数学基础版曲线与方程教案

数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 基础版曲线与方程教案 课题:8.3.1 直线的点向式方程. 教学目标:1(理解直线的点向式方程的推导过程，掌握直线的点向式方程. 2(会运用直线的点向式方程. 3(培养学生数形结合的思想和转化的思想和能力. 4(培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:直线的点向式方程. 教学难点:直线的点向式方程的推导. 教学方法:讲授法. 教学过程: 一、导入新课 我们学习过一次函数，谁能告诉我，一次函数的一般解析表达式,学生回答:,，，其中，是常数，?0(若学生回答不全，教师修正).它的图象是什么,一条直线.我们可以把,，看成字母系数的关于，的二元一次方程，那么它就是函数,，，的图象，即直线的方程.今天我们专门研究直线的方程，首先来学习直线的点向式方程. 二、讲授新课 我们知道，两点确定一条直线，也就是说，已知直线通过的两点，这条直线就确定了.由此，我们也可以说，已知直线经过的一点，并且和一个非零向量平行也能确定一条直线，下面给予证明. 设一个点为(，)，向量为,(，)，，我们以为起点，作向量 ，设点的坐标为(，)，由向量平行和相等的充要条件代入坐标可得， (,，,),(，)， 即 解得 由，，，为确定的数，所以，也是确定的数，即点是确定的，由于点，是确定的，所以、这条直线也是确定的，因此，已知直线过一个一点且和一个非零向量平行，可以确定这条直线. 在直角坐标系中，已知点,(，)(图9,1)，我们来求过点，并且与非零向量平行的直线的方程.其中叫做直线的方向向量. 设(，)是一动点，点?的充分必要条件是与平行，即 ,，?，(1) 将(1)换用坐标表示，得 (,，,),(，)， 即 (2) 消去参数，得 (,),(,),0.(3) 在方程(2)中，如果?0，?0可得到 .(4) 方程(3)和(4)都叫做通过(，)，方向向量为,(，)的直线的点向式方程. 特别地，当,0(此时?0，否则为零向量)时，则由(3)式得到方程 ,， 它表示通过(，)，且平行于轴的直线(图9–2(1)). 当,0(此时?0，)则由(3)式得到方程 ,， 它表示通过(，)，且平行轴的直线(图9–2(2)). 有了直线的点向式方程，只要知道直线上一点的坐标和一个方向向量，就可以直接根据直线的点向 式方程求出直线的点向式方程. 例1 求通过点(,2，1)，且平行于方向向量,(3，,1)的直线方程. 解:依直线的点向式方程，得 . 整理，得所求直线的方程 ，3,1,0. 例2 求下列过点，且一个方向向量为的直线方程: (1)(2，,1)，,(0，3); (2)(3，,1)，,(2，0). 分析:这是已知直线上一点和它的一个方向向量求其直线方程的题，其中方向向量的坐标有一个是零， 所以此时的直线是特殊的.,(0，3)平行轴，,(2，0)平行轴， 解:(1)由于直线的方向向量平行轴，所以通过点(2，,1)的直线方程为 ,2; (2)由于直线的方向向量平行于轴，所以通过点(3，1)，的直线方程为 ,,1. 例3 求过点(,1，2)和点(2，4)的直线方程. 分析:已知条件给的是直线过的两点，若用直线的点向式方程缺少方向向量，可先由已知的两点求该 直线的一个方向向量. 解:直线的方向向量可取为,(3，2) ，又直线过点(,1，2)，依直线的点向式方程，得 . 整理，得所求直线方程 2,3，8,0. 三、课堂练习 第3页 练习A.第1(1)、(2)、(5)、(6)题、第2(1)、(3)题，第3(1)题. 四、课堂小结 通过今天的教学，大家应该: 1(知道除了两点可以确定一条直线外，一个点和一个非零向量也能确定一条直线. 2(掌握直线的点向式方程. (1)记住并理解方程中各字母的含义; (2)注意平行于轴和平行于轴的直线方程; (3)会用它求直线的点向式方程. 五、课外作业 1(复习作业:复习第7,8页8.3.1的课文. 2( 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 面作业:第8页练习1-3题， 3(预习作业:预习课文8.3.1直线的斜率. 课题:9.1.2(1)直线的斜率 教学目标:1(理解直线的倾斜角、斜率的概念. 