小概率事件原理与应用【论文】

小概率事件原理与应用【论文】 《数理统计》课程 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 题目 小概率事件原理与应用 姓名 学号 成 绩 指导教师 小概率事件原理与应用 摘要:小概率事件原理是概率论中一个基本且实用的原理。本文从常见问题出发，探讨了此原理在概率论中的应用，并通过一系列实例介绍了它在生活领域的应用。 关键词:小概率事件;小概率事件原理;假设检验;Bayes统计 1.小概率事件原理及其推断方法 小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论。在概率论中将概率很小(小于0.05)的事件叫做小概率事件。小概率事件的原理又称为似然推理，即:如果一个事件发生的概率很小，那么在一次试验中，可以把它看成是不可能事件。设某试验中出现事件的A概率为，不管，0如何小，如果把试,, 验不断独立地重复下去，那么迟早必A然会出现一‎‎次，从而也必然会出现任意 1,,多次。AA因为第一次试验中不出现的概率为，前次都不出现的概率为n n(1,,), nA因此前次试(1,,)验中至少出现一次的概率为,当时，概率趋近1,n,,n AA于1，这表示迟早出现一次的概率为1。出现以后，把下次试验当作第一次 A，重复上述推理，可见必然再次出现。小概率事件原理是统计假设检验中拒绝还是接受原假设的依据，也是人们在实践中 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出来而被广泛应用的一个原理。 小概率事件原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先根据问题提出假设，然后根据一次实验的结果进行计算，最后按照一定的概率 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 做出鉴别。若小概率事件出现了，则拒绝假设;若小概率事件没发生，则不拒绝假设。 2.小概率事件迟早会发生 小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将 A会发生。下面我们将 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 这一结论。在随机试验中，设事件出现的概率为,， AP(A),,设A表示“在第k次试验中出现”，则，，在前次相互P(A),1,,kkk A独立的试验中一次都不出现的概率为n nP(AA？A),P(A)P(A)？P(A),(1,,)，则在前次相互独立的试验中至n1212kk nA,少出P,1,P(AA？A),1,(1,,)现一次的概率为，无论如何小，当n12k 时，1，这说明小概率事件迟早会发生。 ,,P,nn 3.小概率事件和不可能事件之间的区别与联系 小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来 所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事讲，是有区别的。 件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可能事件。而随着社会的不断进步和发展，人的能力与素质的不断提高，有些不可能事件可能会转变成为小概率事件。比如，一直让我们引以为豪的110米栏的跨栏项目，在2006年7月12日之前，打破12秒91的世界纪录是一件不可能事件，但是，在7月12日这一天，我国运动员刘翔跑出了12秒88的好成绩，成功打破了12秒91的世界纪录这一事件，由一不可能事件转换成一小概率事件。 4.经典的小概率事件研究 现在我们来做一件有趣的事情，来算一下在生活中我们每个人交到朋友的 假设:我们平均每天遇到135人(哪怕是在我们眼前一闪而过的陌生概率。 人)，平均一年就有49275人，能成为朋友的:如果从一般意义上讲的朋友，按每年遇到50人算，那么我们的每一个朋友都是在碰到985人之后的那个人。地球上有60亿人，而且还将不断增长下去，相遇是如此小概率的事件。能成为某种意义上的好朋友的:按每年10人算，那么我们需要碰到4927个人，才能得到这样一位好朋友。能成为一生的爱人的概率呢,假设有缘的那个人是我们从18岁到28岁10年间碰到的人当中的一个，那么10年间，有幸碰到的人约有492750人，异性占其中的一半246375人，其中自己喜欢的，或是有好感的也许有10个人，喜欢自己的也算上10个人，那么她(他)将是碰到过123187人之后才有的一个;或许我们可以最后从这20个人中求一个交集，找到那个既爱自己的，而自己又爱的人。可是为了能等到这个世界上唯一的属于我的人，擦肩而过的，已经有246375人之多。看到这里，你可能会沮丧，但上帝说:“人人都会发生小概率事件，因为有伯努利实验模型”。伯努利实验模型:。根据伯k,0,1,2，？n努利实验模型，假设我们遇见自己心爱的人的概率是0.00001，但是由于我们每天都在坚持不懈地重复试验(我们每天都在遇见不同的人)，我们最终能遇见她(他)的概率还是很大的。假设我们每天遇见135个不同的人(即做135 135，365,49275次试验)，一年我们就做了次重复试验。(为了计算方便用 P,50000，0.00001，0.606535,0.303267550000次)，这就是我们在一年内遇到我们心爱的人的几率。还是很值得期待的。从上面的解题过程中我们可以看到 ，用概率方法去解决问题时，必须先建立能与问题联系起来的概率模型，然后应用概率的性质、定理或是结合其他知识来解决它。 