高中数学向量垂直公式
篇一:高中数学-公式-平面向量
平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),?为实数。(1)向量式:a?b(b?0)?a=?b;(2)坐标式:a?b(b?0)?x1y2,x2y1=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a?b(b?0)?a?b=0; (2)坐标式:a?b?x1x2+y1y2=0;
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b
?=x1x2+y1y2;其几何意义是a?b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积;
4.设A(x1,x2)、B(x2,y2),则S?AOB,
5.平面向量数量积的坐标
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a?b=x1x2+y1y2
?
(2)若a=(x,y),则a2=a?a=x2+y2,a?
十、向量法 1x1y2?x2y1; 2(x1?x2)2?(y1?y2)2; ?x2?y2; ????b,平面?、?的法向量分别是u、v,则: 1、设直线m、l的方向向量分别是a、????
1
(1)线线平行:l?m?a?b?a?kb ????u?0 (2)线面平行:l???a?u?a?????(3)面面平行:?//??u//v?u?kv
注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. ????b,平面?、?的法向量分别是u、v,则: 2、设直线m、l的方向向量分别是a、????b?0 (1)线线垂直:l?m?a?b?a?????(2)线面垂直:l???a?u?a?ku ????v?0 (3)面面垂直:????u?v?u?????b,平面?、?的法向量分别是u、v,则: 3、设直线m、l的方向向量分别是a、??a?b?(1)直线m、l所成的角?(0???),cos?? 2ab
??a?u?(2)直线l与平面?所成的角?(0???),sin?? 2au
??u?v(3)平面?与平面?所成的二面角的平面角?(0????),cos?? uv
教学过程:
二、新课讲授
1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量(向量的大小叫做向量的长度或模.
3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律( ???? ?加法交换律:a +b = b + a; ???????加法结合律:(a + b) + c =a+ (b
+ c);
???? ?数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb; ?? ?数乘结合律:λ(ua) =(λu)a ( ?????????????????????????????4. 推广:?
2
A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An; ????????????????
???????????????A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?AnA1?0;
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量(由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量( ????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b,λa.称平面向量共线定理,
二、新课讲授
1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向????量或平行向量(a平行于b记作a//b(
2(关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: ???????共线向量定理:空间任意两个向量a、b(b?0),a//b的充要条件是存在实数λ,使a,λb. ?????理解:?上述定理包含两个方面:?性质定理:若a?b(a?0),则有b,?a,其中?是唯一确定的???????实数。?判断定理:若存在唯一实数?,使b,?a(a?0),则有a?b(若用此结论判断a、b所在直线????平行,还需a(或b)上有一点不在b(或a)上). ???????对于确定的?和a,b,?a表示空间与a平行或共线,长度为 |?a|,当?0时与a同向,当?<0时与?a反向的所有向量. ?3. 推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任意一点O,点P在直线l上的充?????????要条件是存在实数t满足等式
3
OP?OA?ta(
平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a,λ1e1,λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(
1. 定义:如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内,则称向量a平行于平面α,记作a//α(
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的(
2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量(共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内(
5. 得出共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y,使得 p= xa+yb (
证明:必要性:由已知,两个向量a、b不共线(
? 向量p与向量a、b共面
? 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x,y,使得 p= xa+yb(
充分性:如图,? xa,yb分别与a、b共线, ? xa,yb都在a、b确定的平面内(
又? xa+yb是以,xa,、,yb,为邻边的平行四边形的
4
一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在a、b确定的平面内,
? p= xa+yb在a、b确定的平面内,即向量p与向量a、b共面(
说明:当p、a、b都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内(
6. 共面向量定理的推论是:空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使得??????????????????????????????????MP?xMA?yMB,? 或对于空间任意一定点O,有 OP?OM?xM?Ay(?M ???????????????????????yMB:分析:?推论中的x、y是唯一的一对有序实数; ?由OP?OM?xMA得?????????????????????????????????????????????????
?????OP?OM?(xOA?O)M?(yO?B,)O M?OP?(1?x?y)OM?xOA?yOB ? ????????1. 两个非零向量夹角的概念:已知两个非零向量a与b,在空间中任取一点O,作OA,a,OB,b,则?AOB叫做向量a与b的夹角,记作,a,b,(
说明:?
