利用系综理论求弗伦克尔缺陷

利用系综理论求弗伦克尔缺陷利用系综理论求弗伦克尔缺陷 * 倪致祥 ( 阜阳师范学院物理系，安徽阜阳 236032 ) 利用各种系综分布方法处理了晶体中的弗伦克尔缺陷问题，发现结果在热力学意义上完全等效。系综理论，弗伦克尔缺陷 O414 1 弗伦克尔缺陷是非理想晶体的常见现象，在固体物理的研究中有重要意义。在通常的教学参考资料中，这个问题都是用统计热力学的方法处理 [1]的。按照统计物理学，最一般的处理方法应该是系综理论。达到平衡时孤立系统服从微正则分布，封闭系统服从正则分布，开放系统服从巨正则分布。根据系统与...

利用系综理论求弗伦克尔缺陷 * 倪致祥 ( 阜阳师范学院物理系，安徽阜阳 236032 ) 利用各种系综分布方法处理了晶体中的弗伦克尔缺陷问题，发现结果在热力学意义上完全等效。系综理论，弗伦克尔缺陷 O414 1 弗伦克尔缺陷是非理想晶体的常见现象，在固体物理的研究中有重要意义。在通常的教学参考资料中，这个问题都是用统计热力学的方法处理 [1]的。按照统计物理学，最一般的处理方法应该是系综理论。达到平衡时孤立系统服从微正则分布，封闭系统服从正则分布，开放系统服从巨正则分布。根据系统与外界的关系，我们可以利用不同的分布函数来研究非理想晶体的弗伦克尔缺陷问题。 2 N个原子有规则地排列形成一个理想晶体。如果其中的原子脱离晶体的晶格位置而跑到晶格的空隙（填隙位置）中，原来的理想晶体就出现了缺陷，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。通常原子能够占有的填隙位置的数目 N’与晶格位置数N具有同样数量级，可以假定N’ = q N ，其中q～1为比例系数。为了简单起见，设一个原子从晶格位置移到填隙位置所需要的能量为常数u。在上述简化的非理想晶体模型下，较容易研究晶体中弗伦克 [2]尔缺陷的数目n与温度T的关系。 * 安徽省教育委员会资助课题 1 3 3.1．微正则分布把晶体看成孤立系统，应采用微正则分布方法。当系统出现n个弗伦克尔缺陷时，N个晶格点阵位置有n个是空位；N’个晶格填隙位置有n个被原子占据。如果忽略边界效应，系统的状态数W为 N!N'!Wn(),, ， (1) nNn!()!,nNn!(')!, 系统由于原子填隙而增加的总能量为． (2) Ennu(), 在一般情况下有n << N，利用斯特林公式，(1)式可化为 ln!lnxxxx,, ln()ln(')ln!WnnNNn,,,2 ． (3) 对于常温下的宏观物体，有1 << n，(3)式可进一步化简为 ln()ln(')lnWnnNNnnn,,,，22 ． (4) 由(2)和(4)两式，不难得到系统的微正则配分函数的对数 ln(,,)(/)ln(')(/)[ln(/)]WNEVEuNNEuEu,,,,21 ． (5) 由统计热力学公式可得 ,ln(,,)WNEV ,,,,,ln(')ln(/)/NNEuu2 ， (6) ,,,E 上式容易化成 EuNNu,,,'exp(/),2 ， (7) 即 nNNukT,,,'exp(/)2 ． (8) (8)式给出了孤立系统晶体中弗伦克尔缺陷的数目n与温度T的关系。 2 3.2．正则分布把晶体看成与大热源平衡的封闭系统，应采用正则分布方法。正则配分函数为 ZNVEWnEn(,,)exp()()exp[()],,,,,,, ． (9) ,,SSn 利用公式(2)和(4)，我们有 1,,unZNV(,,),,(')NNe ． (10) ,nn!!n 上式求和中的主要贡献在于n取较大值的项，对n!利用斯特林公式，我们不难算出 1n4ZNV(,,),,,,NNu'exp(),,,2()!nn ． (11) 122,,exp'exp(/)NNu,,,2 由统计热力学公式我们得到 ,,ln(,,)ZNVE,,,,,uNNu'exp(/),2 ， (12) ,, 上式容易化成 nNNukT,,,'exp(/)2 ． (13) (13)式给出了封闭系统晶体中弗伦克尔缺陷的平均值与温度T的关系。 3.3．巨正则分布方法把晶体看成与大热源和大粒子源平衡的开放系统，应采用巨正则分布方法。巨正则配分函数为 ,(,,)exp()(,,)exp(),,,,,,VNEZNVN,,,,, ． (14) ,,,SNSN 利用公式(11)和关系式N’ = q N，我们不难算出 3 ,11,,u/2 ． (15) ,(,,)exp(),,,Vqe,,,12,,2 由统计热力学公式可得 ,,u/2exp()2,qe,,,,ln(,,),VN,,,,u,/2,,12,,exp()qe, ． (16) ,,uu//,,22uqeqeexp())2,,ln(,,),,,,VE,,,,u/2,,,12,,exp()qe, 由上式可以解出 ,,u/2 ， (17) EuqeN,, 等价于． (18) nNNukT,,,'exp(/)2(18)式给出了开放系统晶体中弗伦克尔缺陷的平均值与温度T的关系。 4 上面我们用三种不同的统计系综方法计算了非理想晶体中弗伦克尔缺陷的数目与温度T的关系，发现算出的缺陷数完全相同。这表明在晶体的热力学问题上这些方法是完全等价的。从原则上来说，这三种分布描述的是三种不同系统的统计分布规律；但是在实际上，只要系统本身足够大，一般涨落并不显示出宏观效应。因此在实际计算中，把一个系统看成遵从 []1哪个分布差别是不大的。 4 参考文献 [1] 上海市物理学会教学研究委员会．理论物理习题集．上海：上海科学技术文献出版社，1983． 290 [1] 马本，高尚惠，孙煜．热力学与统计物理学（第二版）．北京：高等教育出版社，1994． 285 [2] 汪志诚．热力学?统计物理（第二版）．北京：高等教育出版社，19 93． 271豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C文档销售与分享社区。豆丁允许用户上传包括 .pdf, .doc, . ppt , .txt 在内的数十种格式的文档文件，并以Flash Player的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档版的Youtube。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全球最大的中文图书馆。豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现在，我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播，在分享的同时获得收入回报。 5

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