非对易的U1规范场理论的一圈可重整性的研究 (2)

非对易的U1 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 场理论的一圈可重整性的研究 (2) 非对易的U1规范场理论的一圈可重整性的研究 (2) 非对易的规范场理论的一圈可重整 性研究 ? 论文作者签名: 指导教师签名: 论文评阅人: 评阅人: 评阅人: 评阅人: 评阅人: 答辩委员会主席: 委员: 委员: 委员: 委员: 委员: 答辩日期:趔星’ : ’ : : : :浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果,也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位敝作者虢黄啄砰签字吼呷年阳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播,可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后适用本授权书 聊躲呶听 学位论文作者签名:责家碍 签字日期:研年陟日 \ 蝴飙引瑚广摘要 摘 要 非对易时空的概念几乎是和量子场论同时出现的,当时提出分立时空的概念是 想给场论中的紫外截断一个自然的解释。不过由于非对易时空上理论的复杂性及场 论中重整化的出现,使得这个概念并没有引起更多的关注。最近十几来年,弦理论 的发展使得非对易时空上的物理理论的研究成为物理学中的一个研究热点。这是 因为在弦论的某些低能近似理论中自然的出现了非对易时空及非对易场论。比如 当.膜上存在背景场的时候,.膜上的坐标就是非对易的。超弦紧化时,.膜上的 理论就是非对易环面上的规范场理论,关于前一点我们将在文中介绍。 非对易场论虽然在弦论框架内是一种低能近似理论,但是从场论的角度看,它 又可看作是非对易时空上的一个基本理论。作为超出 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 模型的一个理论探索,非 对易场论被应用于各种高能粒子物理的唯象学研究中,比如非对易效应引起 的新的 粒子散射道或者非对易效应对原有散射截面的修正。虽然有了不少的具体应用,我 们必须承认,非对易理论本身的自洽性或者说是可靠性还没有得到完全的证明。非 对易场论作为一种场论也会出现发散,所以它的可重整性就是一个必须考虑的重要 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。从场论的角度看,这个问题将判定非对易场论是否是个自洽的物理理论。这 也是本文所要研究的问题。 对于一般非对易规范理论,非对易场和相应的普通场之间存在的一个映射,即 .映射。基于此映射发展起来的研究非对易规范场理论重整化的方法叫 口一展开法。利用此方法研究重整化问题时,即可以用费曼图的方法也可以用路径积 分的方法。由于非对易效应引入了很多新的相互作用,使得费曼图的数量增加,尤 其当我们研究圈图效应时,费曼图的数量将急剧增加,所以采用路径积分的方法是 个好的选择。 本文采用背景场的路径积分法来研究非对易规范理论的一圈可重整性问 题。关于此问题,已有的研究结果表明:当规范场与费米场耦合时,对于展开 到一 阶的作用量,理论中包含的一阶的一圈发散项是可重整的,除了一个四费米 子的 顶角发散项。也就是说,规范部分有好的一圈重整化性质,而物质场部分破坏 了整关键词:非对易场论重整化映射 摘要 , . .? ,, . . , . . . , ,. , . . ,,.也 ? . ,. . ? ,. , ? , .. , ., ?浙江大学博士学位论文 , . , ., . . ,, . , 廿 .... .. .., , . . .: , 目次 日 次 摘要....................................... 目次绪论..................................... .非对易的引入............................... .非对易研究现状.............................. 研究意义及目的.............................. .本文结构.................................. 非对易时空与弦论.............................. .弦论简介.................................. .弦的量子化................................. . .膜.................................... .弦,膜,非对易.............................. ?映射............................. . 对应和积......................... . 映射............................. . 非对易规范理论的.映射...................... .非对易非阿贝尔规范理论的.映射.................... 非对易规范理论的重整化....................... .