2(了解直线的斜率和该直线方向向量的关系. 3(掌握求斜率公式. 4(培养学生数形结合、转化的思想和逻辑思维能力. 教学重点:直线的斜率. 教学难点:直线的斜率. 教学方法:启发式讲授法. 教学过程: 一、复习提问 1(应用直线的点向式方程来求某直线方程需要有什么条件, 2(已知直线过点(，)、(，)，求直线的一个方向向量. 二、引入新课 我们学过一次函数,，，，是常数，知道它的图象是一条直线.我们把,，看成 二元一次方程，那它就是函数,，的图象即直线的方程.这里叫斜率，我们今天就来学习直线的 斜率. 三、讲授新课 1(倾斜角的定义 一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，当直线与轴平 行或重合时，规定它的倾斜角等于0. (语言叙述的同时，借助于图示，指出向上的方向的含义.) 由倾斜角的定义知， 倾斜角的取值范围是0?,π. 2(斜率的定义. 当时，直线的倾斜角的正切，叫做直线的斜率，通常用表示. 即 ,tan(). 当时，直线没有斜率. 3(直线的方向向量与直线斜率之间的关系. 设直线的一个方向向量,(，)，直线的倾斜角为，斜率为(图9,3)，这时?，当?0时，由三角函数的定义知， . 如果在直线上已知两点(，)，(，)(图9-4)，则直线的一个方向向量可取为 ，则直线的斜率 (,?,). 这就是已知直线上两点的坐标，求斜率的公式. 如果已知直线的斜率为，也可求出该直线的方向向量. 设,(，)(?0)是直线的方向向量，则向量与平行，即(1， )也是直线 的一个方向向量，于是得到向量(1，)也是该直线的一个方向向量. 4(例题 例4 已知直线的一个方向向量,(,2，3)，求直线的斜率. 解:直线的斜率 例5 已知直线的倾斜角是120?，求这直线的斜率和一个方向向量. 解:的斜率 . 的一个方向向量. 例6 求经过(,2，0)，(,5，3)两点的直线的斜率和倾斜角. 解:由斜率公式 ，得 根据斜率的定义，有tan ,,1，又0?,π， 所以 . 四、课堂练习 第5页练习A第1(2)、(4)，2(2)、(4)，3(1)、(3)、(5)、(7)，4(1)、(3)题. 五、课堂小结 小结时向学生说明; 1(斜率和倾斜角都是用来表示直线方向的，斜率是实数，可以用直线上任意两点的坐标来表示，而 不需要求出直线的倾斜角. 2(直线的斜率与上的两点的位置、顺序无关. 3(当倾斜角,90?，直线没有斜率，但不是没有倾斜角. 4(由斜率求倾斜角时， 要注意倾斜角的取值范围. 六、课外作业 1(复习课文第4页9.1.2(1)直线的斜率. 2(书面作业:第5页练习A第1(1)、(3)，2(2)、(4)，3(2)、(4)、(6)，4(2)、(4)题， 练习B第1题. 课题:9.1.2(2) 直线的点斜式方程. 教学目标:1(理解直线的点斜式方程的推导过程. 2(掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，理解斜截式直线方程中的意义. 3(培养学生数形结合和转化的思想方法，培养逻辑思维能力. 教学重点:直线的点斜式方程. 教学难点:理解直线的点斜式方程的推导过程. 教学方法:启发式讲授法. 教学过程: 一、复习提问 1(叙述直线倾斜角的定义. 2(直线的斜率是怎样定义的, 3(求斜率公式的内容是什么,各字母的含义分别是什么, 二、导入和讲授新课 1(直线的点斜式方程. 上节课我们学习了直线的斜率的定义和求斜率公式，今天我们来研究，已知过点(，)，斜率为(图9,5)的直线的方程. 设点(，)为直线上不同于(，)的一动点，由的斜率为，所以它的一个方向向量为(1，)，依直线的点向式方程，得 (,),(,),0. 整理，得 这个方程是由直线上一点(，)和斜率所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程. 特别地，当,0时，直线方程变为 ,. 这时直线平行轴或在轴上. 2(直线的斜截式方程. 在直线的点斜式方程中，如果,0，,，即直线通过点(0，)，且斜率为(图9,6)，则直线的点斜式方程为 ,,(,0). 整理，得 这种形式的方程，是我们熟知的一次函数的解析式，其中为直线的斜率，直线与轴交点的纵坐标叫做该直线在轴上的截距，这个方程叫做直线的斜截式方程. 