S= α αβ αβ α αα ? 2 M p n - 12 S , 则i ( ? nS H- H ) S ] 3 1 ?0 i = 1 n 3 22 定理证毕 . )()( N AA-? S 13AA+ S βα αβαβ ? ? 2 n + p 推论 设 M 是单位球面 N 中具有平行平 λλμμ2引 理 , ?,,, ?,是 2 n 个 实设 1 n 1 n 均曲率向量的紧致子流形 ,若 λ数 , 若 = 0 , 则i ? 3 i 2 2 2 + S -n H- nS 2 n - 1 2 2 2 λμλμ( )? | |14 i i i i? ?? n 1n - 2 ( ) ()n S H- S ?0 ,18 H λλμ(n 证明 对 2 n 个变量的函数 f , ?,,, 1 n 1 n n n 则有 3 种可能 : 2 2λμμ)λλ?,| , 在条件 = 0 , = | = n ii i i ? ? ? ()1 = 0 , 即 M 是全测地子流形 ; i = 1 i = 1 i = 1 S n 4 ()2 = p = 2 且 H = 0 , M 是球面 N 中的 n 2μ= A , B 下 , 运用 L agrange 乘数法求极值后 i ? i = 1 Vero nese 曲面 ; n +1 可得 : () 3p = 1 , A h = 0 , M 是球面 N 中的超曲 n - 12 k n - k Aγ) γ (γ)(? | f | B 面 S 1 - 之一 , 0 ??1 , k = ×S n 0 ,1 , ?, n . 2 定理的证明 ( ) Δ证明若式 18成立 , 则S ?0 ; 若 M 是紧 Δ致无边的 , 则S = 0 . 下面分几种情况 : () 由式 12,引理 1 及前述符号可知 : ( ) 1若 p ?2 , 由于引理 1 中的不等式变成等 1αα α 2 ΔΔ ( ) h=S = hh+ij i j i jk ?? 式 , 故引理 1 H , H, ?, H 中至多只有两个 2 n +1 n +2 n + p α 2 2 λμ0 0 0 0 ( ) ( h- N H H) S H H - + - α β β ααβ ij k ?? ? λ μ 第 3 期 非零 , 且分别相似于 00 - 和5 , 2 2 2 ( )? nS - nH+ n H t r H Hα n +1 ? α?n +1 0 0 000 0 23 2 2 α 2 2 从而 M 是极小子流形 , 这时 S ? n . 由文献 [ 3 ] ( ) n H+ - n S h- S +ij k ?3 2 4 知 , M 是全测地的或 n = p = 2 , M 是 N 中的 (1) 2 ( )( )n H t r HH15 α n +1 ? α?n +1 Vero nese 曲面. α δλ. 运用引理 2 ,对每 设 H已对角化 , h= ααii j ij ( ) 2若 p = 1 , 由条件 A h = 0 , 即第二基本形 n +1 α(α ) 个 ? n + 1有 : 式平行和文献 [ 4 ] 知 , M 是球面 N 中的超曲面 ( )1 2 2 n +1λt r H H= h = n +1 k n - k 2 α αi ii ? (γ) )S 1 - γ×S ( 之一 0 ? ?1 , k = 0 , (γ) 2 n +1 2 λ( ) λ? HH +h -αα) ii ii1 , ?, n . ? ? n +1 2 k n - k () γ)γ ) (注 : 1S 的超曲面 S 1 - 仅×S ( n - 1 2 n +1 2 2λ( λ) H -Hh -ααiiii ? ?? n k γ 当 =时为极小超曲面即 cliffo rd 极 (α) 从而 对 作和有 : n 小超曲面 . 1n - 2 )( S ? n HS H - n H t r HHα n +1 ? n () α2当 M 是极小子流形时 ,由此推论可得到 ( )16 () Cher n 等的著名定理 见文献 2 . selected papers. Sp ringer2Verlag ,1978 :393,409 参 考 文 献 3 Li A2M ,Li J2M . An int rinsic rigidit y t heorem for minimal ( ) submanifolds in a sp here. Arch. Mat h. , 1992 58: 582 , 1 Simo ns J . Minimal varieties in Riemannian manifolds. () 594 Ann. of Mat h. ,1969 88:62,105 4 L awso n B . Local rigidit y t heorems for minimal hypersur2 2 Chern S S ,Do Carmo M , Kobayaghi S. Shirng2Shen Chen () faces. Ann. of Mat h. ,1969 89:187,197 Subman if ol ds with Parallel Mean Curvature Vectors Yue J in Yi Hantao ( )( )College of Science Huanggang Elect ric Staff School The submanifolds wit h parallel mean curvat ure vecto rs in a unit sp here is st udied. An integral in2 Abstract equalit y of Simo ns’t ype is o btained. Key words submanifolds ; seco nd f undamental fo r m ;integral inequalities 我校新增 4 个省级重点学科 湖北省教委最近公布了第二批在鄂部委属普通高等学校省级重点学科名单 . 我 校电力系统及其自动化 、热能工程 、环境工程和流体力学 4 个学科被批准为湖北省重 点学科. 至此 ,我校共有 8 个湖北省重点学科.