求极限的方法
教学,重要的不是教师的“教”,而是学生的“学”
heda2007@163.com
浅谈微积分中求极限的方法
孟凡洲
(河南大学数学与信息科学学院 开封475004) 摘 要 极限是微积分的一条基本线索~本文概述了微积分中几种常用的求极限的方法:利用极限的定义验证极限,利用单调有界定理求极限,利用初等变换求极限,利用夹逼性求极限,利用两个主要极限求极限,利用洛必达法则求极限,利用等价量代换求极限,利用定积分求极限,利用上下极限法求极限,利用压缩性条件求极限,利用递推公式求极限,利用泰勒展开式求极限等.
关键词 极限;洛必达法则;单调有界.
1利用数列极限的定义验证极限
利用极限的定义验证极限,应先根据极限的唯一性求出
[1]在极限,然后再证明极限的存.
22n,12lim例1 求=. 2n,,33n,2
解 因
2222n126n36n47111,,,,3,,,,,,,222233n3n23(3n2)3n23n,,,
1要证: ,,,0,,,n
1
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1只需证: n,,
,,11n,N,1N=max 因此 只要 既有: n,,,,,,,
所以,
2212,n0,,,,,,,,有:,,,NnN,2332,n 22n12,即:lim,2,,n33n2,
2利用单调有界定理求极限
利用单调有界定理求极限的依据是单调有界数列必有
所以我们在求极限时一般分三个步骤:1 证单调性 2 极限.
证有界性 3 设出极限,求解关于极限的方程.
2x(x,3a)nn例2 证明序列 的极限x,0,x,(a,0)n0,123x,an
limx存在,并求. n,,n
2x(x,3a)f(x)证明 令= 23x,a
223(x,a)'则: f(x),,022(3x,a)
f(x)x,f(x)故,由及的单调递增性知: n,1n
x,xx,f(x),f(x),x(1)若 ,则 102101
x,f(x),f(x),xn,kx,x设时 则 kk,1k,1kk,1k
2
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2(3)xx,annx,x,x由归纳法可知: 于是 n,1nn23x,an
2x,a即 n
x,x,0x,x,a显然: 故 . n00n
,,,,xx于是:单调递增且有上界,于是收敛,我们记收敛nn
0,x,x,a于,则 x0
2x(x,3a)nn于是在中取极限值,得: x,(a,0)n,123x,an
2x(x,3a)a 可得 而. limx,ax,x,n2,,n3x,a
x,x(2)时 10
x,x(n,0)则同理可证: n,1n
2(3)xx,a2nn,xx,a于是: 即 nn23x,an
x,0a,x,x显然 故 nn0
,,x故 单调递减,且有下界,故收敛. n
同样可知 limx,a. n,,n
3 利用初等变换求极限
x利用初等变换是将变形,然后求极限。利用初等变换n
求极限也是求极限的一个重要方法,应该熟练的掌握。利用初等变换求极限时要注意变形的准确性,要做有利于解题的
3
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xxxxx例3 设= 求. limx?coscoscoscosnn23n,,n2222
xn2sinn2解 两边同乘以 ,则可以得到: xn2sinn2
xxxxx= ?coscoscoscosn23n2222
sinx= xn2sinn2
nxxx2sinsin =. ,,nxxxsin2
4 利用夹逼性定理求极限
Nn,N夹逼性是指若存在自然数,当时,恒有x,y,z若limx,limz,a 则 limy,a,利用夹逼nnnnnnn,,,,,,nn
x性求极限时,应注意将做适当的放大或缩小. n
例4 求极限
n12,,,. lim(...)222n,,n,n,n,n,n,n,n12
解 记
n12G,,,, ...222n,n,n,n,n,n,n12
则
1,2,3,,,,,n,,,,,,,n123. ,G,22n,n,1n,n,n
又
4
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n(n1)n(n1),,1 limlim,,22n,,n,,22(nnn)2(nn1),,,,
1从而 ,. limGn,,2
1nn例5 . 求lim(n,1),,n
解 由:
n1n1,,nn1,,,,12n1,2n1nnnlnnlnnlnn?1(n)(n)(n),,,,nnn?1eee,,,,
n12(n1)2,,,,,123n1,2(n1)lnnlnn,,?1lnnlnnlnnlnn,,,,,nnnn
从而
12n ,n,1,,42lnnn
不等式两边同时开次得: n
11nnn ,(n,1),42n(n)
因为
nnlimn,1,lim4,1 n,,n,,
n1n由夹逼定理知:lim(n,1),1. n,,
5 利用两个重要极限求极限
两个重要极限是:
xsin1x(1) (2) . lim,1lim(1,),ex,0,,xxx
xsin其中第一种重要极限可理解为lim,1x,0x
5
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sin,1x,而第二种极限可以理解为lim,1lim(1,),e,,0,,x,x
11,,或者. lim(1,),elim(1,,),e,,,,,0,
两个重要求极限是求极限的一个重要手段。我们要根据题目中给出的条件灵活的选择适当的形式,以使运算更加
[2]捷便.