另外直线与轴交点(，0)的横坐标叫做该直线在轴上的截距. 3(例题 例7 求下列直线的方程: (1)直线:过点(2，5)，倾斜角为135?; (2)直线:过点(2，1)和点(3，4). 分析:(1)知倾斜角为135?，可求出斜率,tan 135?，用直线的点斜式方程. (2)先由直线经过的两点的坐标，用斜率公式先求出斜率，用直线的点斜式方程;如果用两点求出方向向量，则可用点向式方程求解. 解:(1)直线过点(2，5)，斜率,tan 135?,,1， 由直线的点斜式方程，得,5,,1(,2). 整理，得的方程为 ，,7,0. (2)(用点斜式方程求解)直线的斜率 ， 直线过点(2，1)，由直线的点斜式方程，得 ,1,3(,2). 整理，得的方程为 3,,5,0. (用点向式方程求解)直线的方向向量为(3―2，4―1),(1，3)， 直线过点(2，1)，由直线的点向式方程，得 3(,2)(,1),0. 整理，得的方程为 3,,5,0. 例8 求过点(0，1)，斜率为 的直线方程. 分析:此题可直接用直线的点斜式方程求出该直线的方程，但考虑到直线经过的点(0，1)在轴上， 表明直线在轴上的截距为1，所以用直线的斜截式方程. 解:直线过点(0，1)，表明直线在轴上的截距为1，又直线斜率为，由直线的斜截式方程得所 求直线方程为 . 例9 已知直线经过(3，0)，斜率为,2，求它的方程. 分析:点(3，0)在轴上，不能用直线的斜截式方程，用点斜式方程. 解:由直线的点斜式方程，得所求直线方程为 ,―2(―3). 整理，得所求直线方程为 2，,6,0. 例10 已知直线经过(，0)，(0，)，(?0，?0)，求该直线的方程. 解:由直线过点过(，0)，(0，)，可求出该直线的斜率为 ，又直线过点(，0)，由 直线的点斜式方程，得 . 整理，得所求直线的方程为 ，,,0. 三、课堂练习 第7页练习A第1(2)、(4)、(6)，2，3(1)、(3)、(5)、(7)、(8)题. 四、课堂小结 引导学生和教师一起将本节的内容总结成下表: 五、课外作业 1(复习课文9.1.2 直线的点斜式方程. 2(书面作业:第7页第3(2)、(4)、(6)、(9)题，第8页练习B第1题，第24页习题9,1A第1(3)、 (4)、(5)、(6)题，第26页习题9,1B第4题. 3(预习作业:预习9.1.3直线的点法式方程. 课题:9.1.3直线的点法式方程. 教学目标:1(理解直线点法式方程的推导过程，了解直线的法向量与方向向量的关系. 2(掌握直线的点法式方程，并能解决有关问题. 3(培养学生数形结合，转化的数学思想. 4(培养学生事物是相互联系，相互转化的辩证唯物主义观点，培养逻辑思维能力. 教学重点:直线点法式的方程. 教学难点:直线的法向量的理解及其应用. 教学方法:讲授法. 课堂类型:新授课. 教学过程: 一、复习导入 1(复习提问学生回答，教师板书. (1)已知直线过(，)，一个方向向量为,(，)，它的点向式方程是什么样的, (2)说出下列直线的点向式方程: ?直线过(1，2)，一个方向向量为,(3，4); ?直线过原点，一个方同向量为,(3，4); (3)已知直线的方程为3(,1),2(，1),0，说出它的一个方向向量. 2(导入新课 在1(1)题中，我们把题目所求改成求过点，且与向量,(，)垂直的直线的方程，那么如何求这个方程, 教师口述，提出问题，引导学生思考，若有学生能说出用向量内积求方程的思路，则教师按学生思路求出方程;若没有，教师给出点法式推导过程. 下面我们介绍直线方程的另一种形式，直线的点法式方程. 教师口述，并板书课题. 二、课授新课 1(概念 如图(出示小黑板)(9,7)已知点(，)，,(，)，且是非零向量，求过点(，)， 且与向量垂直的直线的方程，设(，)是一动点，?的充分必要条件是(教师口述) 或(教师板书). 换用坐标表示，上述充要条件可写为(教师口述). (,)，(,),0(5)(教师板书). 这个方程叫做直线的点法式方程，叫做直线的法向量.(教师口述.) 2(例题 例9 (出示小黑板)求过点(3，2)，且与向量,(3，,4)垂直的直线方程. 启发学生回答教师板书. 解:由直线的点法式方程，得 3(,3)，(,4)(,2),0. 整理，得 3,4,1,0. 三、课堂练习 1(第9页练习A第1题. 