Banach空间隐式积分微分方程解的存在定理

Banach空间隐式积分微分方程解的存在定理 Banach空间隐式积分微分方程解的存在定 理 第8卷第4期 V0I.8No.4 烟台师范学院(自然科学版) YantaiTeachersCollegeJournal(NaturalScience) 1992年12月 Dec.1992 Banach Z1—3 空间隐式积分微分方程 解的存在定理 刘庆刚 (山东师范大学.井南) O 摘要在Banach空间中讨论了一阶非线性隐式积分散分方程一一,(f,,一,Tx),x(to)一. :篓问嚣茹盏~栅nac给hDa腑her…巳皇关蠢词酶式积分檄分方程,空间,韧值问题,不功点,非紧性测度f呈工/ 嚣 文[1]讨论了一阶积分微分方程z=f(t.z,Tz).z(“)=z.的初值问题.但在实际 上,有些问题不能化成上面的简单形式,即不能用关于(f,z.7)的关系式把一 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来, 右端函数,仍含有z项.本文在Banach空间E中讨论了一阶非线性隐式积分微分方程 一 (t,X,,T),x(t0)一0(1) 解的存在性,并给出了一般一阶隐式积分微分方程F(t,z,一,Tz)一0,(岛)=.的解的 存在定理. 1预备知识 设E为一实Banach空间,A是E中一有界集,A的Kruatowski非紧性测度为 a(A)[2].本文将用到以下几个引理. 引理1设A是C(,胡,E)的有界子集,A(f)与A(f)分别定义为{(f):?A)和 {?():?A),若A一{?:?A)是等度连续的?则m |E sup 御 (A(t)), ? sup ] a((t))) 一a(A).详细证明见文Ez3. 引理2设{„)cC(~a,6].E),且{„卜一致有界等度连续,令(t)一({(f))),则 (f)在[n,阳上连续,且a({I(t)dt))?2I(t)详细证明见文[1]. 引理3设C一{)cc(,6],E)满足—而({Y.)U{Y)),其中Y., ?c(,6],E).则对任意的t?,阳,有丽一({Y.(f))U{(t))).详细证明 见文[1]. 引理4即Daher不动点定理.设A是E中的闭凸集,F:A—A连续且具有如下性 质:对某个z.?A,若ccA是可数集.且满足e=—con—y({.;LeO)UF(c))c 是相对紧的. 收藉日期:l9920l05 30烟台师范学院(自然科学版)第8卷 则F在A中有一不动点.详细证明见文E43. 为了便于讨论,先定义两集合 Q一{(,):t?t?to+n,t.??f),0一{?E,{{一《??), {{?{l为E中的范数.本文中的积分项丁定义为(7-r)()一(f,s)(s)出.K ?C(Q,R). 2主要结果 定理1假设 Al?c(Q,R)且l0,s)I?0,(,s)?Q A,?c(.I，n，E.),l{,ll?,, >0,其中.,一.,to+a3,a>0 A3对有界子集B1cn,马,B3CE,tE.,,有a(f(t,Bl,B:,B3))? ax{a(B1), a(B),(马)),这里0?;d(,).则存在,>0,使得初值问题(1)在Et.,fo +r3上至少有一解. 证明容易看出初值问题(1)与下面的积分方程等价t n 0)一Xo+l,o,0),0),()0))ds.(2) J0 令r=minta,?/),.,.一Eto,t.+r3,,一l/.,则由假设A.知,存在以>0,d(1/n)>0,使 得d(1/n)一0(一..)?对任意(l,而,Yl,”1),(f2,?,.,2)?.,×n×,当Ifl一{ <,ll一{{<,一弘tl<a(1/.),一t1<以时,有tlf(t,1,Y1,)--f(t,2,Y2, )l{~d(1/n).因为K(t,s)在.,.×.,.上连续,故在其上一致连续,于是对上以>0,总存在 以>0,使得当屯?.,.ts?.,.,It1一{<时,有tK(t,s)一K(tz,s){<i;? 令瓦=rain{以,也/M,/2(?+{l.l_),以),定义集合A一{妒?C(.,o,E):{{妒()一.{I ??,且当t1,t2?.,.,一2I&—II,(f,(),0). (7)(f))一f(t.,(f),(tD,(丁)())l1<d(1/n).以上三点可说明F:—A 令C一{)cA满足一_n({)UF(c)),由引理3知,对任意?J.,有: 一 ({.)U{(Fx)())).由引理2及假设A可得 ({(f)))一({(F)()))一({,0,”),?0),(Tx)(f)))) ?({0)))+({()})+({(Tx)(t)})], 于是 ({0)))?于—({矗(f)})+({(Tx)o)lj)], ({“)})=({(Fx)()))一({1f(s,(),aT0),(Tx)(5))ds})Jt0 ?2I({f(s,矗(),(5),(Tx)0))})出 J ?2I({(5)))+({„()))+({(Tx)(5)))]d d, ?i_兰-一({„)))+({(7?)