背景场方法................................. .非对易标量规范场的重整性...................... . 非对易规范场的重整性........................ 总结和展望................................. 参考文献.................................... 致谢....................................... 攻读博士学位期间主要研究成果........................ 博士学位论文 绪论 绪论 .非对易的引入 世纪量子理论的发展与应用,使得量子成为物理中一个核心的概念。量子力 学的一个基础就是粒子的坐标和动量算符之间的非对易关系:桫,矿,因而 有海森堡不确定关系?/。在量子相空间中,点的概念失去意义,粒子的状 态不能由一个点来描述,而是由一个区域来表示,该区域的特征尺度为危,这就是 量子的相空间。自然地,我们可以将量子的概念推广到时空,即量子化的时空。这 需要我们在时空坐标之间引入一定的非对易关系。数学中,有几种常见的代数结构 可以考虑。李代数结构,‖,矿,”仝;量子空间结构,圣圣”品圣。?口等。 现在被广泛研究的也是本论文要考虑的是正则结构的非对易时空,满足如下关系 渺,岔”】炒 其中”是具有长度平方量纲的反对称常数,类似于,可以用来表征非对易时空的 最小可测尺度。由于坐标算符不再对易,坐标算符不能同时对角化,也就是说连 续的时空流形不存在了。坐标满足不确定关系:”?臼‖/:。时空点被大小 为伊的时空胞代替。连续的时空坐标‖可以看作是研究远大于伽的尺度上的物理的 一个参数。当我们要考虑扣量级尺度上的物理时,连续的时空坐标就要被非对易 代数的元代替。当然,非对易时空的概念不仅仅是这样一种简单推广,物理学的很 多分支的发展都出现了非对易时空概念【捌。 量子力学的某些问题中会出现空间坐标的非对易。考虑量子力学中的 题【。质量为仇,带电的粒子在.平面运动,沿方向的有一个均匀强磁场中。粒 子的拉氏量为 . 吨兰秽.彳一,秒道能 . . 这个积分往往是紫外发散的,为了处理这些发散量得到有物理意义的结果,人们 发展了各种正规化的方法。比如,紫外截断,泡利.维拉斯.正规化和 维度正规化等.前两种的正规化方法都需要人为的引入一个大的动量截断,如何 能够自然的引入这样一个大的动量截断呢为此,量子力学创始人之一海森堡 在年给皮尔斯的信中建议引入非对易时空的概念,在坐标空间中引入一个可观 测的尺度下限,根据量子力学中海森堡不确定关系,对应于动量空间,就自然 的 有一个大的动量截断。年,发表了关于非对易时空的文章,构造了一个 洛仑兹不变的非对易时空阁。但同时由施温格,费曼和朝永 振一郎等人发展起来的重整化理论很好的解决了场论发散的问题并对 电子的反常磁矩等可观测物理量做出了精确的理论计算。量子电动力学的成功使 得的结果没有引起太大的关注。 自然界中存在着四种基本相互作用,电磁相互作用,强相互作用和弱相互作用 都己经被成功量子化,这三种量子规范场理论成为描述粒子物理的标准模型旧。只 有引力还没有成功的量子化,这方面的努力有圈量子引力和 弦论等。物理学家在寻找包含引力的量子理论时一直坚持的一个信念是时空结构 。 在小尺度上必然发生变化,比如在普朗克尺度/// 如果我们要将测量精度提高到普朗克尺度,那么做这个测量所需要的能量本身就会 改变所要测量尺度的几何。也就是说,量子的引力必然要求有个可精确测量的时空 尺度的下限【。而且,根据爱因斯坦的广义相对论,物质分布决定了时空结构,引 绪论 力是时空结构的反映,因此引力量子化是与时空量子化密切相关的。在将引力量子 化的尝试中,人们发现引力的量子理论与描述其他三种基本相互作用的规范场理论 不同,它是一个非局域的场理论【,】。从量子力学知道,时空量子化最简单的考虑 就是,时空坐标满足正则的非对易关系。并且非对易时空上的理论也是一个非局域 的理论。所以引入非对易的时空可以看作是一种将引力量子化的尝试。 近来非对易理论成为理论物理一个热点的研究方向主要的是由于弦论和一理 论的发展,因为弦论和.理论是目前最有希望统一四种相互作用的理论。弦论中 物质的基本组成是开弦或者闭弦不再是点粒子,弦长。是弦论中一个自然的基本尺 度,例如通过对弦的高能散射幅的分析,可以得到弦论中的坐标和动量之间 的不确定关系 壳 . :菩去哮却 ‘‘? 从关系式.,可以得出弦论里面可精确测量的尺度下限为。伽.弦论 中的粒子作为弦的振动激发态,相互作用不再是我们现在所理解的粒子间 的点相互作用,而是一个非局域的相互作用,因此在【中提出用非对 易几何来描述开弦场理论。等人【在研究一理论的环紧化 时,发现.理论既可以紧化到普通的环面上,也可以紧化到非对 易环面上。当紧化到非对易环面上时,.理论由非对易的超对称规范场来描述。随 指出在超弦的紧化时,一膜上的理论就是非对易环面上的规 后,和 】从.膜的世界面动力学给出了进一步的证明。除从 范场理论。和. 理论的紧化角度考虑外,,等人【蝴】讨论了具有背景.场的膜 上的开弦的量子化,证明了膜上的坐标是非对易坐标,.膜上的理论要用非对易理 论来描述。非对易几何在具有背景场和一膜存在的开弦的量子动力学中起重要作 用。另一方面,和提出了一个膜宇宙的假设引起了极大关注【册, 这假设认为我们的四维时空是个.