出示小黑板逐步出示各题，组织学生口答或抢答，教师板书. 2(求通过点，且垂直于向量的直线方程: (1)(1，2)， ,(3，,4); (2)(,1，2)， ,(3，4); (3)(3，,2)， ,(,3，,4); (4)(3，,2)， ,(,2，5); 3(已知，(,5，6)，(,1，,4)，(3，2)求三条高线所在的直线方程. 出示小黑板引导学生画出图来，标出三条高线. 四、课堂小结 投影小结内容，教师口述. 注 直线方程都可以化为，，,0的形式. 1(复习教材第8,9页，9.1.3直线的点法式方程. 2(书面作业第9页练习A第2题，练习B第3题，第24页习题9,1A，第5，9题. 课题:9.1.3 直线的点法式方程. 教学目标: 1(理解直线的法向量. 2(理解直线的点法式方程的推导过程;掌握直线的点法式方程. 3(进行数形结合思想的教育，培养逻辑思维能力. 教学重点:直线的点法式方程. 教学难点:对直线的法向量的理解. 教学方法:启发式讲授法. 教学过程: 一、复习提问 1(什么样的向量叫直线的方向向量, 2(用直线的点向式方程求直线的方程需要什么条件,用直线的点斜式方程呢, 二、导入新课 我们知道，直线的方向向量是与它平行的非零向量，那么与直线垂直的非零向量叫什么呢,叫法向量.由直线的法向量和直线经过一点，也能求出直线方程，今天我们就来学习9.1.3直线的点法式方程. 三、讲授新课 想一想:过平面内一点，并且和一个非零向量垂直的直线有几条,(给学生一定的思考、议论时间)教师分析，在平面几何中学过，过直线外一点，向这直线引垂线，只能引一条，所以在平面内过一点，并且与一个非零向量垂直的直线有且只有一条.这就是说，过一点并且与一个非零向量垂直确定一条直线. 我们把与一条直线垂直的非零向量叫做这条直线的法向量.显然，一条直线的法向量不唯一，它们都是相互平行(共线)的. 现在我们用直线的法向量来推导直线的方程. 已知直线过点(，)(图9-7)，的一个法向量为,(，)，求直线的方程. 设(，)是一动点， 的充分必要条件是 . 换用坐标表示，上述充要条件可写为 (,)，(,),0. (5) 方程(5)是由直线上一点(，)和的一个法向量,(，)确定的，因此这个方程叫做直 线的点法式方程. 2(直线的法向量与方向向量的关系. 直线(5)的法向量为,(，)， 设，,(，,)， 则有?,×，×(,),0. 所以?.这就是说，如果是直线的一个法向量，则向量,(，,)就是直线的一个方向 向量. 3(例题 例1 已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量. (1) ; (2),(0，1); (3),(1，0). 解:由直线的方向向量和其法向量的垂直关系，用向量的内积定义可得 (1) ; (2),(1，0); (3),(0，1). 例2 求过点(1，2)，且与向量,(3，,4)垂直的直线方程. 解:由直线方程的点法式，得 3(,1)，(,4)(,2),0. 整理，得所求直线方程为 3,4，5,0. 四、课堂练习 第9页 练习A 第1，2(1)、(3)题， 练习B 第3题. 五、课堂小结 1(过一点(，)且与一个非零向量,(，)垂直确定一条直线，这条直线的点法式方程为 (,)，(,),0. ,(，)叫这条直线的法向量.直线的法向量不唯一. 2(注意点法式方程的特点与直线的点向式方程(,),(,),0，其中,(，) 为方向向量之间的区别. 3(直线的法向量和直线的方向向量有互相垂直的关系可以利用. 六、课外作业 1(复习作业:阅读9.1.3课文 2(书面作业:第9页练习A 第2(2)、(4)题，练习B第2题. 3(预习作业:预习9.1.4直线的一般式方程. 课题:9.1.4 直线的一般式方程. 教学目标:1(理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义. 2(培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力. 3(对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义观点教育. 教学重点:直线与二元一次方程的对应关系. 教学难点:对二元一次方程系数的几何意义的理解. 教学方法:启发式讲授法. 课堂类型:新授课. 