21n例6 求. lim(cos),,nn
解
112(cos1),,n1ncos1,211nn,,,,,lim[1(cos1)]lim[1(cos1)],,,,nnnn 11112[()],,,,,n;22112nncos1,,112ne,,,,,lim[1(cos1)],,nne
6 利用洛必达法则求极限
'f(x)利用洛必达法则求极限的时候应该注意到lim'x,x0g(x)
'f(x)f(x)f(x)limlim或不存在不能得出或也不存lim'x,xx,,x,,0g(x)g(x)g(x)
在.
洛必达法则是处理未定式极限的重要手段,且非常有
,00效.但它只能应用于()型和型的未定式.只要是()()00,
,型和型的,都可一直进行下去.每完成一次法则都要将(),
6
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00,0式子化简.而对于,,,,0,,,,,1,0等形式,需化为()0
,型和型的形式求解. (),
x22t2edt(),0例7 求 lim02x,,t2edt,x3
x2x2222tt4x22edt2eedt(),,00lim 解= lim20218x,,xx,,t2,3eedt,x3
2x2tedt4,0,lim = 214x,,x3e
44x42elim= ,214x,,x328xe
411= ,,lim210x,,x314xe
= 0
1,1nnln 证明:例8. lim(n,1),en,,
证明
7
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1nlnnlimln(n,1)n,,
1lnn1n,limln(e,1)n,,lnn
lnx1x,limln(e,1)x,,lnx
lnxx1,lnxx,lime() lnx2x,,xxe,1
lnxlnx1xx,lime(,1)lnxx,,lnxxe,1
t,,limtx,,e1,
,,1
1lnx,1nnln其中用了变量代换例 . t,,故lim(n,1),en,,x
Stolz7 利用定理求极限
Stolz定理是求分式数列极限的常用方法,是求极限的重
要手段.
,,y定理:设是单调增加的正无穷大量,n
x,xnn,1,,,,,(可以是有限量,),则alim,an,,y,ynn,1
xn . lim,ax,,yn
nklnC,n0,k,例 9 设 (其中Sn2n
8
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n(n,1),,,(n,k,1)k). C,n1,2,3,,,k
求 . limsn,,x
2n单调递增且趋近于,,Stolz解 因,应用公式,
1n,nkklnC,lnC1,,n,n00k,,k limlims,n22n,,n,,(n,1),n
kn,1Cn,1n,1ln,lnC,n,1kCk,0nlim= n,,n,1
nn,1ln,n,k,1,0k,lim ,,n2n,1
n,1
(n,1)ln(n,1),lnk,k,0,lim n,,2n,1
Stolz(再次用公式)
(n,1)ln(n,1),nlnk,ln(n,1),lim n,,(2n,1),(2n,1)
1n,nln()nlim ,,,n2
1,. 2
8 利用等价量代换求极限
等价量代换是我们求解极限问题常用的方法.解题时要
9
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注意几个几个常用的无穷小量等价替换:
xx~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(x,1)~e,1
12,x1,cosx~x,(1,x),1~,x,a,1~xlna2
x,0,a,0,a,1,,其中且 为常数 .
1,tanx,1,tanxlim 求极限. 例10xx,0e,1
1,tanx,1,tanxlim解 xx,0e,1
2tanxlim= x,0x(e,1)(1,tanx,1,tanx)
;2x,(x)lim = x,0(x,;(x))(1,tanx,1,tanx)
2xlim= x,0x(1,tanx,1,tanx)
=1 . 9 利用定积分求极限
定义:若f(x)在[a,b]上可积,则对[a,b]的任一分割
a,x,x,,,,,x,b,,[x,x],T :,及介点都有 01nii,1ib f(x)dx,limf(,),xii,a,0T
10
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heda2007@163.com ,x,x,x其中 , . ,,T,max,xiii,1i1,,in
n1n例11 求极限 . lim(n,k),,,nn,1k
nnk1nn解 记 则, (1,)a,(n,k),,n,nn,1kk,1
nk1f(x),ln(1,x)[0,1]a,它可看作在上对应ln,ln(1,),nnn,1k
kT于等分割以及介点的积分和.于是, ,,nkn
n11k limlna,limln(1,),ln(1,x)dx,2ln2,1,n,0,,,,nnnn,1k
42ln2,1ae故. ,,limnn,,e
10 利用上下极限法求极限
利用上下极限法求极限是一个很好的求极限方法,适用
于一般的求数列极限,要很好的掌握.