膜的世界体,所以时空非对易在弦论框架内是 自然的。非对易空间和非对易规范场论在弦论和.理论研究中的大量出现强烈的 暗示着非对易时空的概念应该是未来大统一理论需要具备的一个重要特点。 虽然很多物理分支中都出现了非对易时空及非对易场论,但是第一个明确的非 对易场论和规范理论是由数学家等人给出的,他们使用的数学工具是非对见【,本文作者提出了一个利用冷的原子来探测空口非对易性的可能。 给出了一般的二维非对易中心势系统的能谱。谐振子系统是量子力学中 一个简单和重要的系统,非对易空间上的二维,三维谐振子系统的能谱,能级的 简并性和对称性等也在很多文献中被讨论。量子力学中,带点粒子双缝干涉 的.效应是个拓扑效应,它的非对易修正也被很多人讨论,其他的量子力学 中的拓扑效应如相的非对易修正也被很多文献讨论。除了各种具体的非 对易量子力学模型的研究,还有作者研究了二维和维的非对易量子力学中的海森 绪论 堡不确定关系。除上述问题外,还有一些其他的非对易量子力学框架内的讨 论【. 除了非对易量子力学的研究,非对易量子场论也被大量研究, 已有几篇重 要的综述性的文章出来,】。非对易时空上的场 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 是个算符函数,我们可以根 据.方法来描述【】。用对易时空上的普通函数代替算符函数,但是普通 函数之间的乘积由如下.星乘积代替, . ,??‖赫旁,‖掣一 将对易时空上的量子场的作用量中的乘积换成星乘积,就得到非对易时空上 量子 场的作用量,然后我们就可以得出费曼 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 【“,计算关联函数【,研究非对易 量子场的微扰论了。微扰场论中的一个重要问题就是圈图发散性。人们在非 对易 场论中发现,由非对易效应引起的非平面圈图有奇怪的发散性质,即 著名的紫外.红外混合/ 现象,这使得非对易场论可重整性变得很 困难,很多文献讨论了非对易标量场中的紫外.红外混合】和非对易规范场中 的紫外.红外混合现象。非对易场论的这种紫外.红外混合现象与弦论框架中 开弦态和闭弦态的散射有关。对于非对易搦理论,和受 至.对偶【】的启发,通过在作用量中引入新的势能项的方法解决了 紫外.红外混合这个困难,证明了理论的可重整性。/混合有些非对易场 论中并不存在,如非对易.模型【,但是此模型中的粒子表现出的性质 需要用偶极子的图像来描述,显示出了理论的非局域性嗍。一圈可重整的非 对易 场理论有非对易和超对称模型,蚪。等讨论了二维时 空上的非对易场论,指出重整性与时空拓扑有关,而证明了非对 易环面上的纯杨.米尔斯场是可重整的【】。等人讨论了非对易标量场理论 的散射矩阵的幺正性问题,指出只有空间.空间非对易优时,散射矩 阵是幺正的。非对易场论中的微观因果律问题以及微观因果律和散射矩阵 幺正性之间的关系也被很多作者讨论墨】。.等研究了非对易场论 的分立对称性和自旋统计定理,证明了非对易是不变的且自旋统计定理 仍然成立。大极限的非对易规范场,非对易规范场中的/对应和大 极限非对易场论的讨论可见等人的研究。非对易场论中的规范浙江大学博士学位论文 反常可见.等人的工作,。等人还研究了非零温的非对易场 论【,。 在普通时空上构造场的作用量时,理论本身的对称性会对作用量的形式有很 大的约束。一个重要的对称性就是时空的对称性,所以非对易时空的对称性是需 要考虑的。非对易时空的坐标算符满足:险,矿口‖,由于口”是常数,此结构 不是洛仑兹不变的,因而非对易时空破坏了洛仑兹不变性。这就使得维非对易 空间上的量子场论的对称性降低,对称群不再是彭加莱群,而是彭加 莱群的一个阿贝尔子群, 。由于, 的表示和彭 加莱群的表示不一样,只有一维表示没有矢量旋量表示,这使得我们无法讨论非 对易的矢量场和旋量场理论。这个问题由等人提出的非对易时空的形变 彭加莱对称性解决【,。指.积形式的非对易量子场论满足 形变的彭加莱对称性,”在形变的彭加莱变换下保持不变,并且形变的彭加莱 代数有矢量场和旋量场表示。等人的讨论是在无穷小形式的形变彭加莱 变换框架内进行的。等则讨论了形变彭加莱对称变换的有限形式, 并讨论了形变彭加莱对称性与外在对称破缺 之间的联 系。则将形变对称性的概念推广到共性变换群构造了形变的共形代数, 并证明了.积形式的作用量是形变共形不变的。其他关于非对易时空 对称性的讨论可见:. 我们知道自然界中四种基本相互作用中的电磁,弱,强相互作用都是规范 相互作用,现在描述微观粒子相互作用标准模型 是 ×的规范场理论【,所以非对易时空上的规范场理论的构造是必要的。 通过引入.星乘积的方式在非对易时空上构造一般的非对易的规范场理 论时除外,非对易规范变换不再是李代数值封闭的,从而使得规范场不是 李代数值封闭的,而是李代数的覆盖代数 值封闭的,覆 盖代数是无穷维的,似乎理论需要引入无穷多个场。如何避免引入无穷多个 场 呢和】指出非对易规范场和对易规范场之间有个映射,即? 映射,这些覆盖代数的系数可以表达成对易空间中规范场及其导数的函数, 这就使得非对易规范场和对易规范场有相同的独立参数,关.映射的 绪论 具体展开已有很多文章可查【?。利用.映射就可以在非对易时空上 定义规范理论和标准模型理论等非规范场论,将非对易作用量按的 幂次展开,就可得出作用量的到某一阶的非对易修正,口趋于时,就可得到对 易 空间的规范场作用量。.