教学过程: 一、直观导入 1(提出问题:前面我们学过的任一条直线都可写出它的点向式方程，而直线的点向式方程都是二元一次方程，这就是说每一条直线方程都是关于，的二元一次方程.反过来，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢,(教师口述.) 2(直观导入:下面我们看计算机，决定二元一次方程，，0图象的是三个系数，，的值.下面我们任意给，，赋予三个值，即,2，,,3，4，输入计算机，即得到二元一次方程2,3，4,0的图象，以此类推，连续给，，赋值，就会得到不同二元一次方程的图象.(计算机演示) 从以上计算机演示我们可以看出，二元一次方程的图象都是直线.这就是今天我们所要学习的直线的一般式方程.(教师口述，并板书课题.) 二、讲授新知 1(下面我们从理论上对上述结论给予证明.(教师口述.) 定理:每一个二元一次方程的图象都是直线.(教师板书.) 证明:任给一个二元一次方程 ，，,0，(1)(教师板书.) 设(，)是方程的一个解，得 ，，,0.(2)(教师板书.) (1),(2)得 (,)，(,),0.(3)(教师板书.) 建立直角坐标系，取点(，)，向量,(，)，方程(3)就是通过点，且垂直于向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.) 出示投影教师口述: 因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线，，,0. 这个方程又常说成直线的一般式. 2(二元一次方程中系数的几何意义(教师板书). 由直线，，,0中，的系数，所确定的向量,(，)与这条直线垂直. ,(，)叫做直线，，,0的垂直向量. 因为向量(,，)与向量,(，)垂直，所以向量(,，)与直线，，,0平行. (,，)为直线，，,0的方向向量. 于是我们得到，向量,(，)为直线，，,0的一个法向量;向量(,，)为直线，，,0的一个方向向量. 换句话说，向量,(，)都与直线，，,0垂直，(,，)都与直线，，,0平行. 三、例题分析 例1 (出示小黑板)求通过(,2，5)且与直线:4,3，9,0垂直的直线方程. (由已知条件，根据推论启发学生，回答所求直线的法向量或方向向量.) 解: 或 3(，2)，4(,5),0， 即 3，4,14,0.(教师板书以上三式.) 例2 (出示小黑板)求过点(3，,4)，且与直线:3，7，9,0平行的直线方程. (启发学生回答出所求直线的法向量或方向向量，然后写出直线的点法式方程或点向式方程.) 解: 3(,3)，7[,(,4)],0 或 . 即 3，7，19,0.(教师板书以上三式) 四、课堂练习 1(第11页练习A第1(1)、(3)、(4)，2(1)、(4)，3题 2(补充题: 已知(,1，,2)，(2，1)，(0，4)，求三条高所在直线的方程. 出示投影，要求学生画出图表示三条高线，，，然后巡视，发现不同解法，找三位解法不同的学生，到黑板前板书. 五、课堂小结 用投影出示小结内容教师口述. 注在本节正式提出直线方程的一般式，直线方程的这几种形式是可以相互转化的，但最后一般都化为一般式.要注意这一点. 六、布置作业 1(看书9,11页，9.1.4直线的一般式方程. 2(书面作业:第11页练习A第1(2)，2(2)、(3)题，第24页习题9,1A第5题. 课题:9.1.4 直线的一般式方程. 教学目标:1(理解直线与二元一次方程的关系，掌握直线的一般式方程及其系数的几何意义. 2(培养学生数形结合的思想方法，培养逻辑思维能力. 3(对学生进行事物是相互联系，变化的，对立统一的辩证唯物主义的观点教育. 教学重点:直线与二元一次方程的对应关系. 教学难点:对二元一次方程系数的几何意义的理解. 教学方法:讲授法. 课堂类型:新授课. 教学过程: 一、复习导入 1(复习提问. (1)什么是直线的点法式方程,(学生回答，教师板书.) (2)直线的方程都是几元几次方程,(学生回答.) 2(导入新课:前面我们学习了求直线的方程，通过求直线的方程我们知道，直线的方程都是二元一 次方程;反过来，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢,这就是我们今天所要研究的问题.(教师口 述这些导入语，并板书课题，导入新课.) 