____
收敛的充分必要条件是:. limxlimx,limxnnn,,n,,n,,n
a,0,b,0例12 设,
11. a,a,a,b,a,2,,,n,1,2,,,,n,12222aan,n1
,,a则收敛 n
_________1lim,证明 若,则. limx,0n,,nn,,xlimn,,n
____
n,2a,2由时,知,,设lima,, lima,0lima,,,nnnnn,,n,,n,,
11
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22,,,,,,易知 ,,,,2,222,,
,,a收敛. 故n
11 利用微分中值定理求极限
微分中值定理和其他求极限的方法联系起来,能使问题更简便
1,,,,例13 求极限. ,,,limtan(3x)tan(x),,x,0x44,,
,,f(t),tantf(t)解 设,在与所构成的区间,3x,x44上应用Lagrange中值定理:
1,,,,,'(tant)[(,3x),limtan(,3x),tan(,x),,,t,,x,04x44,,
,1 (,x)]x4
2 lim4 ,,2x,0cos,
,,,(介于). ,3x与,x之间44
12 利用压缩性条件求极限
,,x原理:设满足:n
,,x,x,kx,x,0,k,1,n,2,3,,,x则收敛. n,1nnn,1n
1limx例14 设,求. x,0,x,,(n,1)nn1,1,,n2,xn
12
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解 首先证明的存在: limxn,,n
由已知条件:
x,x11n,1n x,x,,,n,1n2,x2,x(2,x)(2,x)nn,1nn,1
1又显然, 0,x,,(n,1)n2
(2,x)(2,x),4于是, nn,1
1故 于是limx存在,记为 x,x,x,xann,1nnn,1,,n4
1a,2,1a,则在上式中求极限:,即 2,a
110,a,又0,, 故: xn22
2,1于是:(舍去). limx,2,1nn,,
13 利用递推公式求极限
x,f(x)理论:我们常常见到一些数列满足 ,我们n,1n
f(x)可以利用的规律性来推得某些关系再结合其他求极限
[3],,x限的方法,可求得的极. n
例15 Fibonacci数列 ,
a,a,0,a,a,a,n,0,1,2,,,,, 那么01n,2n,1n
a51,n,1lim. ,n,,a2n
a1n,1证明 记 则:,bb,1,b,1,,n,1,2,,,,,0nnabn,1n
(1).
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bb,11n,1n则 bb(1)(1),,,,,,n,1nbbbbnn,1nn,1
bb,b,1由(1)可得: nn,1n,1
b,bn,1n于是 b,b,n,1n1,bn,1
b,1,n,0,1,2,,,,n显然; n
于是:
11 . b,b,b,b,b,bn,1nnn,1nn,112,bn,1
,,bb满足压缩性条件,故收敛于,在(1)中两端取极限,n
15,1b,1,b,1b,,且由,可知, b2
a5,1n,1lim,,. 即bblim,n,,nn,,2an
nx,0,x,x,n,n,1,2,,,,例16 设 ,求. lim0n,1nn,,xn
1 令解 则 y,nxn
1111 ,,,yyyyn,1nnn
0,y,y从而, n,1n
,,a,0y于是单调有界 从而收敛,记收敛于,则. an
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yana,0由,知:从而 y,a,,n,11,y1,an
1y,1ynn1n,1nlim,lim,lim,limn,,n,,n,,n,,1y,1yx1y1y,1yn,1nnnn,1n
Stolz(利用公式)
1y,1yyn,1nn,lim,lim(,1),lim(1,y,1),2nn,,n,,n,,y1yn,1n
.
14 利用泰勒展开求极限
用泰勒公式求极限是将复合
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数在某点展开,化为统一的多项式形式.
tan(tanx),sin(sinx)lim例17 求极限. x,0tanx,sinx
33xx33解 由 tanx,x,,;(x),sinx,x,,;(x),36可得:
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3x;3xxxtan(tan),tan[(,,()]3
33xx;;33xxx,,,(),,()33
3x23;xx,,,(),3
xsin(sin)
3x3;xx,sin[,,()]6
33xx33;;xxx,,,(),,()66
3x3;xx,,,()3
33xx233xxxx;;,,(),,,()33xx,();33于是原极限,lim,lim,233300x,x,xxx333xxxxox,,(),,,(),();;362
.
当然还有一综上所述,以上归纳了求极限的几种求法.些其他的方法,如利用麦克劳林公式、利用柯西准则等等.由于篇幅有限,不再赘述.
参考文献
[1]陈纪修,於崇华等,数学
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
,高等教育出版社,2002 . [2]陆庆乐,高等数学,西安交通大学出版社,1998. [3]裴礼文,数学分析问题中的典型例题和方法,高等教育出版社,2001.
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