5.小概率事件原理的应用 小概率事件在生活中经常会遇到，例如:如一个人成为亿万富翁的概率固然非常小，但上亿人中至少有一个亿万富翁就几乎是必然的了。人的一生有许, 多巧遇，聪明的人善于抓住好机会，避免坏机会。衡量“巧”的尺度就是概率的“小”。 我们分析小概率事件是为了更好的利用它，控制其发生的条件，使它朝着我们所期望的方向发展，避免破坏性的小概率事件的发生。下面我们通过实例来说明小概率事件原理在人们生活中的应用。 例1 某厂有一批产品，共有200件，经检验合格才能出厂。按国家标准，次品率不得超过1%，今从中任抽5件，发现这5件中含有次品。问这批产品是否能出厂,(小概率事件在假设检验中的应用) 解:设这批产品的次品率为p，问题化为:如何根据抽样的结果来判断不等式“”是否成立, p,0.01 要检验的假设是“”。首先，我们假定成立，此时，200件p,0.01p,0.01 中最多有两件次品，从中任取5件，令A“没有取到次品”，由古典概型知 55,CC/当200件中有2件次品时198200,55 PACC(),/当200件中有1件次品时,19920055,CC/当200件中有没有次品时200200, 显然， 5C198，197，？，194198P(A),,,0.95 5200，199，？，196C200 从而，任抽5件，出现次品的概率 ,1,P(A),1,0.95,0.05 以上结果说明，如果“A”，那么平均在100回抽样中，事件=“任p,0.01 A取5件，出现次品”，最多出现5回。也就是说，在一次抽样中，将很少遇到 发生。由小概率原理可知，小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的，如果在一次试验中，某个小概率事件竟然发生了，那么就认为这是一种反常现 A象。然而现在的事实是，在一次具体的抽样实践中，竟然发生了，这是“不合 p,0.01情理”的。为什么会出现这种情况呢,其根源在于我们假定了，因此 “”的假设是不能接受的。这只能说明该产品次品率不止0.01，故判p,0.01 断不能出厂。 例2 对某工厂的产品进行质量检查，现从一批产品中重复抽样，共取200件样品，结果发现其中有4件次品，问我们能否相信此工厂生产的产品的次品率不超过0.005, 解:首先我们假设此工厂产品的次品率为0.005，一件产品被抽出之后只有两种可能的结果，要么是次品要么不是次品，因此取200件产品相当于200次独立重复试验，所以由贝努力概率模型可知，200件产品中出现次品的概率为 441960.015P=C? 0.005(1,0.005)200 根据小概率事件原理可知，概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，所以我们可以认为该工厂的次品率不超过0.005不可信。 例3 某车间有12台车床，由于种种原因，每台车床有时需要开，有时需要停。设每台车床的开或停是相互独立的，若每台车床停车的概率是1/3，问车间里恰好有K台车床处于停车状态的概率是多少, 解:将观察12台车床的开停情况看作是进行12次试验。因各台车床的开与停是相互独立的，故可看作是12次独立试验。每次试验只有“停”或“开”两种可能的结果，故所求的概率为 k12,k k12P(k),C，k,0,1,2？12()()121233 对于不同的k，计算结果如表1(精确到小数点后6位)。 表1 k取1,12 K K P(k)P(k)1212 0 0.007707 7 0.047689 1 0.046244 8 0.014903 2 0.127171 9 0.003312 3 0.211952 10 0.000497 4 0.238466 11 0.000045 5 0.190757 12 0.000002 6 0.111275 从表1可以计算出停车台数不超过1的概率为 1 p(k),p(0)，p(1),0.053951,121212,k0 停车台数超过7的概率为 12 p(k),p(8)，p(9)，P(10)，P(11)，P(12),0.018759,121212121212,k8 由此可见，“停车台数不超过1”和“停车台数超过7”都是小概率事件。这个结论是在停车概率假定等于1/3的前提下得到的，利用这一推断在实地观察中可以反过来检验停车概率为1/3的假设是否正确。如果在一次观察中小概率事件“停车台数不超过1”或“停车台数超过7”竟出现了，这是反常的，因此可以认为原来假定停车概率为1/3是不对的。 例4 假设某篮球运动员投篮的命中率为0.7，如果比赛开始后其连续投篮5次，命中次数不超过1次，可否认为该运动员尚未进入状态，试为教练提供理论依据。 X解:可假定5次投篮为相互独立的5次试验，用表示命中的次数，则 kk5,k，其概率分布为，则5次命中X~B(5,0.7)P(X,k),C0.70.3(k,0,1,2,3,4,5)5 0050次得概率为，5次命中一次的概率为P(X,0),C0.70.3,0.002435 114 P(X,1),C0.70.3,0.028355 综上可知命中次数不超过一次的概率为 P(X,0)，P(X,1),0.02835，0.00243,0.03078 这是一个小概率事件，几乎是不可能发生的，而在一次试验中发生了，所以我们有理由认为该运动员不在状态，此时，他的命中率要小于0.7。 例5 有52张洗均匀的扑克牌，把牌分给4个人。如果某人断言这4个人在一次发牌中每人将得到13张同一花色的牌，你认为这正常吗, 解:事实上，将52张牌分给4个人，每人得到13张同一花色的牌的概率为 4(13!),284!,4.47，10 (52)! 