递归数列通项公式的求法
确定数列的通项公式,对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决
数学
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竞赛中有关数列问题的关键,本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义:对于任意的,由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方程,由阶递归关系及给定的前项的值(称为初始值)所确定的数列称为阶递归数列。若是线性的,则称为线性递归数列,否则称为非线性递归数列,在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法:
一.公式法
(1)设是等差数列,首项为,公差为,则其通项为;
(2)设是等比数列,首项为,公比为,则其通项为;
(3)已知数列的前项和为,则。
二.迭代法
迭代恒等式:
;
迭乘恒等式: ,()
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题:
类型一:已知,求通项;
类型二:已知,求通项;
三.待定系数法
类型三:已知,求通项;
四.特征根法
类型四:设二阶常系数线性齐次递推式为(),其特征方程为,其根为特征根。
(1)若特征方程有两个不相等的实根,则其通项公式为(),其中A、B由初始值确定;
(2)若特征方程有两个相等的实根,则其通项公式为(),其中A、B由初始值确定。
证明:设特征根为,则
所以====
即是以为公比,首项为的等比数列。
所以,所以
(1)当时,则其通项公式为,其中,;
(2)当时,则其通项公式为,其中
求递推数列通项的特征根法
一、形如是常数)的数列
形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为…①
若①有二异根,则可令是待定常数)
若①有二重根,则可令是待定常数)
再利用可求得,进而求得
例1 已知数列满足,求数列的通项
解:其特征方程为,解得,令,
由,得,
例2已知数列满足,求数列的通项
解:其特征方程为,解得,令,
由,得,
二、形如的数列
对于数列,是常数且)
其特征方程为,变形为…②
若②有二异根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值。
这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得
若②有二重根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值。
这样数列是首项为,公差为的等差数列,于是这样可求得
例3已知数列满足,求数列的通项
解:其特征方程为,化简得,解得,令
由得,可得,
数列是以为首项,以为公比的等比数列,,
例4已知数列满足,求数列的通项
解:其特征方程为,即,解得,令
由得,求得,
数列是以为首项,以为公差的等差数列,,
五.代换法
代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等,其中代换相消法可以解决以下
类型五:已知,,求通项。
六.不动点法
若,则称为的不动点,利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系,从而达到求解的目的。
类型六:(1)已知,且,求通项;
(2)已知,求通项;
七.数学归纳法
八.构造法
典例分析
例1.数列{an}中,a1=1,an+1>an,且成立,求。
例2.已知正数数列满足:,其中,求。
例3.已知数列{an}满足:,求。
例4.已知,证明:该数列中的一切数都是整数。
例5.已知,求。
例6.数列满足,且,求的通项公式。
例7.已知,求。
例8.数列满足,求。
例9.已知,求的通项公式。
例10.已知数列满足:,且,求的通项公式。
例11.若数列的前项和为,且满足,求的通项公式。
拓展:若数列的前项和为,且满足,求的通项公式。
(参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:,其中)
例12.设数列满足:,且,,
证明:(……)是完全平方数。
练习题:
1.已知数列满足,求数列的通项
2.已知数列满足,求数列的通项
3.已知数列满足,求数列的通项
4.已知数列满足,求数列的通项
练习答案:
1.解:其特征方程为,解得,令,
由,得,
2.解:其特征方程为,解得,令,
由,得,
3.解:其特征方程为,化简得,解得,令 由得,可得,数列是以为首项,以为公比的等比数列,,
4.解:其特征方程为,即,解得,令 由得,求得,
数列是以为首项,以为公差的等差数列,,