二、讲授新知 1(下面我们看定理: 定理(教师板书)每一个二元一次方程的图象都是直线. 证明:任给一个二元一次方程 ，，,0， (1) 设(，)是方程的一个解，得 ，，,0. (2) (1),(2)得 (,)，(,),0.(3)(教师边分析，边板书.) 建立直角坐标系，取(，)，,( ，)，方程(3)就是通过点，且垂直于向量的直线方程，这就证明了每一个二元一次方程的图象都是一条直线.(教师口述.) (教师口述并板书)因为每一个二元一次方程的图象都是一条直线，所以我们常说，直线，，,0， 这个方程又口述常说成直线的一般式. 2(二元一次方程中系数的几何意义. 由直线，，,0中的，的系数，所确定的向量,(，)与这条直线垂直. ,(，)是直线，，,0的法向量. 因为向量(,，)与向量(，)垂直，所以向量(,，)与直线，，,0平行. ,(,，)为直线，，,0的方向向量. 由此我们得到，向量(，)为直线，，0的一个法向量;向量(,，)为直线，，,0的一个方向向量. 换句话说，向量,(，)都与直线垂直，(,，)都与直线，，,0平行.(教师用幻灯打出内容.) 对任意非零实数，(，)是直线，，,0的法向量;向量(,，)是直线， ，,0的方向向量。 三、例题分析 例1 (出示小黑板)求通过(,2，5)且与直线:4,3，9,0垂直的直线方程. 解:(教师板书)因为向量(4，,3)与直线垂直，所以向量(4，,3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为 ， 即 3，4,14,0. 例2 (出示小黑板)求过点(3，,4)，且与直线l:3，7，9,0平行的直线方程. 解:(教师板书)因为所求直线与已知直线平行，所以直线的法向量与所求直线垂直，由直线方程的点法式，可得所求直线方程为 3(,3)，7[,(,4)],0， 即 3，7，19,0. 四、课堂练习 1(第11页练习A第1题. 2((先让学生看书审题，然后教师提问，学生口答)已知直线:，，,0分别说出向量(、)、(,，)、(，,)与直线的关系. 3(求过点，且平行于直线的直线方程:(用幻灯投影，找一位学生黑板前板书) (1)(5，2)，:3,，1,0; (2)(,3，,4)，:，,0. (用投影，让学生审题后，找一位学生口答所得方程，先求点法式，然后再转化为一般式.) 4(求过点，且垂直于直线的直线方程:(出示投影后，将学生分成三组，分别用点向式、点法式和一般式求解.) (1)(,2，1)，:3，,3,0; (2)(2，0)，:,3,4,0. (找学生口答所求方程.) 五、课堂小结 用投影出示小结内容，教师口述分析. 注 在本节正式提出直线的一般式方程后，求直线方程不管用什么式，最后一般都要化成一般式，这 一点要注意. 六、布置作业 1(看书第9,11页，9.1.4直线的一般式方程. 2(书面作业:第11页练习A第2题，第3题，第24页习题9,1A第5题. 课题:9.1.4 直线的一般式方程. 教学目标:1(理解直线与二元一次方程的关系 2(理解直线的一般式方程，能由直线的一般式方程的系数直接写出的它的一个方向向量和一个法向 量，反之，已知方向向量或法向量，也能直接写出直线方程中和的系数. 3(会由直线的一般式方程，求出该直线的斜率和在两坐标轴上的截距. 4(培养学生数形结合和转化的思想，培养学生逻辑思维能力. 5(渗透辩证唯物主义思想教育. 教学重点:直线与二元一次方程的关系和直线的一般式方程. 教学难点:直线与二元一次方程的关系 教学方法:启发式讲授法. 教学过程: 一、复习提问 1(什么叫直线的法向量, 2(已知直线过点(，)，又知它的一个法向量为,(，)，那么它的点法式方程是什么, 二、导入新课 前几节我们学习了直线的点向式方程，点斜式方程，点法式方程，大家还记得吗，我们用这些不同的方程求出直线的方程后，都可整理成一个统一的形式，即 ，，,0(其中，，为常数，，不全为零). 这样形式的直线方程就是我们今天所研究的:直线的一般式方程(板书课题9.1.4直线的一般式方程) 三、讲授新课 1(直线与二元一次方程的关系，直线的一般式方程. 大家知道，任何一条直线都可以由其上不同的两点所确定.我们取其上一个点，及其上两个不同的点所确定的一个向量为方向向量，就可以写出它的点向式方程.我们知道直线的点向式方程是一个二元一次方程.因此可以说，每一条直线方程都是一个关于，的二元一次方程.