这个数值是非常小的，此事件即为小概率事件，现在某人竟然断言这样的小概率事件在一次发牌时就会出现，则自然认为这是不正常的，我们怀疑其在发牌时有作弊行为。所以也借此警告赌徒们:赌局危险，回头是岸～ 例6 小概率事件原理在Bayes统计中的应用 下面是英国统计学家Savage曾考察的两个著名的统计实验 A:一位常饮牛奶的女士称她能辨别先倒入杯子里的是茶还是牛奶，对此做了十次试验她都答对了。 B:一个音乐家声称他能从一页乐谱辨别是Haydn还是Mozart的作品，十次试验中他都能正确辨别。 在这两个统计实验中，假如认为被实验者是在猜测，每次成功的概率为 ,100.5，那么十次都猜中的概率为。这是一个很小的概率事件，2,0.0009766 是几乎不可能发生的，所以此假设应该被拒绝。被实验者每次成功的概率要比0.5大得多，这就不是猜测，而是他们的经验帮了他们的忙，可见经验——先验假设是一种在推断中不可忽视的重要手段，我们应该加以利用。 Bayes统计就是基本信息、总体信息、样本信息和先验信息的统计推断，通过小概率原理可知，先验信息在统计推断中起着非常重要的作用。Bayes统计重视出现的样本观察值，即重视对先验信息的收集、挖掘和加工，使之数量化，形成先验分布，参加到统计推断中来，从而提高了统计推断的质量。 6.学会识别利用小概率事件设置的陷阱 上面我们曾介绍过纸牌游戏中的小概率原理，不只是赌局，生活中也有很多类似的陷阱，让人防不胜防。 我们经常见到街头摸奖的骗局，为什么说它是骗局呢,我们在此用一个常见的例子分析一下:我们不妨来看看下面的彩球游戏。准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，12个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为: 6个全红 赢得100元 5红1白 赢得50元 4红2白 赢得20元 3红3白 输掉100元 2红4白 赢得20元 1红5白 赢得50元 6个全白 赢得100元 如果你摸出了3红3白则输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而不用花钱，怎么样,动心了吗,,注:这个规则有时称为“袋子”模型,乍一看，此规则似乎处处对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次。然而，顾客一个个都免不了扫兴而去，一连十几个人各试了5次，结果都以失败告终，每人输的钱在60元到130元不等，而且试的次数 越多，输的越多。 其实，我们想一想也该明白，天下哪有免费的午餐呢,但要知道为什么会输就要用到我们的概率知识了，要弄清这个问题并不难，我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性，也就是输赢规则中7种情况各自出现的概率大小。 用概率论的语言说，假如7种情况是等可能的，则赢的机会为6/7，输的机会仅为1/7，摸7次有6次都应该赢。但游戏的妙处就在于这7种情况的发生不是等可能的。由于球的形状、大小、重量等完全一样，所以在我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的，任意摸6个球，不论红或白，共有36种可能，由此就可以计算出摸到3红3白的概率为100/231。可见，输钱的可能性约占0.5，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗，这7种情况出现的概率如下所示: 结果 出现的概率 6个全红 1/924 5红1白 3/77 4红2白 75/308 3红3白 100/231 2红4白 75/308 1红5白 3/77 6个全白 1/924 很显然，上面7种情况的概率加起来是1，它们把全部的可能性100%进行了不均等的概率分配，从中还可以看出，要想摸出“6个全红”或“6个全白”的可能性仅为0.1%，相当于1000次中只有1次会赢100元，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，基本上是不会发生的，而摸到3红3白的可能性为43.2%，即几乎每两次就有一次可能出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因。 事实上，这种摸奖是一种“机会游戏”，大多数人都败兴而归就是由于商家利用了小概率事件的原理，在这种游戏中中奖的概率很小，商家肯定是赚钱的。这就告诉我们，遇到诱惑时，要谨慎行事，一般来说，诱惑越大的游戏，就越能使人输钱，以至于倾家荡产。 当我们正确认识小概率事件以后，就能够警惕这些利用小概率事件设置的陷阱，在生活中趋利避害。 7.结论 通过以上对小概率事件的分析可知，小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理。虽然小概率事件在一次试验中不可能发生，但我们也不能忽视小 概率事件，事件重复的次数多了，小概率事件迟早也会发生。但我们也不需要把注意力总是停留在小概率事件的极端个别现象上。小概率事件原理的应用是十分广泛的，它是概率论的精髓，是统计学发展、存在的基础，它使得人们在面对大量数据而需要做出分析与判断时，能够依据具体情况的推理来做出决策，从而使统计推断具备了严格的数学理论依据。 参考文献 [1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社， 2004. 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