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
:0?,a,b,??( 当,a、b,,,时,a与b同向; 当,a、b,,π时,a与b反向; 当,a、b
5
,,?时,称a与b垂直,记a?b( 2
? 两个向量的夹角唯一确定且,a,b,,,b,a,(
? 注意:?在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的(
?,a,b,?(a,b)
2. 两个向量的数量积:已知空间两个向量(来自:www.xLtKwj.coM 小 龙 文档网:高中数学向量垂直公式)a与b,|a||b|cos,a、b,叫做向量a、b的数量积,记作a?b,即 a?b,|a||b|cos,a,b,.
说明:?零向量与任一向量的数量积为0,即0?a,,;
?符号“? ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用”×”代替. ????几何意义:已知向量AB,a和轴l,e是l上和l同方向的单位向量(作点A在l上的射影A′,点B在l上的射??????????????影B′,则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影,简称射影(可以证明:A'B',,AB,cos,a,e,,a?e(说明:一个向量在轴上的投影的概念,就是a?e的几何意义(
3. 空间数量积的性质:根据定义,空间向量的数量积和平面向量的数量积一样,具有以下性质:
?a?e,,a,?cos,a,e,; ?a?b?a?b,,
?当a与b同向时,a?b,,a,?,b,; 当a与b反向时,a?b,,,a,?,b,.
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特别地,a?a,,a,2或,a
?a?b ?cos,a,b,,; ?,a?b,?,a,?,b,. a?b
4. 空间向量数量积的运算律:与平面向量的数量积一样,空间向量的数量积有如下运算律:
?(λa)?b,λ(a?b),a?(λb) (数乘结合律); ? a?b,b?a (交换律);
?a?(b,c),a?b,a?c (分配律)
说明:?(a?b)c?a(b?с);?有如下常用性质:a2,,a,2,(a,b)2,a2,,a?b,b2
3. 空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系和向量a,且设i、j、k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a,a1i,a2j,a3k(
空间中相等的向量其坐标是相同的(?讨论:向量坐标与点的坐标的关系, ????????????向量在空间直角坐标系中的坐标的求法:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB,OB,OA,(x2,y2,z2),(x1,y1,z1),(x2?x1,y2?y1,z2?z1)(
5. 两个向量共线或垂直的判定:设a,(a1,a2,a3),b,(b1,b2,b3),则
aaa?a//b?a,λb?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(??R)?1?2?3; b1b2b3
?a?b?a?b=0?a1b1?a2b2?a3b3?0(
? 向量的模:设a,(a1,a2,a3),b,(b1,b2,b3),求这两
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个向量的模.
向量的长度公式( ,a
,,b
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度(
2. 夹角公式推导:? a?b,|a||b|cos,a,b,
? a1b1?a2?b2?cos,a,b, a
由此可以得出:cos,a,b
这个公式成为两个向量的夹角公式(利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:
当cos,a、b,,1时,a与b同向;当cos,a、b,,,1时,a与b反向;
当cos,a、b,,0时,a?b(
3. 两点间距离共识:利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式:
在空间直角坐标系中,已知点A(x1,y1,z1),B(x
2,y2,z2),则
dA、B?dA、B表示A与B两点间的距离(
5. 用向量方法证明:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行(
篇二:高中数学平面向量公式
1、向量的的数量积
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定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-?a??b?。 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a(交换律);
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a?b 〈=〉a?b=0。
|a?b|?|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b) ?a ?b 。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a?0),推不出 b=c。
3、|a?b|?|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
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2、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质:
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
3、向量的三角形不等式
1、??a?-?b????a+b???a?+?b?;
? 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
? 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、??a?-?b????a-b???a?+?b?。
? 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
? 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
4、定比分点
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定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在?ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心
向量共线的重要条件
若b?0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a?b的充要条件是 a?b=0。
a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
篇三:高中数学有关平面向量的公式的
知识点
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总结
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高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在?ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为?ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b?0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a?b的充要条件是 a?b=0。
a?b的充要条件是 xx'+yy'=0。
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零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0
的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且?λa?=
?λ???a?。
当λ,0时,λa与a同方向;
当λ,0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
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注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当?λ?,1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上伸长为原来的?λ?倍;
当?λ?,1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ,0)或反方向(λ,0)上缩短为原来的?λ?倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:? 如果实数λ?0且λa=λb,那么a=b。? 如果a?0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0?〈a,b〉?π
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算律
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a?b=b?a(交换律);
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a?b 〈=〉a?b=0。
|a?b|?|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c?a?(b?c);例如:(a?b) ?a ?b 。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a?0),推不出 b=c。
3、|a?b|?|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:?a×b?=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
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a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b????a+b???a?+?b?;
? 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
? 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、??a?-?b????a-b???a?+?b?。
? 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
? 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
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