(这个结论要重点板书在黑板上.) 反过来，我们要问，是否每一个二元一次方程的图象都是直线呢,下面我们来研究这个问题. 关于，的二元一次方程的一般形式为 ，，,0 (，不全为零). (1) 设(，)是方程的一个解，得 ，，,0.(2) (1),(2)得 (,)，(,),0. (3) 建立直角坐标系(图9,8)，作(，)，,(，)，方程(3)就是通过点，并与向量垂直的直线方程.又因方程(1)和(3)是同解方程，因此，我们得到结论: 关于，的二元一次方程 ，，,0 (，不全为零) 的图象是一条直线. 我们把这个方程叫做直线的一般式方程. 因为每个二元一次方程的图象都是一条直线，所以把直线的方程就叫做直线，，,0. 2(由上述结论的证明过程，还可以得到: (1)向量,(，)为直线，，,0的法向量，向量,(，,)或(,，)为这条直线的方向向量. (2)由关于，的二元一次方程 ，，,0(，不全为零) 的图象是一条直线和前面所得的结论:每一条直线的方程都是一个关于，的二元一次方程，表明了在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线的一一对应关系.这样，我们就可以把研究直线的几何问题转化为研究二元一次方程的代数问题. 3(例题 例10写出下列直线的一个法向量和一个方向向量: (1)3,4,1,0; (2)2,3,0; (3)3，1,0. 解:(1)直线的一个法向量为(3，,4)，一个方向向量为(,4，3); (2)直线的一个法向量为(2，0)，一个方向向量为(0，2); (3)直线的一个法向量为(0，3)，一个方向向量为(3，0). (此例的教法为用投影仪打出，或用小黑板把题目和解都写出，让学生看.)总结: 给直线方程的一般式，要求它的法向量和方向向量，一般先写出直线的法向量，然后由垂直向量坐标之间的关系，只要保证内积为零而写出一个方向向量就行了. 例13 求通过点(,2，5)，且与直线:4,3，9,0垂直的直线方程. 分析:与直线垂直，即与的法向量平行，即的法向量，可作为所求直线的方向向量，于是可用直线的点向式方程;如果求出的一个方向向量，则这个方向向量可作为所求直线的法向量，所以此题也可用直线的点法式方程来作. 重点在引导学生来分析，解法可以很快的写出来. 解:因为向量(4，,3)与直线垂直，所以向量(4，,3)与所求的直线平行.由点向式方程，可得直线方程为 . 整理，得直线方程 3，4,14,0. 例14 求过点(1，,4)，并且与向量,(3，2)垂直的直线方程. 分析:所求直线与向量,(3，2)垂直，所以,(3，2)是它的一个法向量，又知它过点(1，,4)，显然可以直接用直线的点法式方程作.但若用待定系数法作，此题可以用条件与向量,(3，2)垂直，即是它的一个法向量再由直线的一般式方程中，的几何意义而设所求直线方程为3，2，,0，再用直线过点将求出.此题也可以由过点(1，,4)用点斜式方程，将斜率作为待定系数把方程设出来，然后再用直线与向量垂直，把斜率求出来.教材中用的是待定，主要考虑结合本节知识内容. 解:因为向量,(3，2)与所求直线垂直，所以是所求直线的一个法向量.因此，可设所求直线的一般式方程为 3，2，,0， 其中待求. 又直线过点(1，,4)，代入方程(1)，解得,5. 所以所求直线方程为 3，2，5,0. 四、课堂练习 第11页 练习A第1(2)、(3)，3(1)题，练习B第2题. 五、课堂小结 用投影仪打出小结内容. 1(直线的一般式方程，，,0(，不全为零)，向量,(，)是它的法向量，向量, (，,)或(,，)为这条直线的方向向量. 2(在平面直角坐标系中，二元一次方程与直线一一对应.若直线的方程是，，,0，则说直线，，,0. 六、课外作业 1(复习课文9.1.4直线的一般式方程. 2(书面作业:第24页习题9,1A第21题，第11页练习A第1(1)、(4)，2，3(2)题. 3(预习作业:预习9.2.1两条直线平行或重合的条件. 注视学生的实际情况，本教案也可调整为两课时，第一课时重点讲授概念，第二课时重点解决例题，这样的话，教材中例11也可安排进来，不过例12最好放到9.2.4两条直线交点一节中去.实质上，直线在，轴上的截距就是求它与两坐标轴(直线,0和直线,0)交点的问题.另外第二课时也可以多安排练习题，有利于培养学生的能力.