映射的一个特点是:它不是唯一的,映 射中含有不确定的自由度,这对于非对易规范场理论的重整性有重要意义。 这种基 于.映射发展起来的重整化研究方法叫做目.展开法,用这种方法可以 证明纯非对易规范场到任意阶都是一圈可重整的。 除微扰方面外,非对易场论中的非微扰方面的问题也被广泛研究珏】。 由于?积的非线性性,与对易场论比,非对易场论有更多的孤立子,例 如证明高维时空中的标量场理论不合有孤立子解。但是非对 易标量场理论,在任意维度下,都有孤立子解。非对易规范理论中的瞬子,磁 单极子,纽结和涡旋解等孤立子解也被大量文献考虑,并且这些解可以看作 低能弦理论中的各种.膜解。 非对易关系.可以重写为陋,圣””.击‖”,其中”是无量纲反对称 矩阵,非零矩阵元是的量级,?是能量量纲,用来表征非对易效应起作用的能 标。非对易理论是否正确最终是需要实验来判定,很多文献讨论了探测时空 非对易 的可能的物理过程,给出了现有的物理实验对?的限制。从费曼图角度看, 非对易场论中会包含新的相互作用顶点,比如非对易中会有三光子顶点的出 现】,新的相互作用既会产生新的粒子散射道,也会对原有的散射过程贡献修 正项,有关夸克,轻子散射过程中的非对易效应【叫。通过从等散射实验得 到的对非对易能标的限制是:??量级【睁。非对易场论破坏了洛仑兹 不变性,所以可以通过探测洛仑兹不变性的破缺效应来对?做出限制,这种 实验 给出的结果是:一 。,等人【,,蚓还提出了通过量 子力学实验来探测空间非对易的可能。 】讨论了用引力波探测时空非对易的可 能。此外,还有其他关于非对易能标测定的讨论【‘。 引力是自然界中四种基本相互作用之一,经典的引力理论是爱因斯坦的广义相 对论,它是建立在连续的黎曼时空上的理论。如果我们的时空是非对易的,那么就必 须对广义相对论做修正或者建立新的非对易的引力理论,已经有很多文献做了这方浙江大学博士学位论文 面的探索..等人发展了“谱几何”和“谱作用量”,把连续的黎曼空 间和非对易时空统一在了一个数学框架内】。等在此框架下得到一 个很有意义的结果:由非对易时空谱作用量得到了唯一的引力场作用量边界项,而 这一项正是量子引力的自洽性所要求的【删。另一个研究非对易引力理论的方法是 直接把研究非对易标量场和规范场的方法推广到引力理论,把场之间的普通乘积 用.积代替,非对易度规场可以通过.映射由普通度规场表达出来,从 而得到非对易修正的引力场作用量】。更系统的方法是从对称性出发,将广义 相对论的对称变换.微分同胚变换推广为秒.形变的微分同胚变换,构造口.形变的微 分同胚不变的非对易引力场作用量。上述是非对易引力在理论方面的发展, 同时,非对易引力理论也被应用于讨论宇宙加速膨胀,暗能量等宇宙学问题. .研究意义及目的 正如上一节的综述中所说的,非对易规范场理论已经在各种超出标准模型的高 能粒子唯象模型中被大量应用。由于非对易效应引入了新的相互作用,而新的相互 作用既会产生新的粒子散射道,也会对原有的散射过程贡献修正项,比如很多文章 讨论了夸克,轻子散射过程的非对易效应。除各种唯象应用外,人们在非对 易规范理论的纯理论方面也进行了大量的研究,但是非对易规范场理论本身的自洽 性还没得到完全证明。 为了得到一个物理自洽的非对易规范理论,使得它的唯象应用有更坚实的基 础,非对易规范场理论的自洽性研究是必要的和重要的。而从场论的观点看,非对 易规范场理论的可重整性又是理论自治的一个很重要的必要条件。这方面的研究 已经取得了一些进展【。本文将在基于.映射的.展开法的框架 内,用背景场的路径积分方法研究非对易规范场理论的一圈可重整性。证明了 规范场传播子是平方阶可重整的,即使费米场是有质量的,也就是将前人的 结果从口一阶推广到了平方阶。这一结果使得我们对非对易规范场卵阶的可 重 整性更有信心。绪论 .本文结构 本文结构如下:本章是绪论部分。第二章介绍非对易时空是如何在弦论中出 现的,我们将通过具有背景场的.膜的量子化的例子来说明。第三章介绍了非 对易场论均.乘积表示。一般非对易规范理论的描述方法及非对易场 均.映射。第四章是本文重点,介绍了背景场的路径积分方法,并具体 计算非对易规范场理论的一圈可重整性。第五章是文章的总结与展望。浙江大学博士学位论文 非对易时空与弦论 在上一章已经提到,近几年非对易理论成为理论物理一个研究的热点主要是由 于弦理论和一理论的发展。弦论或一理论被认为是最有希望统一描述已知的自然 界中四种基本相互作用的理论。本章目的就是简单介绍下非对易的时空是如何在 弦理论中出现的。 . 弦论简介 物理学发展到今天,我们知道,自然界中的基本粒子有两类.费米子和玻 色子,费米子构成物质,玻色子传递物质之间的相互作用。构成物质的基本粒 子是自旋为;的代个夸克和轻子。四种基本相互作用包括:电磁,弱,强和 引力相互作用,传递这些相互作用的玻色子分别为: 自旋为的光子,/粒 子,个胶子和自旋为的引力子尚未发现。 除引力外,其他三种相互作 用在量子的××规范场理论的框架下被很好的描述,此理 论即标准模型 ,它是迄今为止最为成功的关于基本粒子理论, 在到的能标范围内都得到了实验验证。标准模型中已发现粒子 的基本参数如下两个表所列,其中电荷单位是电子电量的绝对值,质量单位 是/。一再 ; .率? ?水 ?术卅 ... ... . 肛 . ... 丁 .~ .丰? 半? % .宰? . .士.。.士. 吮 诈 .木? ,,? 