如)))]出. 再由引理2及(?)的性质可得 ({(n))})一(?K(s,)?(})))J ?2I({K(s,})(})))?2K.I({(})))d}.JOd. 改变积分次序可得 , J({(Tx.()})ds?2K.f.ds({z.(})})d} ?2. . )d}?2州) „0f 于是有({(t)})?(1+2Kor)({()})出,从而有({毛(t)))=0, ({(Tx)()})一0,({0)))=0. 由集台的定义知,{aT}有界,{„}等度连续,应用引理1可得({})=0,这说 明 {}是相对紧集,由Daher不动点定理知F在上存在一不动点,这个()就是初值 问题(1)在J.上的解.证毕. 如果考虑一般的隐式积分微分方程 H(t,,; B4对任意,>o,总存在>0.d—d(,)>0,当(f1,1,Yl,”1),(t2, 觑,Yz,)?J×0× E.,且ft一tf<,忙一『I<,fly--y:I『<d(e),1一ff<时,有fly,一z+((ft,, ,1)一H(,,,Y2,.))ll<d(e).则存在一r/>O,使得初值问题(3)在[}.,f.+]上至少 有一懈. 事实上,可把初值问题(3)看成如下形式 一=.7c+H(f,,,Tx),x(t0)一x0.(4) 这样问题(3)就可转化为问题(1)来讨论. 如果把假设A或中的不等式右端挟成一般的Kamke函数,也有类似于定理1和定 理2的结论. 参考文献 Zhuan口Wan,etaI.Globalexistenteofsolutiontononlinearintegrodifferentialequation inaBanach space.ActaMathematieascienda+1989,9(4):367,372 LaksV.eta1.N0nl/neardifferentialequationinAbstractspace,London,PergamanPress,1981 DeimlingK.Nonlinearfunctionanalysis,BerlinHeidilbergtSpringerVerlag,1985 herJ.Onafixpointprinciple0fsadovskinonlinearal2asis.TMA,1978,2:157~168 林艺.&mch空问中腺式微分方程解的存在性定理+山东师大(自 然科学版),1983(1):94,I10 EXISTENCETHEOREMFORIMPLICITYINTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONINBANACHSPACE LiuQinggang (ShandongNormalUnivers蛔?Jiaan) AbstractUsingtheDaherfixedpointtheoremtheauthordiscussestheinkialvalue problem0fthefirstordernonlinearimplieityintegrodiilerentia|equation一 f(t,.7c,一, Tz),x(t0)一inBanaehspaceandgivesthesolutionexistencetheorems? Key word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 simplicityintegr.diffeIentia1equation,Banachspace,inithlvalueproblem, Daherfixedpoint,noncompactmeasure( 责任 安全质量包保责任状安全管理目标责任状8安全事故责任追究制幼儿园安全责任状占有损害赔偿请求权 编辑司丽琴) lt;1{ Ad对任意,>0,总存在>o,d—d(e)>O(当P一0时,d(,)一0),使得当(f1,,Yl, ,)和(2,2,Y2,)?.,×0×E.,Itl一{<,I{l一轧{{<,{ly1--y.l{<d(e),{{嘶一2{{< 时,有tlf(t1,1,Y,蝴)--f(t2,,Y,)ll<d(,).则存在,>0,使得初值问题(1)在Et.,fo +r3上至少有一解. 证明容易看出初值问题(1)与下面的积分方程等价t n 0)一Xo+l,o,0),0),()0))ds.(2) J0 令r=minta,?/),.,.一Eto,t.+r3,,一l/.,则由假设A.知,存在以>0,d(1/n)>0,使 得d(1/n)一0(一..)?对任意(l,而,Yl,”1),(f2,?,.,2)?.,×n×,当Ifl一{ <,ll一{{<,一弘tl<a(1/.),一t1<以时,有tlf(t,1,Y1,)--f(t,2,Y2, )l{~d(1/n).