一、反函数的求导法则
?2.4 反函数的求导法则与初等函数求导的问题
一、反函数的求导法则
,1 定理2 如果函数x,f(y)在某区间I 内单调、可导且f ,(y),0～ 那么它的反函数y,f(x)在y
对应区间I,{x|x,f(y)～ y,I}内也可导～ 并且 xy
dy11,1,, , 或, [f(x)],dx,dxf(y)
dy
,1 简要证明: 由于x,f(y)在I内单调、可导(从而连续)～ 所以x,f(y)的反函数y,f(x)存在～ y ,1且f(x)在I内也单调、连续, x ,1 任取x ,I～ 给x以增量,x(,x,0～ x，,x,I)～ 由y,f(x)的单调性可知 x x ,1 ,1 ,y,f(x，,x),f(x),0～ 于是
,y1, , ,x,x
,y
,1因为y,f(x)连续～ 故
lim,y,0x,0
从而
y,11,1,[f(x)],lim,lim, , ,x,,x,0,y,0,xf(y)
,y
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
,,y,[,, ] 例1(设x,sin y～ 为直接函数～ 则y,arcsin x是它的反函数, 函数x,sin y在22
,,(,, )开区间内单调、可导～ 且 22
(sin y),,cos y,0,
因此～ 由反函数的求导法则～ 在对应区间I,(,1～ 1)内有 x
1111,(arcsinx),,,, , 22,(siny)cosy1,siny1,x
1,(arccosx),, 类似地有: , 21,x
, ,y,(,, ) 例2(设x,tan y～ 为直接函数～ 则y,arctan x是它的反函数, 函数x,tan y22
,,(,, )在区间内单调、可导～ 且 22
2 (tan y),,sec y,0,
因此～ 由反函数的求导法则～ 在对应区间I,(,,～ ，,)内有 x
1111, , (arctanx),,,,222,(tany)secy1，tany1，x
1,(arccotx),, 类似地有: , 21，x
y y 例8设x,a(a,0～ a ,1)为直接函数～ 则y,log x是它的反函数, 函数x,a在区间I,(,,～ a y
，,)内单调、可导～ 且
y y (a),,aln a ,0,
因此～ 由反函数的求导法则～ 在对应区间I,(0～ ，,)内有 x
111, , (logx),,,ayy,(a)alnaxlna
到目前为止～ 所基本初等函数的导数我们都求出来了～ 那么由基本初等函数构成的较复
3xe杂的初等函数的导数如可求呢,如函数lntan x 、、的导数怎样求,
二、基本求导法则与导数公式 1(基本初等函数的导数:
(1)(C),,0～
,,,1(2)(x),,, x～
(3)(sin x),,cos x～
(4)(cos x),,,sin x～ 2(5)(tan x),,secx～
2(6)(cot x),,,cscx～
(7)(sec x),,sec x,tan x～
(8)(csc x),,,csc x,cot x～
x x(9)(a),,a ln a～ xx(10)(e),,e～
1,(logx),(11) ～ axlna
1,(lnx),(12) ～ x
1,(13) ～ (arcsinx),21,x
1,(14) (arccosx),,, 21,x
1,(arctanx),(15) ～ 21，x
1,(arccotx),,(16) , 21，x
2(函数的和、差、积、商的求导法则
设u,u(x)～ v,v(x)都可导～ 则 (1)(u ,v),,u,,v,～
(2)(C u),,C u,～
(3)(u v),,u,,v，u,v,～
,,uuv,uv,(),(4), 2vv
3(反函数的求导法则
,1 设x,f(y)在区间I 内单调、可导且f ,(y),0～ 则它的反函数y,f(x)在I,f(I)内也可导～ 并y xy
且
dy11,1,, , 或, [f(x)],dx,dxf(y)
dy
4(复合函数的求导法则
设y,f(x)～ 而u,g(x)且f(u)及g(x)都可导～ 则复合函数y,f[g(x)]的导数为
dydydu,, 或y,(x),f ,(u),g,(x), dxdudx
例3, 求双曲正弦sh x的导数.
1x,x 解: 因为～ 所以 sh x,(e,e)2
11x,xx,x,,(sh x),(e,e),(e，e),ch x ～ 22
即 (sh x),,ch x,
类似地～ 有
(ch x),,sh x,
例4, 求双曲正切th x的导数,
sh xth x, 解: 因为～ 所以 ch x
22chx,shx1,(th x),, , 22chxchx
例5, 求反双曲正弦arsh x的导数,
2 解: 因为～ 所以 arsh x,ln(x，1，x)
1x1, , (arsh x),,(1，),222x，1，x1，x1，x
12, 由～ 可得, (arch x),arch x,ln(x，x,1)2x,1
111，x,(arth x),arth x,ln 由～ 可得, 221,x1,x
11,,(arth x), 类似地可得(arch x),～ , 221,xx,1
n 例6(y,sin nx,sinx (n为常数)～ 求y,, n n 解: y,,(sin nx), sinx + sin nx , (sinx),
n n,1 , ncos nx ,sinx+sin nx , n , sin x ,(sin x ),
n n,1 n,1 , ncos nx ,sinx+n sin x , cos x ,n sin x , sin(n+1)x ,
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