术? 标准模型中的粒子除表格中列出的外,还有一个通过对称破缺来产生夸克和 荷电轻 子质量的标量粒子.粒子,此粒子在已有的高能加速器进行的实验中还没有 被 发现,最近在欧洲已建成的高能粒子加速.器 可以把粒子 加速到的能级,它的一个重要目的就是寻找粒子。 对易时空与弦论 虽然标准模型理论与现在的绝大多数粒子物理实验在实验精度范围内都吻合的 很好,但是也有好几个问题使得人们相信标准模型不会是描述微观物理世界的终极 理论。主要的问题包括: .中微子的振荡及质量问题。对太阳中产生的中微子的实验观测发现,电子中 微子等三类中微子之间在从太阳到地球的过程中会产生振荡,此现象的一个自然的 解释是中微子有质量,而在标准模型框架内中微子是没有质量的,因此无法解释中 微子振荡问题,这样我们就需要超出标准模型的新物理了。 .标准模型中需要通过实验确定的自由参数大约有个,也就是说,标准模型 的自由度太多,并且不同的夸克之间,夸克和轻子之间的质量差太大,跨度从 到,这些问题标准模型都是无法解释的。 .引力量子化问题。标准模型无法描述引力,并且将引力和量子场论结合的量子引 力是不可重整的。要想统一的描述引力和其他规范相互作用必须超越标准模型的 框架。 对于标准模型以外的理论探索包括,大统一理论 ,超对 称理论,超弦理论等。目前看来,最有可能统一描述四 种相互作用的理论是弦论。从世纪年代到现在,弦论的发展经历了两次”革 命”【。在弦论的发展中,出现了很多重要的物理概念,比如额外维,空间紧化,对 偶等。与量子场论中点粒子的概念不同,弦理论中基本的物体是一维的弦,这使得 超弦理论拥有很多漂亮的结论: .弦论的确定性。自洽的弦论具有确定的时空维度,比如维的玻色弦理论,维的 超弦理论。时空维度是理论本身决定的,不是先验的,这点与以前所有的物理理论 都不同。如果弦论是正确的,那么我们现在生活的维时空只是整个时空中比较大 的维度,还应该存在其他很小的在目前低能实验下还没有被发现的额外维度。这是 弦论确定性的一个表现。另一方面,弦论不同于场论,没有可调节的无量纲参数,且 弦论本身的规范对称群及其表示也是确定的。 .弦论里面有自旋为的无质量玻色子可以解释为引力子,因为该粒子的低能相互 作用恰好是由广义相对论来描述,也就是说弦论中包含了引力理论。这样一 个自洽 的量子弦论就包含了量子化的引力理论,引力的量子化问题在弦论的框架内 得到了更基本 具有规 就是说 为统一 得到标 出黑洞 论框架 问题存 每一个 中一个 答的问 了所谓 们生活 另一方面,物理学终究是门实验学科,任何美妙的理论都必须接受实验的检 验。到目前为止,弦论还没有得到任何实验的验证。如果弦论是正确的,那么 必然 存在额外的维度,一般认为这些维度的尺度是长度:口一,比我们现 在的粒子加速器能够探测到的尺度要低个数量级,这个差距是巨大的, 所以要直接探测尺度的物理还是很难想象的。但是最近有作者提出一个膜宇 宙假设,在这个假设下存在约.的大尺度的额外维,但是这个大尺度的额外维 只能通过引力实验来验证。如果大尺度的额外维能够通过引力实验探测到,这将是 对弦理论的一大支持。另一个对于弦论非常重要的概念是超对称,因为拥有费米子 和玻色子的弦论是必须是超对称的理论,如果弦论是正确的,那么超对称必须要得 到实验的验证。目前还没有实验发现超对称粒子,刚刚投入运行的世界上最大的粒 对易时空与弦论 子加速器的一个目的就是希望能在的能标下寻找超对称粒子。如果能够发 现超对称粒子,那说明弦论的一大基础是没有问题。 .弦的量子化 本节我们要考虑相对论的一维弦的经典和量子力学问题。在考虑弦的 运动之前先考虑下相对论点粒子的运动, 取维阂科夫斯基空间的度规为 仉。一,,,...,,质量为的自由点粒子的作用量为 . 昂一//打一又.扎/, 其中,是粒子运动的世界线的无穷小线元,是点粒子的时空坐标,艾 一/,作用量正比于世界线原长。作用量.具有彭加莱变换不变性和参数变 换不变性。对时空坐标的变分得到粒子运动方程为 “ 亿, 卜一 昙高知九. 打、一艾“屯/ 上面的作用量还可以改写为另一种形式,最作用量 . 睇三一又咒一入, 其中,入是引入的世界线上的辅助场。此作用量也是彭加莱不变的和参数变 换不变的,在丁一的参数变换下, . ’丁. 将作用量.对入做变分,得到约束方程如下 一艾肛兄/. . 把上述约束方程带回至作用量消去入,我们可以得到作用量.,所以两个 经典的作用量.和.是等价的。但是作用量有两个优点:作 用量不仅可以描述有质量的粒子,还可以描述无质量的粒子;.作用量出 发便于将经典的理论量子化。 一维的弦在时空中的运动轨迹是一个二维的世界面,世界面可以用两个参数 丁,仃来参数化,且取两个参数范围为一。。。。,盯。弦的时空坐标就是浙江大 学博士学位论文 这两个参数的函数,?。与点粒子的作用量类似,弦的作用量应该是彭加 莱不变的并且与世界面的参数选取无关,所以应该正比于世界面的面积,这 个作用 量叫做.作用量,自然单位制下可以表达为 . 不孑厶捌盯占班. 其中,,,...等指标表示世界面上参数丁,仃,..是世界面。是世界面上的诱导 度规,定义如下 以侥.. . 是一个常数,具有长度平方的量纲,并且与弦的张力有如下关系焘? 为了研究弦的量子理论,我们需要写出弦均作用量。在弦的世界面上引入 辅助度规‰,仃,令,%,弦作用量可以写为 . 一石?上。一/乱肛侥耳. 利用广义相对论中的公式 ,,曲一曲一曲, . 