因为K(t,s)在.,.×.,.上连续,故在其上一致连续,于是对上以>0,总存在 以>0,使得当屯?.,.ts?.,.,It1一{<时,有tK(t,s)一K(tz,s){<i;? 令瓦=rain{以,也/M,/2(?+{l.l_),以),定义集合A一{妒?C(.,o,E):{{妒()一.{I ??,且当t1,t2?.,.,一2I&—II,(f,(),0). (7)(f))一f(t.,(f),(tD,(丁)())l1<d(1/n).以上三点可说明F:—A 令C一{)cA满足一_n({)UF(c)),由引理3知,对任意?J.,有: 一 ({.)U{(Fx)())).由引理2及假设A可得 ({(f)))一({(F)()))一({,0,”),?0),(Tx)(f)))) ?({0)))+({()})+({(Tx)(t)})], 于是 ({0)))?于—({矗(f)})+({(Tx)o)lj)], ({“)})=({(Fx)()))一({1f(s,(),aT0),(Tx)(5))ds})Jt0 ?2I({f(s,矗(),(5),(Tx)0))})出 J ?2I({(5)))+({„()))+({(Tx)(5)))]d d, ?i_兰-一({„)))+({(7?)如)))]出. 再由引理2及(?)的性质可得 ({(n))})一(?K(s,)?(})))J ?2I({K(s,})(})))?2K.I({(})))d}.JOd. 改变积分次序可得 , J({(Tx.()})ds?2K.f.ds({z.(})})d} ?2. . )d}?2州) „0f 于是有({(t)})?(1+2Kor)({()})出,从而有({毛(t)))=0, ({(Tx)()})一0,({0)))=0. 由集台的定义知,{aT}有界,{„}等度连续,应用引理1可得({})=0,这说明 {}是相对紧集,由Daher不动点定理知F在上存在一不动点,这个()就是初值 问题(1)在J.上的解.证毕. 如果考虑一般的隐式积分微分方程 H(t,,; B4对任意,>o,总存在>0.d—d(,)>0,当(f1,1,Yl,”1),(t2, 觑,Yz,)?J×0× E.,且ft一tf<,忙一『I<,fly--y:I『<d(e),1一ff<时,有fly,一z+((ft,, ,1)一H(,,,Y2,.))ll<d(e).则存在一r/>O,使得初值问题(3)在[}.,f.+]上至少 有一懈. 事实上,可把初值问题(3)看成如下形式 一=.7c+H(f,,,Tx),x(t0)一x0.(4) 这样问题(3)就可转化为问题(1)来讨论. 如果把假设A或中的不等式右端挟成一般的Kamke函数,也有类似 于定理1和定 理2的结论. 参考文献 Zhuan口 Wan,etaI.GlobalexistenteofsolutiontononlinearintegrodifferentialequationinaBanach space.ActaMathematieascienda+1989,9(4):367,372 LaksV.eta1.N0nl/neardifferentialequationinAbstractspace,London,PergamanPress,1981 DeimlingK.Nonlinearfunctionanalysis,BerlinHeidilbergtSpringerVerlag,1985 herJ.Onafixpointprinciple0fsadovskinonlinearal2asis.TMA,1978,2:157~168 林艺.&mch空问中腺式微分方程解的存在性定理+山东师大(自 然科学版),1983(1):94,I10 EXISTENCETHEOREMFORIMPLICITYINTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONINBANACHSPACE LiuQinggang (ShandongNormalUnivers蛔?Jiaan) AbstractUsingtheDaherfixedpointtheoremtheauthordiscussestheinkialvalue problem0fthefirstordernonlinearimplieityintegrodiilerentia|equation一 f(t,.7c,一, Tz),x(t0)一inBanaehspaceandgivesthesolutionexistencetheorems? Keywordsimplicityintegr.diffeIentia1equation,Banachspace,inithlvalueproblem, Daherfixedpoint,noncompactmeasure(责任编辑司丽琴)