二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下:
1.二元函数的无条件极值
(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点,难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。
(2)二元函数取得极值的必要条件: 设
在点
处可微分且在点
处有极值,则
,
,即
是驻点。
(3) 二元函数取得极值的充分条件:设
在
的某个领域内有连续上二阶偏导数,且
,令
,
,
,则
当
且 A<0时,f
为极大值;
当
且A>0,f
为极小值;
时,
不是极值点。
注意: 当B2-AC = 0时,函数z = f (x, y)在点
可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论
例1 求函数z = x3 + y2 -2xy的极值.
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值.
【解】先求函数的一、二阶偏导数:
,
.
,
,
.
再求函数的驻点.令
= 0,
= 0,得方程组
求得驻点(0,0)、
.
利用定理2对驻点进行讨论:
(1)对驻点(0, 0),由于A = 0, B =-2, C = 2,B2-AC
0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点.
(2)对驻点
,由于A =4, B =-2,C = 2,B2-AC =-4
0, 且A
0,则
为函数的一个极小值.
例2:(2004数学一)设z=z(x,y)是由
确定的函数,求
的极值点和极值.
【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合,计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。
【解】 因为
,所以
,
.
令
得
故
将上式代入
,可得
或
由于
,
,
所以
,
,
,
故
,又
,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点,极小值为z(9,3)=3.
类似地,由
,
,
,
可知
,又
,从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点,极大值为
z(-9, -3)= -3.
【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。
2.二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法:设
某领域内有连续偏导数,引入辅助函数
解联立方程组
得
可能是
在条件
下的极值点
例3经过点
的所有平面中,哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小.并求此最小体积.
【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。
【解】设所求平面方程为
.
因为平面过点
,所以该点坐标满足此平面方程,即有
. (1)
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V, 则
. (2)
原问题化为求目标函数(2)在约束条件(1)下的最小值.作拉格朗日函数
.
求函数L的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
由此方程组和(9)解得a = b = c = 3.
由于最小体积一定存在.又函数有惟一的驻点.故a = b = c = 3为所求.即平面
x + y + z = 3.
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小.最小体积为
例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告,收入
万元与电视广告费
万元及报纸广告费
万元之间的关系为:
.
⑴ 在广告费用不限的情况下,求最佳广告策略;
⑵ 若提供的广告费用为总额1.5万元,求相应最佳广告策略.
【解】⑴ 利润函数为
,
求函数L的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
解得
,
.则
为
惟一的驻点.
又由题意,
可导且一定存在最大值,故最大值必在这惟一的驻点处达到.所以最大利润为
万元.
因此,当电视广告费与报纸广告费分别为
万元和
万元时,最大利润为
万元,此即为最佳广告策略.
⑵ 求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略,即为在约束条件
下, 求
的最大值.作拉格朗日函数
.
求函数
的各个偏导数,并令它们为0,得方程组:
并和条件
联立解得
,
.这是惟一的驻点,又由题意,
一定存在最大值,故
万元为最大值.
【评注】 本题也可由
,解得
,代入目标函数转换成一元函数求解。
3.二元函数的最值
二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。
例5:(2007数学一)求函数
在区域D上的最大值和最小值,其中:
。
【分析】 由于D为闭区域,在开区域内按无条件极值分析,而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为
,
,解方程:
得开区域内的可能极值点为
.
其对应函数值为
又当y=0 时,
在
上的最大值为4,最小值为0.
当
,构造拉格朗日函数
解方程组
得可能极值点:
,其对应函数值为
比较函数值
,知f(x, y)在区域D上的最大值为8,最小值为0.
【评注】当
,
代入目标函数转换成一元函数求解更简单。
例3:(2005数学二)已知函数z=f(x,y) 的全微分
,并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
上的最大值和最小值.
【解】 由题设,知
,
,
于是
,且
,从而
,
再由f(1,1)=2,得 C=2, 故
(下略)
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