将作用量对辅助度规,曲做变分,得到方程 九‰州. . 可以将上述约束方程变形为 九一一/曲一一/, . 从此方程能够看出,辅助度规九曲正比于诱导度规‰。将此结果带回至作 用量,消去辅助度规,我们可以得到弦的.作用量。 作用量的表达式.可以看出在下面的变换下是不变的: .维时空坐标的彭加莱变换, ‖ ‖ 丁 气 ? 叻 ‰ 忆蟛?力 盯 以吐 但对易时空与弦论 .世界面的微分同胚变换, ,.,吼, 似,口“,仃, . 芸等吃丁,,盯,‰丁,仃 而丽%【丁,盯‰丁,仃 .辅助度规的变换,其中.,盯是一个任意函数, 恤,仃.,盯, 厶.,盯,盯%.,盯. . 作用量的这三个对称性中,不变性是其特有的,这个对称性在讨论弦 理论的自洽性及从弦论得出引力场方程时非常重要。 将作用量对时空场做变分, 丁 一/.耳 孵嘉一一 一赤上。。州一俨.矿裔 由第一项可以得到运动方程 . 一/跣【一一/曲侥肛. 第二项是边界项,考虑到彭加莱不变性,可能的边界条件有两种:周期性边 界条件和自由边界条件。周期性边界条件肛丁,丁,,矿肛一, 矿丁,,‰.,曲.,对应于时空中运动的闭弦 ,自由边界 条件矿,矿.,对应于时空中运动的开 。 由于作用量具有三个对称性,所以在解弦运动方程前我先确定一组规范。 由于二维的黎曼流形是共形平的,可以通过微分同胚变换使得 . ‰丁,四。 , 即竹,,,%,。又由于的,不变性,可以取曲一。定义光锥 坐标,士击士,选取光锥规范。作用量简化为 . 一石忑 上..盯屏一一屏‘辞以以.浙江大学博士学位论文 一,的正则动量密度为 . 卫‖筹一嘉, . 只筹嘉寇, 其中,又砩。弦的的哈密顿量为 ,. . . 日 /盯卫一只。一 ‘, 盯又又以‘以. . 磊 运动方程.简化为 . 礴一髭“ 我们的到此简化运动方程的一个代价就是引入了两个约束条件,,,%。 。由前面对‰变分得到的方程.知正比于‰,所以有关.勺两个约束方 程 ,”, ,,”?”. .、 这两个约束方程又可以改写为 辞以“研五以, . 辞一以一以. 在光锥坐标系下,这两个约束方程可以继续简化, . 辞一以一辞‘以‘, . 辞一一以一辞‘一以‘. 不用开方就可以把一的一阶导数项解出,这就是采取光锥坐标系的原因。 对于开弦,考虑到开弦边界条件,得到运动方程的包含各种振动模式的解为 . 一一?俯篆三:唧一竿平, . 一佗.平? 一。? 对易时空与弦论 买中 . ‘叽, ‖专 .。 /。如, 是时弦的质心坐标和质心的正则动量。令警一’厕一,将上述解带入到 两个约束方程,得到俯丽?。,,?? 其中,指标要求和,以后除特别说明外,重复指标都要求和。将运动方程解和 约束 条件带入哈密顿量. /:文。,~ 蓦酬馨可三篆未:唧塑写立罕。平 坐字塑罕平 地可??揣 ? ? . 击四去?乜江。? 从.可以看到,除零模外的振动自由度完全由横向坐标决定。这样描 述开弦运动的独立自由度为一,矿,‘和口:。要得到开弦的量子力学,我们引入正 则蛮量之间的等时对易关系, . 】一,?,盯,,盯巧盯一叮. 将解得的,带入上式,并利用函数的定义 . 仃如萋平孚, ‘ 。 。 可以得到如下的关于振动模式系数的对易关系, . 矿,【口:,‰礼占印矗,一。.浙江大学博士学位论文 算符:与谐振子的产生湮灭算符有类似的对易关系, :一、历,二一、历,. . 生。算符作用在单弦的基态上将产生一个在方向上振动模数为的开弦态,我们 称这个振动激发态为,仃模式的态。利用谐振子态的构造方式,我们可以构造出 一般的单开弦态。用开弦的质心动量的本征态;七来表示一条质心动量为七的 无振动激发态的开弦,其中七,,这个态满足 ;后;,;尼;后,:;,. . 从一个质心动量本征态出发,可以构造具有内部振动模式的一般的开弦态 一竺‖、? “‘, :, 咐??赫黼. 也就是说一个一般的开弦态由质心动量矿,和每个,礼模式的振动激发态上的 占有数?。来确定,其中,...,;凡,...,。。。开弦的这些自由度可以分为两类: 质心动量是将开弦的整体看作一个点粒子具有的自由度,是整体自由度;所有的 振动模式构成开弦的内部自由度,每个振动模式代表了不同的粒子和自旋态。需 要注意的是,式.是从单开弦态;构造的,此态并非单开弦的基态,更不 是无弦的真空态。单开弦的基态是指一条质心动量为,无内部激发态的弦,可以 用;来表示,无弦的真空态可以用表示。多弦态空间咒。可以通过单弦态 的乘积来构造,这样自由开弦理论的空间爿可以表示为何爿. 卜面考虑单开弦激发态的质量谱。由于我们选取规范十,所以义十半移的严生 算符一和平移的产生算符哈密顿量是相同的,即一。由.,量子化后的 哈密顿量为 日矿?‖猫薹八 .。 矿一弘 ,:竿州 .对易时空与弦论 由质能方程可得 一一一? 刍?&“二: .? :刍主屯“孚 后一发散求和来自振动激发态的零点能,对于这一量子化带来的发散我们可 以通 量中添加一抵消项的方式重整化掉它。首先引入一个截断因 过在原有乍 子计算发散求和 . ? :姆妻几一不//矿/】:鲰等一西. 第一项是与截断?相关的发散项,可以通过在作用量中引入正比一/的 项来抵消。后面两项都不是发散项,在一时只留下有限项一壶作为弦的真 空能量。这样 :刍宝屯:一等. 将质量平方算符作用于单开弦态.,利用模式算符口:之间的对易关系,可以 得 到一般态的质量 . 专?茅, 这里,我们把质量平方算符及其本征值都用表示,没有区分。是阶算符, 是表征激发态质量的量子数, ? 凡 ??渤 ??瞄 首先看开弦基态;的质量,所有的?。都等于,所以质量平方 . 面. 当时,此态的质量小于零,也就是说是个快子态。当单弦基态质量小 于零时,无弦的真空就会不稳定,会有更多的快子态产生使系统能量不断降 低。玻 浙江大学博士学位论文 色弦是否存在稳定的真空是个复杂的问题,但是引入超对称后的超弦理论没 有快子 态,具有稳定的真空。这也是为什么把超弦作为描述真实世界的一个可能的 物理理 论。再看最低的激发态,对应于沿某个横向方向的的激发态, . 生;,可矿. 下面分析洛仑兹不变性是如何定出的取值的。维时空中,动量为的有质量的 粒 子,可以通过洛仑兹变换变到它的静止参照系,,...,,而粒子的内部自旋 态构成了空间转动群.的一个表示。对于无质量的粒子,没有静止参照系,但 是可以找到一个参照系使得,,,...,,无质量粒子的内部自旋态构成了空 间转动群.的一个表示。所以,维时空中一个有质量的矢量粒子有一个 内部自旋态,一个无质量的矢量粒子有一个内部自旋态。这里开弦最低激发态 有一态,所以必然是无质量态,所以 . . 这是弦论得到的一个与以前的物理理论非常不同的结果,无论是牛顿力学,相对论, 量子力学还是标准模型理论,时空维度都是先验的,不能由理论本身给出的,即使 是洛仑兹不变的理论。在弦论里,经典的弦的作用量是对于任意时空维度都是洛仑 兹不变的,但是量子化后,洛仑兹不变性要求。 上面介绍了开弦的量子化,闭弦的量子化过程与其类似,主要的不同是闭弦的 边界条件为周期性边界条件 .,,, . 矿丁,矿丁,, . . ‰,%,. 时空场方程的振动模式展开解为 列一:‖一掣 口十 屈势‖唧塑掣‖印半.亿,对易时空与弦论 我们可以看到,闭弦解有两组独立的振动模式,这两组解在经典情况下分别 对应闭 弦上的左行?波解和右行.波解。为了量子化闭弦,引入如下 的正则对易关系 一,一,陋,矿幻,:,。】佗巧如,一,【:,‰占巧。,一。 . 用;;后表不闭弦质心动量的本征值为七的本征态闭弦的零模,那么一般的单 闭 弦态可以用模式算符构造如下 亿, 闭弦的哈密顿量表达式也是式.,计算结果比开弦多了一组模式算符的贡献。 吣胁尊重一帅;; 同样的,闭弦态的质量平方表达式可以看作两个方向的开弦贡献之和, ?‘ . ;??警, 这里,阶算符?的定义与开弦相.,?的定义是只要将?定义中的换成。对 于闭弦,我们还有一个对称性没有考虑,就是闭弦的端点仃可以取闭弦上任 一 点,闭弦理论具有口平移不变性。扫定理,一个作用量的连续对称性对应于 一个守恒量,守恒量的时间分量对空间积分是守恒荷。在量子力学里面,对称 变化 守恒荷就是对称变换的生成元。仃平移变换的生成元是 . 。一卜魂如一孚?埘. 闭弦态要成为物理态必须满足盯平移不变性,也就是说平移生成算符作用到 物理 态上必须为,即 ??. . 下面看闭弦的较轻的几组态。最低阶的无振动激发态的闭弦态为 . ;;七,面产. 浙江大学博士学位论文 当时,是个快子态。闭弦的第一激发态是 . 二砭;;,百厂. 其,歹,...,一,这个态是一个.转动变换下的张量态,所以是无质量 态,时空维度是。此无质量的阶张量态可以按.的不可约表示分解, 令巧二】记】;;, . 巧三巧一‘一击\.?志魏姚. 分解结果为:第一项是对称无迹张量态,第二项是反对称张量态,最后一项是一个 标量态。这三个态都是在一的转动变换下不变的。 到此为止,我们考虑的开弦和闭弦理论都是所谓的玻色弦理论,即没有引入超 对称的弦论。开弦和闭弦都有质量小于的快子态,这些态的存在使得玻色弦理论 本身不是一个稳定的理论。在弦的无质量激发粒子态中,开弦激发的矢量粒子只有 洛仑兹指标没有内部规范指标,所以可以看作是一个光子态。闭弦激发的无迹对称 张量粒子与量子引力理论中的引力子态有相同的指标且都是无迹的,所以可以看作 引力子态,对应于引力场。。这是个惊人的结果,我们并没有引入度规场和广义协 变性原理,引力就出现在了闭弦理论中。反对称的二阶张量粒子叫.粒 子,对应于.场邑,,这个场是规范场的推广,并且此场和弦 的相互作用耦合方式。场点粒子的耦合方式是一样的。这一点在后面的讨论 中很重要。闭弦激发的无质量标量粒子叫伸缩子,对应于标量场西。此标量 场在弦论中也非常重要,它的期望值决定了弦之间相互作用的耦合常数的大小。这 一点也是弦论的一个重要特点,弦的相互作用耦合常数不像电荷,是一个跑动的 参数而是一个具有动力学的参数。这很符合一个大统一的基本理论的要求,相互作 用的耦合强度是可以计算的,而不仅仅是通过实验测量出来的。 . .膜 随着弦论的发展,人们发现:弦理论中的基本物体或者说基本自由度除了一 维的弦,还有更高维的延展体即膜。这些高维膜的出现不是人为引入的,是从弦 人 理论自身的自洽性得到的。其中一类很重要的膜就是.膜。.膜是对易时空与弦论 在年研究弦的紧化理论时候首先发现的。所谓的.膜是指一个空间中一 个延展体并且允许开弦的端点只在此延展体上运动。在垂直于.膜的空间方向 上,开弦的端点满足边界条件。.膜中的即是的缩写。当.膜 有个空间维度时,我们叫它.膜。本节里,我们约定:用小写的表示时空坐 标,用大写的丁,矿表示弦的坐标。下面看一个具体的例子玻色弦理论 中的.膜。此.膜的位置由坐标条件‘,,,...,定出,也就是说它 是延展于,平面上的一个平直的膜。连接在此.膜上的开弦端点坐标满 足:以以;,,,...,。当开弦端点固定于空间中一个点时, 这个点叫.膜,它类似于一个点粒子。而对于一个自由的开弦,它端点的坐标 在 所有空间方向上满足自由边界条件,我们可以说开弦是连接在一个在整个空 间延展 的.膜上。 下面我们考虑有平直的.膜存在时候的开弦的质量谱。我们将平直.膜存在 时的时空坐标分成两类:一类描述.膜的世界体,用,,...,矿表 示;一类是垂直于膜的坐标,用护?.,表示。平直.膜的位置由垂直于膜的坐 标来确定 . ;,,...,. 这里是常数。开弦上点的横向坐标光锥坐标以外的坐标可以按照端点处满足 的 边界条件的不同分成两类:一类满足自由边界条件 . 丁,仃,:,。,,...,. 一类满足边界条件 . ,。:,。,,...,. 这里的开弦的仃参数与前面不同,已经无量纲化,但是还是用同一个符号标 记。为 了能够利用前面光锥量子化的结果,我们需要开弦至少有一个空间坐标满足 自由边 界条件即,也就是说不考虑.膜存在的情况。 当.膜存在时,开弦坐标场满足的方程是不变的,所以满足自由边界条件 的那部分横向坐标七的解不变,我们只需要考虑满足边界条件的横向坐浙江 大学博士学位论文 标的解,很容易解得 礼仃 . 。,口端瓜?拓 扎?? 可以看到,此处与自由边界条件下的解不同,没有零模存在。计算可得 . .。士以。何?‖咐如’ 类似的,。的正则动量为口南艾。,由正则对易关系 . 。,盯,丁,盯盯一盯 可以得到关于振动模式算符的对易关系 . 【袅,:曲如,一。 这里,都不等于。由光锥规范引入的两个约束条件.和.的形式是不变 的 . ,一以一‘.‘, . ,一一以一辞‘一.‘. 这里?,。将满足两类边界条件的横向坐标解代入,即得 . 矿一刍坩马碱三。: 有膜存在时的开弦质量谱为 . ?专?心:竺&卜 一 上式中动量平方项中没有出见是因为开弦两个端点在方向上是固定的,开弦 沿方向的质心动量为零,所以沿。方向开弦没有零模,。。并且这里由于量子 化引入的真空能常数项与存在一个.膜存在时候弓入的常数值一样,这是因 为此 项是由于改变振动模式算符的算符序引入的,与零模无关,而。与七的区别只 在 零模,所以不影响此常数的取值。下面构造开弦的量子态空间,单开弦态的基 态是种对易时空与弦论 开弦质心动量本征态歹矿,矿,,...,。.类似,从质心动量本征态 出发可以构造出有膜存在时开弦的内部振动激发态 ;壶亟篇。里,亟揣加;抄., 由于开弦端点固定在膜上面,开弦激发态无法在垂直于膜方向上运动,所以可以 想象开弦激发态一般是存在于膜上的,而不是全空间中的,当然当膜是.膜 时,开弦态就存在于全空间了。这个结论需要更仔细的证明,比如:闭弦由于没有 端点,所以不会束缚在膜上,考虑闭弦与开弦相互作用,看相互作用是不是发生 在膜上。下面看膜上的开弦态:基态是快子态,是一个一膜上的洛仑兹标量。 第一振动激发态是无质量激发态,可以分成两组: 兰,,,?,;,七,,?,. . 第一组共有一个态,并且带有的指标是膜空间上的矢量指标,所以第一 组态是膜上的一个无质量的洛仑兹矢量,可以看作是膜上的一个光子场的量 子态。这样我们得到了一个很重要的结论:在一个.膜的世界体上,必然有一个 场。第二组共有一个态,这些态所带的指标是垂直于膜方向的空间指 标,是膜上的洛仑兹变化下的一个标量,也就是说,每一个垂直于.膜的方 向上都有一个无质量的标量场在.膜世界体上。可以看到,一膜存在 时的开弦无质量激发态与一膜存在时的开弦无质量激发态个数是一样的,不同的 是当一膜存在时,开弦激发态出现在一膜的世界体上,并且这些无质量激发态分 成了.个光子态和.个标量态。 . 弦,膜,非对易 前面几节都是介绍的玻色弦,我们发现有很多快子态出现,这些态的出现使 得玻色弦理论不是稳定的理论,且没有费米子激发态。进一步,在玻色弦理论中 引入超对称,可以得到费米激发态,且消去快子态,得到稳定的理论,就是超弦 理论。超对称引入之后,无质量的玻色激发态还是保留在超弦理论中,比如反对 称.场既。,还有膜及膜上的规范场也是存在的。本小节将具 体说明非对坐标是如何在超弦理论中出现的。这里的讨论主要参考等人的浙江大学博士学位论文 文章【。考虑当位于,...,处的膜上存在一个常数的背 景:呖玩的时候,膜上的开弦的量子化,玻色部分的作用量【】为 石?上盯叩钆。以%耳,以如” 辞‘, . 芴 其中,,,,...,,是一膜上的规范场。一。进一步我们考 虑.矗。场只有膜分量即:? 。如果开弦的两个端点连在同 一个一膜上,那么作用.最后一项可以表示为 . 一彘,‖啦氇, %魏一岛疋叭珧汜.场强。这样,考虑了上面两个条件后,作用.可 以改写为 . 石?上盯卵讥。瓦勃口五,良‘劫刁, 其中,厂?,是.砌场和规范场强的组合量,这个量在如下的两 个规范变换下保持不变,规范变换 一,一, . 和.场的规范变换 一。一. . 对作用量.做变分,得到运动方程 . 群一砖“, 和边界条件 . 以。辨’巧。:,不,,,,...,, . 。。.,口,,...,.非对易时空与弦论 时空坐标场的正则动量为 . ?,盯辞‘窍以, . 。丁,盯辞。. 系统的哈密顿量为 . 协/戈石孑/打辞以. 解运动方程得到时空坐标场的一般解 雠 , 疵丁?军口: 把此解代入边界条件.,可以得到关于振动模式算符的关系 . 羼刀嚷, 所以,沿平行于膜方向上的时空坐标场的解为 . ‘‖确盯?:几口一驾《礼仃. 同样地,垂直于膜的方向上的时空场的解为